Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Приближенное вычисление определенных интегралов

Карабин, 6x60 мм.
Размеры: 6x60 мм. Материал: металл. Упаковка: блистер.
44 руб
Раздел: Карабины для ошейников и поводков
Ручка "Шприц", желтая.
Необычная ручка в виде шприца. Состоит из пластикового корпуса с нанесением мерной шкалы. Внутри находится жидкость желтого цвета,
31 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Мыло металлическое "Ликвидатор".
Мыло для рук «Ликвидатор» уничтожает стойкие и трудно выводимые запахи за счёт особой реакции металла с вызывающими их элементами.
210 руб
Раздел: Ванная

При решении физических и технических задач приходится находить определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это привело к необходимости вывода приближенных формул вычисления определенных интегралов. Познакомимся с двумя из них: формулой трапеций и формулой парабол. 1. Формула трапеций. Пусть требуется вычислить интеграл , где f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)³ 0. Разобьем отрезок на отрезков точками и с помощью прямых х=хk построим прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е. Где f(xk-1) и f(xk) - соответственно основания трапеций; xk - xk-1 = (b-a)/ - их высоты. Таким образом, получена приближенная формула которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше . Рассмотрим в качестве примера интеграл . Точное значение этого интеграла находится просто: Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное значение. Пусть =5. Тогда имеем: a=x0=0, x1=0,2, x2=0,4, x3=0,6, x4=0,8, x5=1=b и соответственно f(x0)=0, f(x1)=0,04, f(x2)=0,16, f(x3)=0,36, f(x4)=0,64, f(x5)=1. Следовательно, Точное значение интеграла равно 0,3333., поэтому абсолютная ошибка меньше 0,007. Во многих технических задач эта точность достаточна. Если увеличить число , то точность будет большей. Так, например, при =10 т.е. абсолютная ошибка меньше 0,002. В более полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на непрерывную вторую производную, то абсолютная величина погрешности формулы трапеций не больше, чем где k -наибольшее значение на отрезке . Следует отметить, что с увеличением увеличивается не только точность вычисления определенного интеграла, но и объем вычислительной работы. Однако здесь на помощь приходят ЭВМ. Вычислим по формуле трапеции интеграл при =10. Разобьем отрезок на 10 равных частей точками х0=0, х1=0,1, ., х9=0,9, х10=1. Вычислим приближенно значения функции f(x)=в этих точках: f(0)=1,0000, f(0,1)=0.9091, f(0,2)=0,8333, f(0,3)=0.7692, f(0,4)=0,7143, f(0,5)=0,6667, f(0,6)=0,6250, f(0,7)=0,5882, f(0,8)= 0,5556, f(0,9)=0,5263, f(1)=0,5000. По формуле трапеций получаем Оценим погрешность полученного результата. Так как f(x)=1/(1 x), то На отрезке имеем . Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины Вычислим точное значение данного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница: Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности. Идею, которая была использована при построении формулы трапеций, можно использовать для получения более точных приближенных формул для вычисления определенного интеграла. 2. Формула парабол. Докажем предварительно две леммы. Лемма 1.1. Через любые три точки М1 (х1; у1), М2 (х2; у2), М3 (х3; у3) с различными абсциссами можно провести единственную кривую вида у=Ах2 Вх С (1) Доказательство. Подставляя в уравнение параболы (1) координаты точек М1 , М2 , М3 , получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными А, В, С: Так как числа х1, х2, х3 различны, то определитель этой системы отличен от нуля: Следовательно, данная система имеет единственное решение, т.е

