Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

Фонарь садовый «Тюльпан».
Дачные фонари на солнечных батареях были сделаны с использованием технологии аккумулирования солнечной энергии. Уличные светильники для
106 руб
Раздел: Уличное освещение
Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм.
Качественные Японские крючки с лопаткой. Крючки с поводками – готовы к ловле. Высшего качества, исключительно острые японские крючки,
58 руб
Раздел: Размер от №1 до №10
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники

Интеграл по комплексной переменной. Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную. Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг. Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно- гладкая кривая С длиной ?, используя параметрическое задание кривой С зададим ?( ) и ? ( ), где ? и ? являются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной . Пусть ? 0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек ? i , то этот предел называется интегралом от функции f (? ) по кривой С. (2) f (?i ) = u (Pi ) iv (Pi ) (3) где ? i = ? ( ) i?( ) (? ( ) и ?( ) - действительные числа) Подставив (3) в (1) получим : (4)Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при ? и ? > 0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем : (5)Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функций u и v. Это означает, что (2) существует и в случае неаналитичности функции f (? ). Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной переменной. Из равенства (5) следуют свойства :О ограниченности интеграла. При этом z = ? (? ). 7.) Пусть Cp – окружность радиуса ?, с центром в точке Z0. Обход вокруг контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp : ? = Z0 ?ei?, 0 ? ? ? 2?, d? = i?ei? d? . Кусочно-гладкую замкнутую кривую будем называть замкнутым контуром, а интеграл по замкнутому контуру – контурным интегралом. ТЕОРЕМА КОШИ. В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения : Для действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1- го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина: ( 8 )ТЕОРЕМА : Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю. Доказательство : из формулы (5) следует: Т.к. f(? ) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши- Римана. Используя свойство криволинейных интегралов: Аналогично : По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда :ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f(?) является аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю. EOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) : Пусть f (?) является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С0, а изнутри контурами С1, С2, .

,С (см. рис.). Пусть f (?) непрерывна в замкнутой области G, тогда :, где С – полная граница области G, состоящая из контуров С1, С2, . , С . Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении. Неопределенный интеграл. Следствием формулы Коши является следующее положение : пусть f(Z) аналитична в односвязной области G, зафиксируем в этой области точку Z0 и обозначим: интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z0 и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой области имеет место равенство : Ф' (Z) = f( Z). Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенство : ( 9) Это аналог формулы Ньютона-Лейбница. Интеграл Коши. Вывод формулы Коши. Ранее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции. Пусть функция f(Z) – аналитическая функция в односвязной области G, ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z0 и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим вспомогательную функцию ? (Z). Эта функция аналитична в области G всюду, кроме точки Z=Z0. Проведем контур ? с достаточным радиусом, ограничивающий точку Z0, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области, заключенной между контурами Г и ?. Согласно теореме Коши имеем :По свойствам интегралов : (2 ) Так как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования, то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в качестве ? окружность ? с радиусом ? . Тогда: (3)Уравнение окружности ? : ? = Z0 ?ei? (4) Подставив (4) в (3) получим : ( 5 ) ( 6 ) (7) Устремим ?> 0, т.е. ?> 0. Тогда т.к. функция f(?) аналитична в точке Z=Z0 и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех ?>0 существует ?>0, что для всех ? из ?–окрестности точки Z0 выполняется f(?) – f(Z0) < ?. (8) Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем : Подставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем : (9)Это интеграл Коши. Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f(?) в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре ? , лежащем в области аналитичности функции f(?) и содержащем точку Z0 внутри. Очевидно, что если бы функция f(?) была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы ? в формуле (9) можно было использовать контур С. Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z0 на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т.

Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю : При Z0 ? Г указанный интеграл не существует. Интегралы, зависящие от параметра.Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2- х комплексных переменных : переменной интегрирования ? и Z0. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z0. Пусть задана функция двух комплексных переменных ? (Z, ? ), причем Z= x iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. ?= ? i? ? С. (С - граница G). Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция ? (Z, ? ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений ? ? С является аналитической в области G. 2) Функция ? (Z, ? ) и ее производная ?/? являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и ? при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях : Интеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула : (2)Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула : (3)С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G. Разложение функции комплексного переменного в ряды.Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до -го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора : Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до -го порядка, то: (2) – разложение в ряд Тейлора.Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу Z-Z0 ? . Формулы ЭЙЛЕРА. Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix; (6) Аналогично взяв Z = - ix получим : (7) Из (6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера : (9) Известно, что : (10) Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами: Ряд ЛОРАНА. Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем. ТЕОРЕМА 1. Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом Z-Z0 < R раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z0. Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R.

