Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Комплексные числа

Горшок торфяной для цветов.
Рекомендуются для выращивания крупной рассады различных овощных и цветочных, а также для укоренения саженцев декоративных, плодовых и
7 руб
Раздел: Горшки, ящики для рассады
Наклейки для поощрения "Смайлики 2".
Набор для поощрения на самоклеящейся бумаге. Формат 95х160 мм.
19 руб
Раздел: Наклейки для оценивания, поощрения
Мыло металлическое "Ликвидатор".
Мыло для рук «Ликвидатор» уничтожает стойкие и трудно выводимые запахи за счёт особой реакции металла с вызывающими их элементами.
197 руб
Раздел: Ванная

     Министерство Образования Российской Федерации                Отдел образования Ленинского района                          Техничестая школа-лицей.                                        Д О К Л А Д                 Комплексные числа и действия с ними.                  Ученика  9 “а” класса                                  Князева Вячеслава.                                                г.   Владивосток                      1998      1.  История развития комплексных чисел.      Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т.е. ещё в 16 веке.   И до этого открытия при решении квадратного уравнения x2 = px приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из (p/2)2 - q,  где величина (p/2)2 была меньше, чем q. Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались “ложными”) не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень.  Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер – один из величайших математиков всех времён и народов.  На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием.                                  2.О комплексных числах. Всвязи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Онии называются комплексными.  Комплексное число имеет вид a bi; здесь a и b – действитель- ные числа , а i – число нового рода, называемое мнимой единицей. “Мнимые” числа составляют частный вид комплексных чисел (когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).  Действительное число a назовем  абсциссой комплексного числа a bi; действительное число b – ординатой комплексного числа a bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведе- ние i i равно –1, т.е.                                        i2= (1)   Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами – в частности  правилу (1). Отсюда названия: “мнимая единица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике. Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i, потому что в разных областях науки этот смысл различен.

 Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.                          3. Соглашение о комплексных числах. 1. Действительное число а записывается также в виде a 0i (или a – 0i). П р и м е р ы. Запись 3 0i обозначает то же, что запись 3. Запись –2 0i означает –2.  2. Комплексное число вида 0 bi называется “чисто мнимым”. Запись bi обозначает то же, что 0 bi. 3. Два комплекных a bi,  a’ b’i считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если a = a’, b = b’. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим  соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство: 2 5i = 8 2i, то по правилам алгебры мы имели бы  i = 2, тогда как i не должно бать действительным числом.  З а м е ч а н и е. Мы еще не определили, что такое с л о ж е н и е комплексных чисел. Поэтому, строго говоря, мы ещё не в праве утверждать, что число 2 5i есть сумма чисел 2 и 5i. Точнее было бы сказать, что у нас есть пара действительных чисел: 2 (абсцисса) и 5 (ордината); эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое 5 7i.                        4.Сложение комплексных чисел  О п р е д е л е н и е.  Суммой комплексных чисел a bi и a’ b’i называют комплексное число (a a’) (b b’)i.  Это определение подсказывается правилами действий с обачными многочленами. Пример 1. (-3 5i) (4 – 8i) = 1 - 3i  Пример 2. (2 0i) (7 0i) = 9 0i. Так как запись 2 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 7=9). Пример 3. (0 2i) (0 5i) = 0 7i, т. е. 2i 5i = 7i Пример 4.  (-2 3i) ( - 2 – 3i) = - 4  В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.  З а м е ч а н и е. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a bi как сумму чисел a и bi. Так, число 2 и число 5i в сумме дают число 2 5i.                                4.Вычитание комплексных чисел. О п р е д е л е н и е. Разностью комплексных чисел a bi (уменьшаемое) и a’ b’i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a’) (b – b’)i. Пример 1. (-5 2i) – (3 – 5i) = -8 7i Пример 2. (3 2i) – (-3 2i) = 6 0i = 6                                    5.Умножение комплексных чисел.  Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a bi и a’ b’i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i 2­­­­­= - 1. В силу требования 1) произведение (a bi)(a’ b’i) должно равняться  aa’ (ab’ ba’)i bb’i2­­­ ­, а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa’ – bb’)                            (ab’ ba’)i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение.