. коэффициенты А, В, С определяются однозначно. g Отметим, что если А¹ 0, то кривая (1) является параболой, если А=0, то прямой. Лемма 1.2. Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах2 Вх С, проходящей через точки М1 (-h; y1), M2 (0, y2), M3 (h, y3) (рис. 2) выражается формулой (2) Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах2 Вх С координаты точек М1, М2, М3, получаем у1=Аh2-Вh С; у2=С; у3=Аh2 Вh С, откуда следует, что 2Аh2 2С=у1 у3; С=у2 (3) Учитывая соотношение (3), имеем Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок на 2p равных отрезков точками а кривую y=f(x) с помощью прямых x=xk на 2 соответствующих частей точками М0 , М1 , М2 , ., М2k , М2k 1 , М2k 2, ., М2 -2 , М2 -1 , М2 (рис. 3). Через каждую тройку точек М0 М1 М2 , ., М2k М2k 1 М2k 2, ., М2 -2 М2 -1 М2 проведем кривую вида у=Ах2 Вх С (см. лемму 1.1). В результате получим криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку , приближенно равна площади соответствующей “параболической” трапеции, то по формуле (2) имеем где yk=f(xk), k=0, 1, 2, .,2 . Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу или в развернутом виде Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона. В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х1, х3, ., х2 -1 имеет коэффициент 4, в четных точках х2, х4, ., х2 -2 - коэффициент 2 и в двух граничных точках х0=а, х1, х2 =b - коэффициент 1. Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами (прямыми). В полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем где М - наибольшее значение на отрезке . Выше отмечалось, что погрешность формулы трапеций оценивается числом Так как 4 растет быстрее, чем 2, то погрешность формулы Симпсона с ростом уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Этим и объясняется, что формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций. Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл , но теперь по формуле Симпсона при =4. Разобьем отрезок на четыре равные части точками х0=0, х1=1/4, х2=1/2, х3=3/4, х4=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=1/(1 x) в этих точках у0=1,0000, у1=0,8000, у2=0,6667, у3=0,5714, у4=0,5000. По формуле Симпсона получаем Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции f(x)=1/(1 x) имеем: f(4)(x)=24/(1 x)5 , откуда следует, что на отрезке . Следовательно, можно взять М=24, и погрешность результата не превосходит величины 24/(2880× 44),0б0004. Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011.

Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций. Как отмечалось выше, приближенные формулы для вычисления определенного интеграла применяют в тех случаях, когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции. Вычислим, например, интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2 , найдем f(4)(x). Последовательно дифференцируя функцию f(x)=, получаем f(4)(x)=4(4х4-12х2 3) Так как на отрезке £ 1, ½4х4-12х2 3½ £5, то . Следовательно, можно взять М=20. Используя формулу оценки погрешности, имеем 20/2880 4&l ;1/1000, откуда 4 >1000/144. Для того чтобы выполнялось это неравенство, достаточно взять =2, т.е. 2 =4. Разобьем теперь отрезок на четыре равные части точками х0=0, х1=1/4, х2=1/2, х3=3/4, х4=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=в этих точках у0=1,0000, у1=0,9394, у2=0,7788, у3=0,5698, у4=0,3679. Применяя формулу Симпсона, получаем Таким образом, с точностью до 0,001. Итак, разбив отрезок всего на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью. В заключении отметим, что каждый из изложенных методов приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы - эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов, которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таблицы их значений.

Плоская тригонометрия изложена в самых незначительных размерах. Вторая кн. «Алмагеста» занимается делением Земли на поясы, долготами дня и полуденными длинами тени по различным параллелям, а также явлениями восхода и захода. Третья кн. рассматривает продолжительность года (Кассини) с точностью до минут, а затем излагает Гиппархову теоpию Солнца. Четвертая кн. посвящена определению продолжительности месяца и изложению теории движения Луны. Пятая занимается описанием устройства астролябии и мимоходом указаниями на произведенные при ее помощи новые измерения, которыми воспользовался автор с целью более точного изучения неравенств в движении Луны. Шестая кн. изучает соединения и противостояния Солнца и Луны вместе с условиями происхождения затмений; указывается возможность приближенного вычисления их наступления. В 7-ой кн. содержится статья о предварении равноденствий и древнейший из дошедших до нас звездных каталогов, восходящий, по всей вероятности, к Гиппарху. В нем описываются по порядку все известные грекам 48 созвездий (21 к северу от зодиака, 12 созвездий зодиака и 15 к югу от него), обнимающие в совокупности 1022 звезды, данные частью по их положению в фигуре созвездия, частью же по долготе, широте и видимой величине, не переходящей за шестую. Кн. 8-я посвящена обстоятельному описанию внешнего вида Млечного пути, который называется в ней галактическим кругом

1. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников

2. Вычисление определенного интеграла методом трапеций

3. Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

4. Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

5. Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции

6. Вычисление двойных интегралов методом ячеек
7. Вычисления определенного интеграла с помощью ф. – лы Симпсона на компьютере
8. Основные подходы к классификации банковских рисков, методы управления ими, а также определение путей их минимизации

9. Вычисление интегралов методом Монте-Карло

10. Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы

11. Метод А.Ф. Смирнова для определения критических нагрузок в стержневых системах

12. Определение фенола методом броматометрического титрования

13. Разработка методов определения эффективности торговых интернет систем

14. Численные методы. Двойной интеграл по формуле Симпсона

15. Хламидиоз. Методы определения/диагностики

16. Исследование метода акустической эмиссии для определения прочности конструкционных керамических материалов