Этот метод даёт, например, решение уравнения Абеля f [a(x )] = f (x ) + 1 [где a(x ) — заданная функция] и связанного с ним уравнения Шрёдера f [a(x )] = cf (x ). А. Н. Коркин доказал, что если a(х ) — аналитическая функция, то уравнение Абеля имеет аналитическое решение. Эти результаты, нашедшие применение в теории групп Ли (см. Непрерывные группы ), привели в дальнейшем к созданию теории итераций аналитических функций. В некоторых случаях уравнение Абеля решается в конечном виде. Например, Ф. у. f (xn ) = f (x ) + 1 имеет частное решение .   Лит.: Ацель Я., Некоторые общие методы в теории функциональных уравнений одной переменной. Новые применения функциональных уравнений, «Успехи математических наук», 1956, т. 11, в. 3, с. 3—68. «Функциональный анализ и его приложения» «Функциона'льный ана'лиз и его' приложе'ния», научный журнал Отделения математики АН СССР, публикующий оригинальные работы по актуальным вопросам функционального анализа и его приложений, а также информационные материалы. Издаётся в Москве с 1967

1. Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

2. Фаустовское мировоззрение Шпенглера и его приложение к миру на примере заката Европы

3. Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах

4. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

5. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

6. Принцип резолюции в исчислении высказываний и логике предикатов и его модификации
7. Германия. Баухауз и его вклад в развитие мирового дизайна
8. Сатурн и его спутники

9. Марс и его спутники

10. Хлорофилл: его свойства и биосинтез

11. Химическое оружие и проблемы его уничтожения в России

12. Экономика Аргентины (перевод англоязычной статьи с приложениями)

13. Государственный бюджет, проблемы его формирования

14. Государственный бюджет и его роль в макроэкономическом равновесии

15. Рынок земли в современной Российской экономике и перспективы его развития при сложившейся экономической ситуации

16. Аппарат государственной власти и его структура

Беговел "Funny Wheels Basic" (цвет: желтый).
Беговел - это современный аналог детского велосипеда без педалей для самых маленьких любителей спорта. Удобный и простой в
2550 руб
Раздел: Беговелы
Фоторамка на 4 фотографии С34-009 "Alparaisa", 55,5x18 см (белый).
Размеры рамки: 55,5x18x1 cм. Размеры фото: - 10х15 см, 2 штуки, - 15х10 см, 2 штуки. Фоторамка-коллаж для 4-х фотографий. Материал:
475 руб
Раздел: Мультирамки
Кран башенный.
Тяжелые колеса из ПВХ играют роль инерционного движителя. Стрела поворачивается, трос наматывается на барабан с трещоткой, человечек
499 руб
Раздел: Подъёмные краны, автокраны

17. Государственный служащий и его административно-правовой статус. Классификация государственных служащих

18. Договор подряда и его виды

19. Потребитель и его права

20. Международный туризм и его роль в развитии экономики Киргизской Республики

21. Судебник 1550 года, его историческое значение

22. Соборное Уложение 1649 г. и его значение
23. Юрий Владимирович Андропов и его вклад в развитие государства
24. Опорный край державы. Урал в период ВОВ и его вклад в победу

25. Парламент Великобритании и его основные характеристики. Функции палат

26. Референдум и его социальная функция

27. Референдумы и его формы

28. Федеральное Собрание - парламент России как высший представительный орган, его место в системе органов государства

29. Международный комитет красного креста и его роль в установлении гуманитарных норм международных конфликтов

30. Устав муниципального образования и его роль в М.С.У.