 О п р е д е л е н и е.  Произведением комплексных чисел a bi и a’ b’i называется комплексное число                                      (aa’ – bb’) (ab’ ba’)i. З а м е ч а н и е 1. Равенство i2­­­­­­­­­­­ = -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i 2 ­­­­­­­­­­­­, т. е. i i, равнозначна записи (0 1 i)(0 1 i). Здесь a = 0, b = 1, a’ = 0, b’ = 1 Имеем aa’ – bb’ = -1, ab’ ba’ = 0, так что произведение есть       –1 0i, т. е. –1.      З а м е ч а н и е 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2­­­­ = -1. Пример 1. (1 – 2i)(3 2i) = 3 – 6i 2i – 4i 2 ­ = 3 – 6i 2i 4 = 7 – 4i. Пример 2. (a bi)(a – bi) = a2 b 2 Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.                    6. Деление комплексных чисел.  Всоответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.  О п р е д л е н и е. Разделить комплексное число a bi на комплексное число a’ b’i – значит найти такое число x yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.  Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно ( доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом.  Пример 1. Найти частное (7 – 4i):(3 2i).  Записав дробь (7 – 4i)/(3 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 2i.  Получим: ((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.  Пример 1 предудущего параграфа даёт проверку.  Пример 2. (-2 5i)/(-3 –4i) = ((-2 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i.  Проступая, как в примерах 1 и 2,  найдем общую формулу:      Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a’ b’. Получим a bi. З а м е ч а н и е 1. Формулу (1) было бы принять за определение деления. З а м е ч а н и е 2. Формулу (1) можно вывести ещё следующим образом. Согласно определению, мы должны иметь: (a’ b’i)(x yi)  = a bi. Значит, должны удовлетворяться следующие два уравнения:                                   a’x – b’y = a; b’x a’y = b. Эта система имеет единственное решение: если a’/b’ = -b’/a’, т. е. если a’2 b’2 = 0.  Остается рассмотреть случай a’2 b’ 2  = 0. Он возможен лишь тогда, когда a’ = 0 и b’ = 0, т. е. когда делитель a’ b’i равен нулю. Если при этом и делимое a bi равно нулю, то частное неопределено. Если же делимое не равно нулю, то частное не существует (говорят, что оно равно бесконечности).                   7. Геометрическое изображение комплексных чисел.  Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на фиг.1, где точка А изображает число ; а точка В – число –5. Эти же числа можно изображать также отрезками ОА,ОВ,  учитывая не только их длину, но и направление.  Каждая точка М “числовой прямой” изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОМ соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим ).

Например, чтобы вычислить 3+4i, математикам не нужно изобретать числа нового типа: оказывается, что ответ равен 2+i, т.Pе. другому комплексному числу. Иначе говоря, создается впечатление, что мнимые числа последний элемент, необходимый для завершения математики. Хотя квадратные корни из отрицательных чисел получили название мнимых чисел, математики считают число i ничуть не более абстрактным, чем отрицательное или любое натуральное число. Кроме того, физики обнаружили, что мнимые числа дают лучший язык для описания некоторых явлений, протекающих в реальном мире. С помощью нехитрых манипуляций мнимые числа оказываются идеальным средством анализа естественного колебательного движения объектов, например, маятника. Такое колебательное движение, называемое на техническом языке синусоидальным колебанием, широко распространено в природе, и поэтому мнимые числа стали неотъемлемой составной частью многих физических расчетов. В наше время инженеры-электрики приспособили i к анализу переменных токов, а физики-теоретики вычисляют различные квантовомеханические эффекты с помощью осциллирующих волновых функций, суммируя степени мнимых чисел

1. Комплексные числа и действия с ними (Доклад)

2. Комплексные числа

3. Комплексное число в школе

4. Комплексные числа

5. Комплексные числа

6. Комплексные числа в планиметрии
7. Лисп-реализация математических операций над комплексными числами
8. Комплексні числа

9. Комплексные числа: их прошлое и настоящее

10. Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

11. Введение в специальность («комплексная реконструкция и эксплуатация зданий и сооружений»)

12. Аргентина. Комплексная экономико-географическая характеристика

13. Комплексная характеристика Словении

14. Методы комплексной оценки хозяйственно-финансовой деятельности

15. Метод комплексного археолого-искусствоведческого анализа могильников

16. Операции многократной точности (операции с длинными числами)

Фанты "Масло в огонь".
Это настолка для влюбленных пар с различным «стажем» отношений, подойдет в качестве презента на свадьбу или годовщину
1291 руб
Раздел: Игры для взрослых (18+)
Пазл "Россия" (Русский), 100 деталей.
Пазлы - это прежде всего обучающие пазлы. С фотографической точностью прорисованы обитатели и растительный мир самых отдаленных уголков
548 руб
Раздел: Пазлы (100-199 элементов)
Каталка-мотоцикл "МХ".
Новая каталка-мотоцикл "МХ" впечатлит вашего малыша. Он сможет почувствовать себя настоящим байкером, ведь эта каталка не просто
2899 руб
Раздел: Каталки

