Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Приближенное вычисление определенных интегралов

Карабин, 6x60 мм.
Размеры: 6x60 мм. Материал: металл. Упаковка: блистер.
35 руб
Раздел: Поводки, рингтовки, удавки
Ручка "Шприц", желтая.
Необычная ручка в виде шприца. Состоит из пластикового корпуса с нанесением мерной шкалы. Внутри находится жидкость желтого цвета,
25 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Мыло металлическое "Ликвидатор".
Мыло для рук «Ликвидатор» уничтожает стойкие и трудно выводимые запахи за счёт особой реакции металла с вызывающими их элементами.
207 руб
Раздел: Ванная

При решении физических и технических задач приходится находить определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это привело к необходимости вывода приближенных формул вычисления определенных интегралов. Познакомимся с двумя из них: формулой трапеций и формулой парабол. 1. Формула трапеций. Пусть требуется вычислить интеграл , где f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)³ 0. Разобьем отрезок на отрезков точками и с помощью прямых х=хk построим прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е. Где f(xk-1) и f(xk) - соответственно основания трапеций; xk - xk-1 = (b-a)/ - их высоты. Таким образом, получена приближенная формула которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше . Рассмотрим в качестве примера интеграл . Точное значение этого интеграла находится просто: Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное значение. Пусть =5. Тогда имеем: a=x0=0, x1=0,2, x2=0,4, x3=0,6, x4=0,8, x5=1=b и соответственно f(x0)=0, f(x1)=0,04, f(x2)=0,16, f(x3)=0,36, f(x4)=0,64, f(x5)=1. Следовательно, Точное значение интеграла равно 0,3333., поэтому абсолютная ошибка меньше 0,007. Во многих технических задач эта точность достаточна. Если увеличить число , то точность будет большей. Так, например, при =10 т.е. абсолютная ошибка меньше 0,002. В более полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на непрерывную вторую производную, то абсолютная величина погрешности формулы трапеций не больше, чем где k -наибольшее значение на отрезке . Следует отметить, что с увеличением увеличивается не только точность вычисления определенного интеграла, но и объем вычислительной работы. Однако здесь на помощь приходят ЭВМ. Вычислим по формуле трапеции интеграл при =10. Разобьем отрезок на 10 равных частей точками х0=0, х1=0,1, ., х9=0,9, х10=1. Вычислим приближенно значения функции f(x)=в этих точках: f(0)=1,0000, f(0,1)=0.9091, f(0,2)=0,8333, f(0,3)=0.7692, f(0,4)=0,7143, f(0,5)=0,6667, f(0,6)=0,6250, f(0,7)=0,5882, f(0,8)= 0,5556, f(0,9)=0,5263, f(1)=0,5000. По формуле трапеций получаем Оценим погрешность полученного результата. Так как f(x)=1/(1 x), то На отрезке имеем . Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины Вычислим точное значение данного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница: Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности. Идею, которая была использована при построении формулы трапеций, можно использовать для получения более точных приближенных формул для вычисления определенного интеграла. 2. Формула парабол. Докажем предварительно две леммы. Лемма 1.1. Через любые три точки М1 (х1; у1), М2 (х2; у2), М3 (х3; у3) с различными абсциссами можно провести единственную кривую вида у=Ах2 Вх С (1) Доказательство. Подставляя в уравнение параболы (1) координаты точек М1 , М2 , М3 , получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными А, В, С: Так как числа х1, х2, х3 различны, то определитель этой системы отличен от нуля: Следовательно, данная система имеет единственное решение, т.е