31. Понятие налога, налогового права, его система, их функции

32. Государственный долг: понятие, состав и его обслуживание (по Казахстану)

Подставка под ноги "Мишки" антискользящая.
Подставка для ног от торговой марки Tega поможет крохе самостоятельно воспользоваться умывальником, унитазом или достать до высокого
449 руб
Раздел: Подставки под ноги
Рюкзак детский, 30x24x10 см.
Рюкзак детский с вместительным основным отделением и дополнительными карманами. Лямки регулируются. Размер: 30х24х10 см. Материал:
419 руб
Раздел: Без наполнения
Ходунки-каталка "Happy Time ".
Ходунки-каталка Happy Time–специально разработаны для мылышей от 6 месяцев до 3 лет специально для того, чтобы помочь малышу сделать свои
2760 руб
Раздел: Ходунки

33. Римское право. Обязательство и его виды

34. Страховой рынок Украины и его характеристика

35. Страхование и его роль в рыночной экономике

36. Государство, его основные признаки и формы правления

37. Порядок увольнения с работы и его оформление

38. Трудовой договор, его значение и особенности в современных экономических условиях
39. Биография Вильяма Шекспира (Shakespeare William), подробный обзор его творчества. Сюжет и содержание произведения "Ромео и Джульетта"
40. Continuity and change in Stravinskiy`s ballets. Стравинский и его балеты

41. Томас Гейнсборо и его творчество

42. Лермонтов в искусстве его времени

43. Китайский фарфор и центры его производства

44. Человек и его потребности. Любовь

45. Миф и его аспекты

46. Образ автора и его роль в романе А.С. Пушкина "Евгений Онегин"

47. Биография Александра Дюма. Характеристика его романа "Учитель фехтования"

48. А.П. Чехов и его произведения: "Унтер Пришибей", "Палата N6", "Дом с мезонином"

Стул детский Ника "СТУ3" складной, мягкий (рисунок: машинки).
Особенности: - стул складной; - предназначен для детей от 3 до 7 лет; - металлический каркас; - на ножках стула установлены пластмассовые
562 руб
Раздел: Стульчики
Настольная игра "Матрешкино".
Простая и понятная даже маленьким детям, она увлечёт и взрослых. Игроки наперегонки ищут нужную матрёшку, чтобы повторить её жест. Кто
357 руб
Раздел: Карточные игры
Багетная рама "Wendy", 30x40 см.
Багетные рамы предназначены для оформления картин, вышивок и фотографий. Оформленное изделие всегда становится более выразительным и
558 руб
Раздел: Размер 30x40

49. Зависимость свободы героя от его привязанности: к миру, к месту, к вещам - в произведениях Сергея Довлатова и Венедикта Ерофеева

50. М.А. Булгаков и его роман "Мастер и Маргарита"

51. Иннокентий Анненский. Гончаров и его Обломов

52. Вильям Шекспир и его произведение "Ромео и Джульетта"

53. Разделительные знаки при приложении

54. Объективная обусловленность восприятия звукосимволичных слов языка и связь фонетической формы слова с его семантическим содержанием и денотатом
55. С. П. Дягилев и его «Русские сезоны»
56. "...Мне не стало хватать его..." (о творчестве В.С. Высоцкого)

57. Традиционализм и его влияние на систему государственного управления Японии

58. Политический портрет Рональна Рейгана /вплоть до избрания его президентом США/

59. С.Ю. Витте и его реформы

60. Архимед и его законы

61. Кутузов и его время

62. П.А. Столыпин и его реформа

63. Петр I, его наружность, привычки, образ жизни и характер

64. Пирогов Н.И. и его время

Набор подарочный для новорождённого "Мой малыш".
Запечатлите мимолетные мгновения жизни Вашего ребенка с помощью необычного набора для новорождённого «Мой малыш». Рамка для
850 руб
Раздел: Прочие
Ранец "Generic. Wild Horse".
Размер: 37х27х21 см. Раскладной школьный ранец обязательно привлечет внимание вашего ребенка. Ранец выполнен из современного легкого и
2567 руб
Раздел: Без наполнения
Качели детские подвесные "Классик С".
Подвесные качели "Классик С" - это веселый домашний аттракцион для самых маленьких детей. Качели подвешиваются с помощью прочных
450 руб
Раздел: Качели