17. История открытия комплексных чисел

18. Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

19. Алгебраические числа

20. Числа Фибоначчи: технический анализ

21. Комплексное исследование глобальных экологических проблем: от понятийного аппарата до модельных построений

22. Комплексный подход к преодолению заикания
23. Комплексный дипломный проект: Проект участка по производству технологических приспособлений для электромеханического восстановления и укрепления поверхностного слоя деталей машин. Винтовые поверхности
24. Комплексная механизация и автоматизация

25. Соотношение слова и изображения в комплексном аудиолингвовизуальном сообщении

26. Комплексное моделирование электрических и тепловых характеристик линейного стабилизатора напряжений

27. Комплексная механизация СТФ с разработкой линии вентиляции и отопления

28. Число как сущее

29. Маркетинговые исследования в оптовой торговле на примере комплексного исследования рыночных комплексов и оптовых рынков г. Екатеринбурга

30. Комплексная оценка финансово-хозяйственной деятельности ОАО "Вега" на основе данных буххгалтерской финансовой отчетности

31. Комплексная оценка услуги

32. Комплексное исследование рынка сотовой связи на примере

Нож для чистки овощей "Victorinox", универсальный, двустороннее зубчатое лезвие, чёрный.
Изумительный нож для кухни. Небольшой и удобный, он идеально подходит для чистки овощей. А яркий цвет порадует глаз и не даст ножу
410 руб
Раздел: Овощечистки, рыбочистки
Говорящий планшетик "Новогодний праздник".
В этом планшетике Умка поёт, говорит и рассказывает сказки! 16 новогодних песенок («Песенка Умки», «Белые снежинки», «Снеговик», «Дед
344 руб
Раздел: Планшеты и компьютеры
Набор диких животных.
В наборе: 12 фигурок диких животных. Средний размер: 10 см. Возраст: 3 лет. Фигурки в наборе представлены в ассортименте, без возможности выбора.
461 руб
Раздел: Дикие животные

33. Сопряжённые числа

34. Комплексный анализ

35. Интеграл по комплексной переменной

36. Интеграл по комплексной переменной

37. Абсолютна величина дiсного числа. Властивостi абсолютних величин

38. Множина комплексних чисел
39. Сумма делителей числа
40. Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

41. Алгебраические числа

42. Комплексное лечение квантовой и электромагнитной терапией

43. Увеличение числа заболеваний вызванных курением

44. Развитие навыков самостоятельной работы у учащихся, в том числе и у малоспособных

45. Комплексная автоматизация и механизация погрузо-разгрузочных работ на станции

46. Комплексный подход к воспитанию и обучению глухих детей

47. Современный комплексный подход к преодолению заикания

48. Муниципальное право — комплексная отрасль права

Сковорода чугунная с деревянной ручкой 2505/27, 27 см.
Диаметр: 27 см. Чугунная сковорода с деревянной ручкой. Обладает высокой теплопроводностью, несравнимой износостойкостью, устойчивостью к
755 руб
Раздел: Сковороды чугунные
Магический шар 8.
Во все времена люди желали знать ответы на интересующие их вопросы, для этого они прибегали к помощи всевозможных гадалок, шаманов, и
585 руб
Раздел: Прочее
Сковорода чугунная с деревянной ручкой 2505/25, 25 см.
Диаметр: 25 см. Чугунная сковорода с деревянной ручкой. Обладает высокой теплопроводностью, несравнимой износостойкостью, устойчивостью к
648 руб
Раздел: Сковороды чугунные

49. Результаты апробации комплексной процедуры диагностики школьной готовности

50. Комплексный подход к использованию информационных технологий в школе

51. Основы комплексной автоматизации и проектирования ЭВМ

52. Число православных в мире

53. Комплексный подход и системно-функциональный анализ в социологии

54. Моделирование содержания и структуры тренировочного процесса (в том числе средств, методов и динамики нагрузок)
55. Особенности влияния комплексных занятий гимнастикой и плаванием с оздоровительной направленностью
56. Повышение скоростно-силовых возможностей велосипедистов-шоссейников с помощью нового комплексного биостимулятора

57. Технология комплексного тестирования - инструмент формирования информационного пространства процесса физического воспитания

58. Комплексное изучение социальных групп. (Как основа для принятия управленческих решений)