Тележка для маркета.
Размер тележки: 39x36,5x58 см.
831 руб
Раздел: Магазины, супермаркеты
Шар для принятия решений.
Волшебный шар для принятия решений, на русском языке. Принцип действия: для начала нужно понять, на какой вопрос вы хотите получить ответ.
448 руб
Раздел: Прочее
Набор чернографитных карандашей для правшей STABILO EASYgraph, 2 штуки.
Первые трехгранные чернографитные карандаши, специально разработанные для левшей и для правшей. Твердость - HB. Карандаши позволяют
337 руб
Раздел: Чернографитные

17. Метод моментов в определении ширины линии магнитного резонанса

18. Кредитоспособность ссудозаёмщика и методы её определения

19. Определение рыночной стоимости недвижимости затратным методом

20. Кредитоспособность ссудозаемщика и методы ее определения

21. Вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса (теория и программа на Паскале)

22. Метод определения поглощенных доз внешнего гамма-излучения по спектрам электронного парамагнитного резонатора зубной эмали
23. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
24. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

25. Определение индуктивности катушки и ее активного сопротивления методом резонанса

26. Методы определения возраста земли и Вселенной

27. Определение поверхностного натяжения методом счета капель

28. Определение поверхностного натяжения методом максимального давления в газовом пузырьке

29. Разработка для контроля и определения типа логических интегральных микросхем методом сигнатурного анализа

30. Определение предмета и метода проектирования устойчивого развития в системе Природа-Общество-Человек

31. Методы определения ПАУ в объектах окружающей среды

32. Теоретические методы определения

Настольная игра "Чудовище Джио-Джанги".
Настольная игра "Чудовище Джио-Джанги" - легендарная приключенческая игра, неоднократно переизданная и пользующаяся огромной
392 руб
Раздел: Классические игры
Обложки для переплета, тиснение под кожу, А4, картон 230г/м2, черные, 100 шт..
Обложки для переплета из плотного картона. Актуальны для создания деловых брошюр. Имеют поверхность с текстурой, имитирующей натуральную
383 руб
Раздел: Прочее
Игра "Моя первая монополия".
Динамичная игра в торговлю недвижимостью! Играй и учись зарабатывать! Считай деньги, копи наличные и побеждай! Ты можешь стать владельцем
1539 руб
Раздел: Классические игры

33. Ценовые стратегии фирмы. Закон Российской Федерации “О таможенном тарифе ” и методы определения таможенной стоимости товаров

34. Метод определения цены с ориентацией на спрос

35. Особенности учетной политики для организаций, перешедших на кассовый метод определения прибыли

36. Определение легколетучих элементов методом ЭТААС по технике дозирования суспензий образцов на никелевом модификаторе

37. Методы определения С-концевой аминокислоты

38. Некоторые методы определения характеристик деформируемо-сти и прочности грунтов
39. Определенный интеграл
40. Некоторые приложения определенного интеграла в математике

41. Метод определения спроса на основе анализа цен и объемов продаж

42. Методы определения и измерения сильных сторон личности

43. Спутниковые методы определения координат

44. Методы определения рН мяса

45. Показатели качества плодоовощных товаров и методы их определения как возможность обнаружения их фальсификации

46. Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов

47. Методы определения элементарного электрического заряда

48. Определение моментов инерции тел методом трифилярного подвеса

Зеркало Dewal Beauty настольное, в оправе янтарного цвета, 178x160 мм.
Настольное зеркало Dewal Beauty круглой формы в оправе янтарного цвета на пластиковой подставке. Размеры: 178x160 мм.
307 руб
Раздел: Зеркала, расчески, заколки
На золотом крыльце...Карточки с заданиями к палочкам Кюизенера.
Набор игр с цветными счетными палочками Кюизенера. В состав набора входят два блока иллюстративного материала к играм и упражнениям. 1
365 руб
Раздел: Счетные наборы, веера
Сувенир "Собака в шарфе", 15 см.
Год Собаки наступает в 2018 году. Фигурка большого, благородного пса выполнена из полирезины и отличается качественной прорисовкой
303 руб
Раздел: Животные

49. Методы определения налогового бремени экономического субъекта

50. Газовая хроматография и определение этанола в метаноле методом внутренней нормализации

51. Методы определения содержания свинца, цинка, серебра в питьевой воде

52. Стандартизация измерения рН в неводных средах. Методы определения рН стандартных буферных растворов

53. Химический метод Винклера для определения растворенного кислорода

54. Определение жесткости воды комплексонометрическим методом
55. Газохроматографический метод определения загрязненности воздуха
56. Экстракционно-фотометрический метод определения тяжелых металлов в природных водах

57. Методы определения по спорам и пыльце климатических условий

58. Новые методы определения и расчета экономической эффективности инвестиций

59. Экономическая сущность и методы определения эффективности использования оборотных средств