. коэффициенты А, В, С определяются однозначно. g Отметим, что если А¹ 0, то кривая (1) является параболой, если А=0, то прямой. Лемма 1.2. Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах2 Вх С, проходящей через точки М1 (-h; y1), M2 (0, y2), M3 (h, y3) (рис. 2) выражается формулой (2) Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах2 Вх С координаты точек М1, М2, М3, получаем у1=Аh2-Вh С; у2=С; у3=Аh2 Вh С, откуда следует, что 2Аh2 2С=у1 у3; С=у2 (3) Учитывая соотношение (3), имеем Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок на 2p равных отрезков точками а кривую y=f(x) с помощью прямых x=xk на 2 соответствующих частей точками М0 , М1 , М2 , ., М2k , М2k 1 , М2k 2, ., М2 -2 , М2 -1 , М2 (рис. 3). Через каждую тройку точек М0 М1 М2 , ., М2k М2k 1 М2k 2, ., М2 -2 М2 -1 М2 проведем кривую вида у=Ах2 Вх С (см. лемму 1.1). В результате получим криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку , приближенно равна площади соответствующей “параболической” трапеции, то по формуле (2) имеем где yk=f(xk), k=0, 1, 2, .,2 . Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу или в развернутом виде Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона. В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х1, х3, ., х2 -1 имеет коэффициент 4, в четных точках х2, х4, ., х2 -2 - коэффициент 2 и в двух граничных точках х0=а, х1, х2 =b - коэффициент 1. Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами (прямыми). В полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем где М - наибольшее значение на отрезке . Выше отмечалось, что погрешность формулы трапеций оценивается числом Так как 4 растет быстрее, чем 2, то погрешность формулы Симпсона с ростом уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Этим и объясняется, что формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций. Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл , но теперь по формуле Симпсона при =4. Разобьем отрезок на четыре равные части точками х0=0, х1=1/4, х2=1/2, х3=3/4, х4=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=1/(1 x) в этих точках у0=1,0000, у1=0,8000, у2=0,6667, у3=0,5714, у4=0,5000. По формуле Симпсона получаем Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции f(x)=1/(1 x) имеем: f(4)(x)=24/(1 x)5 , откуда следует, что на отрезке . Следовательно, можно взять М=24, и погрешность результата не превосходит величины 24/(2880× 44),0б0004. Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011.

Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций. Как отмечалось выше, приближенные формулы для вычисления определенного интеграла применяют в тех случаях, когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции. Вычислим, например, интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2 , найдем f(4)(x). Последовательно дифференцируя функцию f(x)=, получаем f(4)(x)=4(4х4-12х2 3) Так как на отрезке £ 1, ½4х4-12х2 3½ £5, то . Следовательно, можно взять М=20. Используя формулу оценки погрешности, имеем 20/2880 4&l ;1/1000, откуда 4 >1000/144. Для того чтобы выполнялось это неравенство, достаточно взять =2, т.е. 2 =4. Разобьем теперь отрезок на четыре равные части точками х0=0, х1=1/4, х2=1/2, х3=3/4, х4=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=в этих точках у0=1,0000, у1=0,9394, у2=0,7788, у3=0,5698, у4=0,3679. Применяя формулу Симпсона, получаем Таким образом, с точностью до 0,001. Итак, разбив отрезок всего на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью. В заключении отметим, что каждый из изложенных методов приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы - эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов, которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таблицы их значений.

Плоская тригонометрия изложена в самых незначительных размерах. Вторая кн. «Алмагеста» занимается делением Земли на поясы, долготами дня и полуденными длинами тени по различным параллелям, а также явлениями восхода и захода. Третья кн. рассматривает продолжительность года (Кассини) с точностью до минут, а затем излагает Гиппархову теоpию Солнца. Четвертая кн. посвящена определению продолжительности месяца и изложению теории движения Луны. Пятая занимается описанием устройства астролябии и мимоходом указаниями на произведенные при ее помощи новые измерения, которыми воспользовался автор с целью более точного изучения неравенств в движении Луны. Шестая кн. изучает соединения и противостояния Солнца и Луны вместе с условиями происхождения затмений; указывается возможность приближенного вычисления их наступления. В 7-ой кн. содержится статья о предварении равноденствий и древнейший из дошедших до нас звездных каталогов, восходящий, по всей вероятности, к Гиппарху. В нем описываются по порядку все известные грекам 48 созвездий (21 к северу от зодиака, 12 созвездий зодиака и 15 к югу от него), обнимающие в совокупности 1022 звезды, данные частью по их положению в фигуре созвездия, частью же по долготе, широте и видимой величине, не переходящей за шестую. Кн. 8-я посвящена обстоятельному описанию внешнего вида Млечного пути, который называется в ней галактическим кругом

1. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников

2. Вычисление определенного интеграла методом трапеций

3. Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

4. Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

5. Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции

6. Вычисление двойных интегралов методом ячеек
7. Вычисления определенного интеграла с помощью ф. – лы Симпсона на компьютере
8. Основные подходы к классификации банковских рисков, методы управления ими, а также определение путей их минимизации

9. Вычисление интегралов методом Монте-Карло

10. Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы

11. Метод А.Ф. Смирнова для определения критических нагрузок в стержневых системах

12. Определение фенола методом броматометрического титрования

13. Разработка методов определения эффективности торговых интернет систем

14. Численные методы. Двойной интеграл по формуле Симпсона

15. Хламидиоз. Методы определения/диагностики

16. Исследование метода акустической эмиссии для определения прочности конструкционных керамических материалов