59. Комплексное воздействие городов на природную среду

60. Комплексный подход к решению проблемы ТБО

61. Комплексный территориальный кадастр природных ресурсов

62. Комплексный территориальный кадастр природных ресурсов

63. Комплексная система обеспечения экономической безопасности предприятия

64. Комплексный экономический анализ деятельности ОАО Комбинат Североникель

Форма разъемная "Webber" BE-4286N, черная.
Материал: сталь. Покрытие: антипригарное. Высота: 6,8 см. Диаметр: 24 см.
314 руб
Раздел: Формы и формочки для выпечки
Багетная рама "Isabelle" (золотой), 30х40 см.
Багетные рамы предназначены для оформления картин, вышивок и фотографий. Оформленное изделие всегда становится более выразительным и
651 руб
Раздел: Размер 30x40
Набор для черчения "College", 9 предметов.
В набор входит: циркуль 14 см с одной сгибаемой ножкой, циркуль - измеритель, удлинитель, кронциркуль, механический карандаш, контейнер с
539 руб
Раздел: Циркули, чертежные инструменты

65. Система комплексных мер по кадровому обеспечению ОПК с учетом экономических и территориальных особенностей страны

66. О содержании и методике разработки региональной комплексной программы "Образование и занятость населения"

67. Проблемы комплексной безопасности в XXI веке

68. Обеспечение комплексной безопасности при строительстве высотных зданий

69. Система машин для комплексной механизации возделывания гороха в ОАО АПО Нива Шаблыкино

70. Комплексная модель инвестиционного проекта трубопроводного транспорта
71. Кения. Комплексная страноведческая характеристика страны
72. Май 9 число

73. Абсолютна величина дiсного числа

74. Потребность в организационных данных: модель комплексного управления эффективностью бизнеса

75. Комплексный анализ

76. Интеграл по комплексной переменной

77. Исторические проблемы математики. Число и арифметическое действие

78. Ценовые стратегии - комплексный анализ

79. Муниципальное право как комплексная отрасль права

80. Крупномасштабная комплексная переработка твердых промышленных и бытовых отходов.

Самоклеящиеся этикетки, A4, 105x74 мм, 8 этикеток на листе.
Формат: А4. Размер: 105x74 мм. В комплекте: 100 листов (на 1 листе 8 этикеток).
500 руб
Раздел: Бейджи, держатели, этикетки
Защита от включения конфорок плиты, 4 штуки, прозрачный.
Защита на колпачки газовой плиты. Рукоятки не должны превышать 50 мм в диаметре, а расстояние между ними не меньше 67 мм.
605 руб
Раздел: Безопасность ребенка
Горка детская малая, арт. 11050.
Горка детская малая состоит из лесенки и желоба для скатывания. Горка очень устойчивая, изготовлена из яркого, прочного, нетоксичного
2067 руб
Раздел: Горки

81. Комплексный анализ деятельности ОАО "АФ Банк"

82. Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности предприятия

83. Комплексные методы защиты информации

84. Проект комплексной механизации возделывания и уборки силосных культур в ООО "Малопургинский"

85. Проектирование севооборотов, системы обработки, воспроизводства плодородия и комплексных мер борьбы с засорённостью полей

86. Комплексная механизация племенной фермы на 50 лошадей
87. Комплексный анализ хозяйственной деятельности на примере ООО "Фаворит"
88. Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности

89. Методы комплексного анализа прибыли страховой организации

90. Организация, нормирование и оплата труда в растениеводческой отрасли комплексной бригады агрофирмы "МИР" АНК "Башнефть"

91. Комплексная страноведческая характеристика Норвегии

92. Особо охраняемые территории Карельского перешейка на примере Юнтоловского регионального комплексного заказника

93. Комплексна фізико-географічна характеристика Уралу

94. Комплексная социально-экономическая характеристика Дальневосточного района

95. Комплексный анализ (диагностика) социально-экономической ситуации республики Карелия

96. Договор мены: комплексный анализ

Подставка для колец "Слоник", арт. 62258.
Регулярно удалять пыль сухой, мягкой тканью. Материал: металл (сплав цинка с покрытием золотой краской), стекло. Товар не подлежит
365 руб
Раздел: Подставки для украшений
Бортик Polini Basic (цвет: белый).
Боковой бортик для подростковой кровати Polini Basic Монстрики и Polini Basic Джунгли 180х90см. Размер: 180х950х16 мм.
977 руб
Раздел: Бортики в детскую кроватку
Подушка "MediumSoft Стандарт", 70х70 см.
Подушка Medium Soft Стандарт "Файберсофт". Наволочка - 100 % микрофайбер. Наполнитель - силиконизированное волокно
389 руб
Раздел: Размер 70х70 см

97. Комплексний теоретичний аналіз проблеми однобічності та неповноти дізнання, досудового та судового слідства у кримінальному судочинстві

98. Комплексный историко-правовой анализ адвокатуры в СССР в период действия положения об адвокатуре СССР 1939 года

99. Муниципальное право как комплексная отрасль права

100. Стратегія комплексної модернізації українського суспільства


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.