60. Исследование природных ресурсов планеты с помощью космических методов

61. Исследование клеточного цикла методом проточной цитометрии

62. Определение активности ферментов

63. МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ЧЕЛОВЕКА

64. Методологическое значение сравнительного метода в зоологических исследованиях

Деревянная рамка для картин, коричневая, 40x50 см.
Деревянная багетная рамка прекрасно дополнит любую картину, придаст ей законченный вид. Утонченная, изящная рамка, выполненная в
1078 руб
Раздел: Размер 40x50
Глобус Земли физико-политический, рельефный, с подсветкой, 320 мм.
Глобус Земли физико-политический, рельефный, с подсветкой, питание от сети. Диаметр: 32 см. Материал: пластмасса. Крым в составе РФ.
1487 руб
Раздел: Глобусы
Простыня на резинке "ЭГО", 160х200 см, голубая.
Трикотажная простыня "ЭГО" на резинке выполнена из 100% хлопка высокого качества. Натуральный, экологически чистый материал
760 руб
Раздел: Простыни, пододеяльники

65. Метод радиоавтографии в биологии

66. Определение параметров детонации заряда ВВ

67. Зажигательные смеси, состав, средства применения и доставки, вызываемые повреждения, методы лечения и защиты

68. Методы и модели демографических процессов

69. Гамма – каротаж. Физические основы метода

70. Метод Бокового каротажа
71. Добыча золота методами геотехнологии
72. Инженерно-геологические изыскания для определения характеристик грунтов и оснований

73. Инфляция и ее определение

74. Сущность, методы и формы государственного регулирования внешнеэкономической деятельности Российской Федерации

75. Предмет, метод, источники Административного права

76. Методы осуществления государственной власти

77. Метод гражданско правового регулирования

78. Предмет, метод и система гражданского процессуального права /Украина/

79. Корпорация BBC. Формы и методы государственного контроля вещания

80. В чем сложность налога на добавленную стоимость (в определении и собирании)

Ручка-стилус шариковая "Самый лучший!".
Перед Вами готовый подарок в стильной упаковке — шариковая ручка со стилусом. Она имеет прочный металлический корпус, а надпись нанесена с
415 руб
Раздел: Металлические ручки
Набор мебели для кухни "Коллекция".
Прекрасный набор кухонной мебели: стильный шкаф с необходимой техникой, раковиной, барной стойкой и холодильник. В набор так же входит
827 руб
Раздел: Кухни, столовые
Подушка с наполнителем "Лебяжий пух. Стандарт", 50x70 см.
Размер: 50x70 см. Цвет: синий. Ткань: 100% хлопок. Наполнитель: заменитель лебяжьего пуха - микроволокно DownFill.
1047 руб
Раздел: Размер 50х70 см, 40х60 см

81. Правовые нормы: определение, признаки, виды

82. Методы комплексной оценки хозяйственно-финансовой деятельности

83. Цикл-метод обучения. (Методика преподавания эстонского языка)

84. Специфика преподавания иностранного языка и метод проектов

85. Естественная и гуманитарная культуры. Научный метод

86. Русская здрава (методы оздоровления на Руси)
87. Субстанционные определения в повести Паустовского "О жизни"
88. Методы изучения музыкальных произведений крупной формы в старших классах общеобразовательной школы

89. Метод комплексного археолого-искусствоведческого анализа могильников

90. Конвертер программы с подмножества языка Си в Паскаль с использованием LL(1) метода синтаксического анализа (выражения)

91. Методы компьютерной обработки статистических данных. Проверка однородности двух выборок

92. Методичка по Internet Explore

93. Шифрование по методу UUE

94. Определение подозрительных пакетов, анализ протоколов сети

95. Определение эффективности применения информационной технологии

96. Метод деформируемого многогранника

Стул детский Ника складной, моющийся (розовый, рисунок: горошек).
Особенности: - стул складной; - предназначен для детей от 3 до 7 лет; - металлический каркас; - на ножках стула установлены пластмассовые
562 руб
Раздел: Стульчики
Мелки восковые, 64 штуки.
Мелки восковые. Количество: 64 штуки. Длина: 9 см.
313 руб
Раздел: Восковые
Глобус "ELITE", двойная карта, диаметр 30 см, новая карта, подсветка.
Диаметр: 30 см. Двойная русифицированная физическая/политическая карта мира. Внутренняя подсветка. Утяжеленная подставка. Прозрачный
2697 руб
Раздел: Глобусы

97. Сравнение эффективности методов сортировки массивов: Метод прямого выбора и метод сортировки с помощью дерева

98. Методы прогнозирования основанные на нейронных сетях

99. Модифицированный симплекс-метод с мультипликативным представлением матриц


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.