Лото русское "Шедевры в числах".
В Русском лото "Шедевры в числах" наряду с числами располагаются изображения работ известных мастеров живописи, архитектуры и
427 руб
Раздел: Лото
Настольный прибор.
Персонализация: гравировка и шильды. Цвет: серебряный.
353 руб
Раздел: Калькуляторы
Напольная мозаика "Полянка" (45 деталей).
Материал: полипропелен. Диаметр: 60 мм.
348 руб
Раздел: Пластмассовая

17. Метод моментов в определении ширины линии магнитного резонанса

18. Кредитоспособность ссудозаёмщика и методы её определения

19. Определение рыночной стоимости недвижимости затратным методом

20. Кредитоспособность ссудозаемщика и методы ее определения

21. Вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса (теория и программа на Паскале)

22. Метод определения поглощенных доз внешнего гамма-излучения по спектрам электронного парамагнитного резонатора зубной эмали
23. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
24. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

25. Определение индуктивности катушки и ее активного сопротивления методом резонанса

26. Методы определения возраста земли и Вселенной

27. Определение поверхностного натяжения методом счета капель

28. Определение поверхностного натяжения методом максимального давления в газовом пузырьке

29. Разработка для контроля и определения типа логических интегральных микросхем методом сигнатурного анализа

30. Определение предмета и метода проектирования устойчивого развития в системе Природа-Общество-Человек

31. Методы определения ПАУ в объектах окружающей среды

32. Теоретические методы определения

Сменная кассета "Барьер 6", для жесткой воды, для всех типов фильтров "Барьер".
Кокосовый активированный уголь очищает от активного хлора, органических загрязнений и т.д. Обработка активированного угля серебром
310 руб
Раздел: Фильтры для воды
Канцелярский набор "Школьный".
9 предметов. Вращающаяся подставка. Упаковка - коробка. В набор входят: 1 ручка, 1 чернографитный карандаш. Стирательная резинка, линейка,
459 руб
Раздел: Настольные канцелярские наборы
Беговел Baby Care "Fivity" (зеленый).
Baby Care Fivity – беговел на 10-дюймовых колесах, оснащенный ручным тормозом. Лучший способ разнообразить летнюю прогулку с ребенком.
2893 руб
Раздел: Беговелы

33. Ценовые стратегии фирмы. Закон Российской Федерации “О таможенном тарифе ” и методы определения таможенной стоимости товаров

34. Метод определения цены с ориентацией на спрос

35. Особенности учетной политики для организаций, перешедших на кассовый метод определения прибыли

36. Определение легколетучих элементов методом ЭТААС по технике дозирования суспензий образцов на никелевом модификаторе

37. Методы определения С-концевой аминокислоты

38. Некоторые методы определения характеристик деформируемо-сти и прочности грунтов
39. Определенный интеграл
40. Некоторые приложения определенного интеграла в математике

41. Метод определения спроса на основе анализа цен и объемов продаж

42. Методы определения и измерения сильных сторон личности

43. Спутниковые методы определения координат

44. Методы определения рН мяса

45. Показатели качества плодоовощных товаров и методы их определения как возможность обнаружения их фальсификации

46. Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов

47. Методы определения элементарного электрического заряда

48. Определение моментов инерции тел методом трифилярного подвеса

Флэш-диск "Crown", 16GB, черный.
Доступный USB флеш-накопитель в классическом корпусе. Материал корпуса: пластик. Емкость: 16 Гбайт. Цвет корпуса: черный. Тип корпуса: с
459 руб
Раздел: Более 8 Гб
Корзина для игрушек "Модница" (38х45 см).
Вместительная корзина предназначена для хранения игрушек и для игровых целей. Изготовлена из текстиля.
307 руб
Раздел: Корзины, контейнеры для игрушек
Стержень для ручки-роллера Parker "Refill RB Fine. Blue".
Цвет чернил: синий. Толщина линии письма: fine.
615 руб
Раздел: Стержни для ручек

49. Методы определения налогового бремени экономического субъекта

50. Газовая хроматография и определение этанола в метаноле методом внутренней нормализации

51. Методы определения содержания свинца, цинка, серебра в питьевой воде

52. Стандартизация измерения рН в неводных средах. Методы определения рН стандартных буферных растворов

53. Химический метод Винклера для определения растворенного кислорода

54. Определение жесткости воды комплексонометрическим методом
55. Газохроматографический метод определения загрязненности воздуха
56. Экстракционно-фотометрический метод определения тяжелых металлов в природных водах

57. Методы определения по спорам и пыльце климатических условий

58. Новые методы определения и расчета экономической эффективности инвестиций

59. Экономическая сущность и методы определения эффективности использования оборотных средств

