Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Приближенное вычисление определенных интегралов

Карабин, 6x60 мм.
Размеры: 6x60 мм. Материал: металл. Упаковка: блистер.
42 руб
Раздел: Карабины для ошейников и поводков
Ручка "Шприц", желтая.
Необычная ручка в виде шприца. Состоит из пластикового корпуса с нанесением мерной шкалы. Внутри находится жидкость желтого цвета,
25 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Мыло металлическое "Ликвидатор".
Мыло для рук «Ликвидатор» уничтожает стойкие и трудно выводимые запахи за счёт особой реакции металла с вызывающими их элементами.
189 руб
Раздел: Ванная

При решении физических и технических задач приходится находить определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это привело к необходимости вывода приближенных формул вычисления определенных интегралов. Познакомимся с двумя из них: формулой трапеций и формулой парабол. 1. Формула трапеций. Пусть требуется вычислить интеграл , где f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)³ 0. Разобьем отрезок на отрезков точками и с помощью прямых х=хk построим прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е. Где f(xk-1) и f(xk) - соответственно основания трапеций; xk - xk-1 = (b-a)/ - их высоты. Таким образом, получена приближенная формула которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше . Рассмотрим в качестве примера интеграл . Точное значение этого интеграла находится просто: Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное значение. Пусть =5. Тогда имеем: a=x0=0, x1=0,2, x2=0,4, x3=0,6, x4=0,8, x5=1=b и соответственно f(x0)=0, f(x1)=0,04, f(x2)=0,16, f(x3)=0,36, f(x4)=0,64, f(x5)=1. Следовательно, Точное значение интеграла равно 0,3333., поэтому абсолютная ошибка меньше 0,007. Во многих технических задач эта точность достаточна. Если увеличить число , то точность будет большей. Так, например, при =10 т.е. абсолютная ошибка меньше 0,002. В более полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на непрерывную вторую производную, то абсолютная величина погрешности формулы трапеций не больше, чем где k -наибольшее значение на отрезке . Следует отметить, что с увеличением увеличивается не только точность вычисления определенного интеграла, но и объем вычислительной работы. Однако здесь на помощь приходят ЭВМ. Вычислим по формуле трапеции интеграл при =10. Разобьем отрезок на 10 равных частей точками х0=0, х1=0,1, ., х9=0,9, х10=1. Вычислим приближенно значения функции f(x)=в этих точках: f(0)=1,0000, f(0,1)=0.9091, f(0,2)=0,8333, f(0,3)=0.7692, f(0,4)=0,7143, f(0,5)=0,6667, f(0,6)=0,6250, f(0,7)=0,5882, f(0,8)= 0,5556, f(0,9)=0,5263, f(1)=0,5000. По формуле трапеций получаем Оценим погрешность полученного результата. Так как f(x)=1/(1 x), то На отрезке имеем . Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины Вычислим точное значение данного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница: Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности. Идею, которая была использована при построении формулы трапеций, можно использовать для получения более точных приближенных формул для вычисления определенного интеграла. 2. Формула парабол. Докажем предварительно две леммы. Лемма 1.1. Через любые три точки М1 (х1; у1), М2 (х2; у2), М3 (х3; у3) с различными абсциссами можно провести единственную кривую вида у=Ах2 Вх С (1) Доказательство. Подставляя в уравнение параболы (1) координаты точек М1 , М2 , М3 , получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными А, В, С: Так как числа х1, х2, х3 различны, то определитель этой системы отличен от нуля: Следовательно, данная система имеет единственное решение, т.е

. коэффициенты А, В, С определяются однозначно. g Отметим, что если А¹ 0, то кривая (1) является параболой, если А=0, то прямой. Лемма 1.2. Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах2 Вх С, проходящей через точки М1 (-h; y1), M2 (0, y2), M3 (h, y3) (рис. 2) выражается формулой (2) Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах2 Вх С координаты точек М1, М2, М3, получаем у1=Аh2-Вh С; у2=С; у3=Аh2 Вh С, откуда следует, что 2Аh2 2С=у1 у3; С=у2 (3) Учитывая соотношение (3), имеем Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок на 2p равных отрезков точками а кривую y=f(x) с помощью прямых x=xk на 2 соответствующих частей точками М0 , М1 , М2 , ., М2k , М2k 1 , М2k 2, ., М2 -2 , М2 -1 , М2 (рис. 3). Через каждую тройку точек М0 М1 М2 , ., М2k М2k 1 М2k 2, ., М2 -2 М2 -1 М2 проведем кривую вида у=Ах2 Вх С (см. лемму 1.1). В результате получим криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку , приближенно равна площади соответствующей “параболической” трапеции, то по формуле (2) имеем где yk=f(xk), k=0, 1, 2, .,2 . Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу или в развернутом виде Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона. В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х1, х3, ., х2 -1 имеет коэффициент 4, в четных точках х2, х4, ., х2 -2 - коэффициент 2 и в двух граничных точках х0=а, х1, х2 =b - коэффициент 1. Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами (прямыми). В полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем где М - наибольшее значение на отрезке . Выше отмечалось, что погрешность формулы трапеций оценивается числом Так как 4 растет быстрее, чем 2, то погрешность формулы Симпсона с ростом уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Этим и объясняется, что формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций. Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл , но теперь по формуле Симпсона при =4. Разобьем отрезок на четыре равные части точками х0=0, х1=1/4, х2=1/2, х3=3/4, х4=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=1/(1 x) в этих точках у0=1,0000, у1=0,8000, у2=0,6667, у3=0,5714, у4=0,5000. По формуле Симпсона получаем Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции f(x)=1/(1 x) имеем: f(4)(x)=24/(1 x)5 , откуда следует, что на отрезке . Следовательно, можно взять М=24, и погрешность результата не превосходит величины 24/(2880× 44),0б0004. Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011.

Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций. Как отмечалось выше, приближенные формулы для вычисления определенного интеграла применяют в тех случаях, когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции. Вычислим, например, интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2 , найдем f(4)(x). Последовательно дифференцируя функцию f(x)=, получаем f(4)(x)=4(4х4-12х2 3) Так как на отрезке £ 1, ½4х4-12х2 3½ £5, то . Следовательно, можно взять М=20. Используя формулу оценки погрешности, имеем 20/2880 4&l ;1/1000, откуда 4 >1000/144. Для того чтобы выполнялось это неравенство, достаточно взять =2, т.е. 2 =4. Разобьем теперь отрезок на четыре равные части точками х0=0, х1=1/4, х2=1/2, х3=3/4, х4=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=в этих точках у0=1,0000, у1=0,9394, у2=0,7788, у3=0,5698, у4=0,3679. Применяя формулу Симпсона, получаем Таким образом, с точностью до 0,001. Итак, разбив отрезок всего на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью. В заключении отметим, что каждый из изложенных методов приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы - эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов, которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таблицы их значений.

Плоская тригонометрия изложена в самых незначительных размерах. Вторая кн. «Алмагеста» занимается делением Земли на поясы, долготами дня и полуденными длинами тени по различным параллелям, а также явлениями восхода и захода. Третья кн. рассматривает продолжительность года (Кассини) с точностью до минут, а затем излагает Гиппархову теоpию Солнца. Четвертая кн. посвящена определению продолжительности месяца и изложению теории движения Луны. Пятая занимается описанием устройства астролябии и мимоходом указаниями на произведенные при ее помощи новые измерения, которыми воспользовался автор с целью более точного изучения неравенств в движении Луны. Шестая кн. изучает соединения и противостояния Солнца и Луны вместе с условиями происхождения затмений; указывается возможность приближенного вычисления их наступления. В 7-ой кн. содержится статья о предварении равноденствий и древнейший из дошедших до нас звездных каталогов, восходящий, по всей вероятности, к Гиппарху. В нем описываются по порядку все известные грекам 48 созвездий (21 к северу от зодиака, 12 созвездий зодиака и 15 к югу от него), обнимающие в совокупности 1022 звезды, данные частью по их положению в фигуре созвездия, частью же по долготе, широте и видимой величине, не переходящей за шестую. Кн. 8-я посвящена обстоятельному описанию внешнего вида Млечного пути, который называется в ней галактическим кругом

1. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников

2. Вычисление определенного интеграла методом трапеций

3. Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

4. Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

5. Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции

6. Вычисление двойных интегралов методом ячеек
7. Вычисления определенного интеграла с помощью ф. – лы Симпсона на компьютере
8. Основные подходы к классификации банковских рисков, методы управления ими, а также определение путей их минимизации

9. Вычисление интегралов методом Монте-Карло

10. Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы

11. Метод А.Ф. Смирнова для определения критических нагрузок в стержневых системах

12. Определение фенола методом броматометрического титрования

13. Разработка методов определения эффективности торговых интернет систем

14. Численные методы. Двойной интеграл по формуле Симпсона

15. Хламидиоз. Методы определения/диагностики

16. Исследование метода акустической эмиссии для определения прочности конструкционных керамических материалов