65. Томас Джефферсон и его роль в американской революции 18 века

66. Джордано Бруно и его философские идеи

67. Александр 2 и его реформы

68. Россия в годы интервенции и гражданской войны (1918-1920гг.). "Белое движение", его состав и цели

69. Кирилло-Мефодьевское братство: программа его деятельности

70. Даниил Галицкий и его внутренняя и внешняя политика (Данило Галицький - його внутрЁшня та зовнЁшня полЁтика)
71. Крещение Руси. Освещение его в древнерусских летописях
72. Нашествие на Русь с Востока и Запада. Татаро-монгольское иго и его влияние на экономическое и политическое развитие Руси

73. П. Л. Шиллинг и его телеграф

74. Основные компоненты систем управления документооборотом. Фрейм: его структура и понятие

75. Интернет и его услуги

76. Устройство компьютера и его основные блоки

77. Задачи графических преобразований в приложениях моделирования с использованием ЭВМ

78. Разработка приложений в рамках COM

79. Интеграция Word с приложениями и объектами

80. Криптология: подстановочно-перестановочный шифр и его применение

Подарочный набор Шампунь "Земляника", 240 мл + Гелевая зубная паста "Малина", 60 мл + Пеня для купания.
Пена для купания наполнит ванну ароматом душистой дыни, а с цветным гелем можно рисовать забавные узоры на губке или коже ребенка, а затем
326 руб
Раздел: Зубные пасты
Бутылочка для кормления Avent "Classic+", 125 мл, от 0 месяцев.
Зарекомендовавшая себя серия Classic была улучшена: теперь кормление станет еще приятнее. Антиколиковая система, эффективность которой
358 руб
Раздел: Бутылочки
Табурет складной "Моби".
Табурет изготовлен из пищевой пластмассы и абсолютно безопасен для детей, легко собирается и моется. Яркая цветовая гамма табурета
522 руб
Раздел: Стульчики

81. Основные принципы просесса инсталляции приложений в ОС Windows

82. Приложение Microsoft Office – WordArt

83. Евклид и его "Начала"

84. Теория неявных функций и ее приложения

85. Пищеварительный тракт и его основные функции

86. Иммунология. Общие принципы и понятия. Иммунитет, его виды, стимуляторы, индукторы, цитотоксичность, апоптоз, киллинг, адгезия, интегрины, селектины, миграция, хоминг и многое другое
87. Гигиена беременности. Аборт и его последствия
88. Понятие предварительного расследования и его формы

89. Уголовно-исполнительное право в системе права, его предмет, функции и система

90. Дознание. Его виды (Доклад)

91. Процесс доказывания и его особенности на различных стадиях уголовного процесса

92. Свинцовое загрязнение окружающей среды РФ и его влияние на здоровье населения

93. Агрессивное поведение и его роль в организации сообществ млекопитающих

94. Киотский протокол. Суть и цели данного документа. История его составления и подписания странами-членами мирового сообщества

95. К.Д. Ушинский о народном учителе и его подготовке

96. Понятие и сущность содержания образования. Источники и факторы его формирования

Грамота "С гербом и флагом", вертикальная, 200 штук (количество томов: 200).
Размер: 210x297 мм. Материал: бумага мелованная, плотностью 140 г/м2. В упаковке: 200 штук.
1024 руб
Раздел: Грамоты без текста
Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение", размер: 5/XL (11-25 кг), 48 штук.
Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение" сделаны по японской технологии в сотрудничестве с японской корпорацией WATASHI
801 руб
Раздел: Более 11 кг
Увлекательная настольная игра "Зверобуквы", новая версия.
В игровом наборе маленькие карточки-буквы и большие карты-звери. Иллюстраторы поработали здесь на славу! У каждой буквы свой яркий и
632 руб
Раздел: Карточные игры

97. Аудирование на основе коммуникативного подхода и его место в развивающем обучении

98. ПРИНЦИП ТОЛЕРАНТНОСТИ В АДЫГСКОЙ НАРОДНОЙ ПЕДАГОГИКЕ И ЕГО ЗНАЧЕНИЕ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ЛИЧНОСТИ РЕБЕНКА

99. Фольклор и его значение в воспитании детей


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.