60. Исследование природных ресурсов планеты с помощью космических методов

61. Исследование клеточного цикла методом проточной цитометрии

62. Определение активности ферментов

63. МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ЧЕЛОВЕКА

64. Методологическое значение сравнительного метода в зоологических исследованиях

Ветчинница "Белобока".
Ветчинница представляет собой пресс-форму, с помощью которой можно в домашних условиях готовить различные куриные и рыбные рулеты,
1584 руб
Раздел: Прочее
Ручка перьевая "Freewriter Girly", с иридиевым покрытием.
Перьевая ручка для девочек. Стальное перо с иридиевым покрытием обеспечивает легкое скольжение по бумаге и плавное поступление чернил.
334 руб
Раздел: Перьевые
Тубус с ручкой, 3 секции, серый.
Длина 650 мм, диаметр 100 мм.
430 руб
Раздел: Подставки, лотки для бумаг, футляры

65. Метод радиоавтографии в биологии

66. Определение параметров детонации заряда ВВ

67. Зажигательные смеси, состав, средства применения и доставки, вызываемые повреждения, методы лечения и защиты

68. Методы и модели демографических процессов

69. Гамма – каротаж. Физические основы метода

70. Метод Бокового каротажа
71. Добыча золота методами геотехнологии
72. Инженерно-геологические изыскания для определения характеристик грунтов и оснований

73. Инфляция и ее определение

74. Сущность, методы и формы государственного регулирования внешнеэкономической деятельности Российской Федерации

75. Предмет, метод, источники Административного права

76. Методы осуществления государственной власти

77. Метод гражданско правового регулирования

78. Предмет, метод и система гражданского процессуального права /Украина/

79. Корпорация BBC. Формы и методы государственного контроля вещания

80. В чем сложность налога на добавленную стоимость (в определении и собирании)

Органайзер автомобильный "Stels" на спинку сиденья.
Органайзер крепится за стойки подголовника на спинки передних сидений. Прочные регулируемые ремни крепления. Два маленьких сетчатых
527 руб
Раздел: Автоаксессуары
Кружка "Кастет", белая.
Оригинальная керамическая кружка с ручкой в виде кастета. Металлизированное напыление. Упаковка стилизованная, качественный
509 руб
Раздел: Кружки
Бейджи, 90х57 мм горизонтальные, с клипсой и булавкой, 50 штук.
•Горизонтальный. •Застежки – клипса и булавка. •Изготовлен из прозрачного пластика. •Размер - 57х90 мм.
511 руб
Раздел: Бейджи, держатели, этикетки

81. Правовые нормы: определение, признаки, виды

82. Методы комплексной оценки хозяйственно-финансовой деятельности

83. Цикл-метод обучения. (Методика преподавания эстонского языка)

84. Специфика преподавания иностранного языка и метод проектов

85. Естественная и гуманитарная культуры. Научный метод

86. Русская здрава (методы оздоровления на Руси)
87. Субстанционные определения в повести Паустовского "О жизни"
88. Методы изучения музыкальных произведений крупной формы в старших классах общеобразовательной школы

89. Метод комплексного археолого-искусствоведческого анализа могильников

90. Конвертер программы с подмножества языка Си в Паскаль с использованием LL(1) метода синтаксического анализа (выражения)

91. Методы компьютерной обработки статистических данных. Проверка однородности двух выборок

92. Методичка по Internet Explore

93. Шифрование по методу UUE

94. Определение подозрительных пакетов, анализ протоколов сети

95. Определение эффективности применения информационной технологии

96. Метод деформируемого многогранника

Анатомическая подушка-вкладыш для детских автокресел.
Анатомическую детскую подушку-вкладыш можно применять в автокреслах, шезлонгах, для катания на качелях. Она поможет малышу максимально
310 руб
Раздел: Прочие
Машинка швейная "Малютка".
Ручная швейная машинка. Одиночная строчка. Контроль процесса сшивания. Контроль натяжения нити. Комплектация: ручная швейная машинка,
488 руб
Раздел: Швейные машинки
Набор текстмаркеров, 6 штук.
Чернила на водной основе. Скошенный износоустойчивый наконечник. Ширина линии письма: 1-5 мм. В наборе: 6 цветов (желтый, оранжевый,
459 руб
Раздел: Текстовыделители

97. Сравнение эффективности методов сортировки массивов: Метод прямого выбора и метод сортировки с помощью дерева

98. Методы прогнозирования основанные на нейронных сетях

99. Модифицированный симплекс-метод с мультипликативным представлением матриц


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.