Веб-камера "Defender C-2525HD".
Двухслойная стеклянная линза обеспечивает исключительную четкость картинки. Встроенный микрофон обеспечивает качественную передачу звука
1020 руб
Раздел: USB-устройства
Кружка "Лучшая Бабушка в мире", с рисунком.
Качественные керамические кружки с оригинальным рисунком, выполненным в процессе производства (подглазурное нанесение). Упаковка: белый
372 руб
Раздел: Кружки
Багетная рама "Anna" (цвет - серебряный), 40х50 см.
Багетные рамы предназначены для оформления картин, вышивок и фотографий. Оформленное изделие всегда становится более выразительным и
651 руб
Раздел: Размер 40x50

17. Метод моментов в определении ширины линии магнитного резонанса

18. Кредитоспособность ссудозаёмщика и методы её определения

19. Определение рыночной стоимости недвижимости затратным методом

20. Кредитоспособность ссудозаемщика и методы ее определения

21. Вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса (теория и программа на Паскале)

22. Метод определения поглощенных доз внешнего гамма-излучения по спектрам электронного парамагнитного резонатора зубной эмали
23. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
24. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

25. Определение индуктивности катушки и ее активного сопротивления методом резонанса

26. Методы определения возраста земли и Вселенной

27. Определение поверхностного натяжения методом счета капель

28. Определение поверхностного натяжения методом максимального давления в газовом пузырьке

29. Разработка для контроля и определения типа логических интегральных микросхем методом сигнатурного анализа

30. Определение предмета и метода проектирования устойчивого развития в системе Природа-Общество-Человек

31. Методы определения ПАУ в объектах окружающей среды

32. Теоретические методы определения

Подарок «Новогодняя ёлочка».
В состав подарка входят: 1. Ёлка. Сборная деревянная модель Сборная модель новогодней ёлочки - это отличный подарок и оригинальное
460 руб
Раздел: Новогодние наборы от My-shop.ru
Подставка под ноги "Мишки" антискользящая.
Подставка для ног от торговой марки Tega поможет крохе самостоятельно воспользоваться умывальником, унитазом или достать до высокого
450 руб
Раздел: Подставки под ноги
Готовальня "Perfecta Studio", 9 предметов в пенале, для учащихся старших классов и студентов.
Готовальня предназначена для старших классов. В комплекте: 9 предметов (циркуль металлический с пластиковым держателем, коленным
522 руб
Раздел: Циркули, чертежные инструменты

33. Ценовые стратегии фирмы. Закон Российской Федерации “О таможенном тарифе ” и методы определения таможенной стоимости товаров

34. Метод определения цены с ориентацией на спрос

35. Особенности учетной политики для организаций, перешедших на кассовый метод определения прибыли

36. Определение легколетучих элементов методом ЭТААС по технике дозирования суспензий образцов на никелевом модификаторе

37. Методы определения С-концевой аминокислоты

38. Некоторые методы определения характеристик деформируемо-сти и прочности грунтов
39. Определенный интеграл
40. Некоторые приложения определенного интеграла в математике

41. Метод определения спроса на основе анализа цен и объемов продаж

42. Методы определения и измерения сильных сторон личности

43. Спутниковые методы определения координат

44. Методы определения рН мяса

45. Показатели качества плодоовощных товаров и методы их определения как возможность обнаружения их фальсификации

46. Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов

47. Методы определения элементарного электрического заряда

48. Определение моментов инерции тел методом трифилярного подвеса

Фонарь "Акрил".
Высота светильника: 38 см. Диаметр светильника: 7 см. Декоративный светильник на солнечной батарее - простое и эффективное решение. Он
347 руб
Раздел: Уличное освещение
Наушники с микрофоном "Sven SEB-190M", 120 см, черные с красным.
Длина шнура: 120 см. Разъем: 3,5 мм jack. Назначение: для смартфонов. Частотный диапазон (наушники): 20 Гц – 20 кГц. Частотный диапазон
479 руб
Раздел: Наушники
Рюкзак "Nice. Young", 40x31x17 см.
Серия Nice - легкий повседневный молодежный рюкзак. Идеальное соотношение цена-качество. Рюкзаки изготовлен из высокопрочного полиэстера,
942 руб
Раздел: Без наполнения

49. Методы определения налогового бремени экономического субъекта

50. Газовая хроматография и определение этанола в метаноле методом внутренней нормализации

51. Методы определения содержания свинца, цинка, серебра в питьевой воде

52. Стандартизация измерения рН в неводных средах. Методы определения рН стандартных буферных растворов

53. Химический метод Винклера для определения растворенного кислорода

54. Определение жесткости воды комплексонометрическим методом
55. Газохроматографический метод определения загрязненности воздуха
56. Экстракционно-фотометрический метод определения тяжелых металлов в природных водах

57. Методы определения по спорам и пыльце климатических условий

58. Новые методы определения и расчета экономической эффективности инвестиций

59. Экономическая сущность и методы определения эффективности использования оборотных средств

60. Исследование природных ресурсов планеты с помощью космических методов

61. Исследование клеточного цикла методом проточной цитометрии

62. Определение активности ферментов

63. МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ЧЕЛОВЕКА

64. Методологическое значение сравнительного метода в зоологических исследованиях

Подгузники "Merries" для новорожденных, 0-5 кг, 90 штук (эконом).
Большая экономичная упаковка мягких и тонких подгузников для новорожденных. Подгузники пропускают воздух, позволяя коже малыша дышать.
1699 руб
Раздел: 0-5 кг
Научные развлечения. Бурлящая лава.
Попробуй устроить свое шоу цветных пузырьков! Думаешь, это невозможно? С помощью этого набора ты быстро и легко заставишь танцевать
452 руб
Раздел: Прочие
Форма разъемная для кулича Regent "Easy" круглая, 14x12 см.
Форма для выпечки разъемная из алюминия с антипригарным покрытием. Удобная застежка. Поверхность устойчива к царапинам. Размер: 14x12 см.
463 руб
Раздел: Формы и формочки для выпечки

65. Метод радиоавтографии в биологии

66. Определение параметров детонации заряда ВВ

67. Зажигательные смеси, состав, средства применения и доставки, вызываемые повреждения, методы лечения и защиты

68. Методы и модели демографических процессов

69. Гамма – каротаж. Физические основы метода

70. Метод Бокового каротажа
71. Добыча золота методами геотехнологии
72. Инженерно-геологические изыскания для определения характеристик грунтов и оснований

73. Инфляция и ее определение

74. Сущность, методы и формы государственного регулирования внешнеэкономической деятельности Российской Федерации

75. Предмет, метод, источники Административного права

76. Методы осуществления государственной власти

77. Метод гражданско правового регулирования

78. Предмет, метод и система гражданского процессуального права /Украина/

79. Корпорация BBC. Формы и методы государственного контроля вещания

80. В чем сложность налога на добавленную стоимость (в определении и собирании)

Карандаши акварельные "Сказочный город", 24 цветов.
Карандаши цветные с заточенным грифелем, с эргономичной трехгранной формой корпуса. Стержень: 3,3 мм. Яркие насыщенные цвета. Штрихи мягко
315 руб
Раздел: Акварельные
Простыня на резинке "ЭГО", 90х200 см, голубая.
Трикотажная простыня "ЭГО" на резинке выполнена из 100% хлопка высокого качества. Натуральный, экологически чистый материал
589 руб
Раздел: Простыни, пододеяльники
Варежки для влюбленных.
Любите совместные прогулки с любимым, но зима заставляет одевать перчатки? Хотите чувствовать тепло друг друга даже в мороз? Специальные
324 руб
Раздел: Прочее

81. Правовые нормы: определение, признаки, виды

82. Методы комплексной оценки хозяйственно-финансовой деятельности

83. Цикл-метод обучения. (Методика преподавания эстонского языка)

84. Специфика преподавания иностранного языка и метод проектов

85. Естественная и гуманитарная культуры. Научный метод

86. Русская здрава (методы оздоровления на Руси)
87. Субстанционные определения в повести Паустовского "О жизни"
88. Методы изучения музыкальных произведений крупной формы в старших классах общеобразовательной школы

89. Метод комплексного археолого-искусствоведческого анализа могильников

90. Конвертер программы с подмножества языка Си в Паскаль с использованием LL(1) метода синтаксического анализа (выражения)

91. Методы компьютерной обработки статистических данных. Проверка однородности двух выборок

92. Методичка по Internet Explore

93. Шифрование по методу UUE

94. Определение подозрительных пакетов, анализ протоколов сети

95. Определение эффективности применения информационной технологии

96. Метод деформируемого многогранника

Муфта для коляски "Bambola" (шерстяной мех + плащевка + кнопки), белая.
Муфта на ручку коляски очень легко одевается и защищает Ваши руки от холода. Ткань муфты водоотталкивающая, она утеплена мехом и небольшим
558 руб
Раздел: Муфты на ручку
Магниты прямоугольные, 54 мм, белые.
Размер: 54х19х8 мм. Сила: 1,3 кг. Материал: цельный ферритный магнит. Количество: 10 штук. Цвет: белый.
338 руб
Раздел: Аксессуары для досок
Машина-каталка Chilok bo "Мега" с бампером (желтая).
Бампер-ограждение не позволит ребёнку упасть, а ручка-толкатель позволит взрослому толкать машинку. Устойчивые колеса с поворотом на 90
2235 руб
Раздел: Каталки

97. Сравнение эффективности методов сортировки массивов: Метод прямого выбора и метод сортировки с помощью дерева

98. Методы прогнозирования основанные на нейронных сетях

99. Модифицированный симплекс-метод с мультипликативным представлением матриц


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.