Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Поверхности второго порядка

Забавная пачка "5000 дублей".
Юмор – настоящее богатство! Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь
60 руб
Раздел: Прочее
Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки
Мыло металлическое "Ликвидатор".
Мыло для рук «Ликвидатор» уничтожает стойкие и трудно выводимые запахи за счёт особой реакции металла с вызывающими их элементами.
197 руб
Раздел: Ванная

Поверхности второго порядка § 1. Понятие поверхности второго порядка. Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида a11х2 а22у2 a33z2 2a12xy 2a23уz 2a13xz 2а14 x 2а24у 2а34z а44  = 0  (1) в котором по крайней мере один из коэффициентов a11 , а22 , a33 , a12 , a23 , a13 отличен от нуля. Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка. Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны. 1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка. Справедливо следующее утверждение. являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы координат. Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса. § 2. Классификация поверхностей второго порядка 1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате указанных операций уравнение поверхности примет вид a11х2 а22у2 a33z2 а44 = 0         (2) Так как инвариант I3 для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a11 • а22 • a33 , то коэффициенты a11 ,а22 , a33 удовлетворяют условию : Возможны следующие случаи : 1. Коэффициенты a11 ,а22 , a33  одного знака, а коэффициент а44 отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом. Если коэффициенты a11 ,а22 , a33 , а44 одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом. Если знак коэффициентов a11 ,а22 , a33 противоположен знаку коэффициента а44 , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид. Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа  положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме: Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипсоида. Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями. 2. Из четырех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44 два одного знака, а два других—противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом. Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 > 0, а22 > 0, a33 < 0, а44 < 0. Тогда числа   положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме: Уравнение (4) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями. 3. Знак одного из первых трех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44 противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом. Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 < 0, а22 < 0, a33 > 0, а44 < 0. Тогда : Обозначим эти числа соответственно через a2, b2, с2. Поcли несложных преобразований уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме: Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида. Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями. 4. Коэффициент а44 равен нулю. В этом случае поверхность S называется конусом второго порядка. Если коэффициенты a11 , а22 , a33  одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а44 = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a11 , а22 , a33 имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка. Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 > o, а22 > 0, a33 < 0. Обозначим соответственно через а2, b2, с2. Тогда уравнение (2) можно записать в виде Уравнение (6) называется каноническим уравнением вещественного конуса второго порядка. 2. Классификация нецентральных поверхностей второго порядка. Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариант I3 равен нулю. Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид a&acu e;11х&acu e;2 а&acu e;22у&acu e;2 a&acu e;33z&acu e;2 2а&acu e;14 x&acu e; 2а&acu e;24у&acu e; 2а&acu e;34z&acu e; а&acu e;44  = 0              (7) для системы координат Ox&acu e;y&acu e;z&acu e; Так как инвариант I3 = 0 и его значение, вычисленное для уравнения (7) , равно a&acu e;11 • а&acu e;22 • a&acu e;33 , то один или два из коэффициентов a&acu e;11 , а&acu e;22 , a&acu e;33  равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи. 1. Один из коэффициентов a&acu e;11 , а&acu e;22 , a&acu e;33   равен нулю. Ради определенности будем считать, что a&acu e;33 = 0 (если равен нулю какой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', z' к новым координатам х, у, z по формулам Подставляя х', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем a&acu e;11  на  a11 , а&acu e;22  на а22 , а&acu e;34 на p и  а&acu e;44 на q , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Oxyz : a11х2 а22у2 2pz q = 0                   (9) 1) Пусть р = 0, q = 0. Поверхность S распадается на пару плоскостей При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a11 и а22  одинаковы, и вещественными, если знаки a11 и а22 различны.

2) Пусть р = 0, q ≠ 0. Уравнение (9) принимает вид a11х2 а22у2 q = 0                   (10) Известно, что уравнение (10) является уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz. При этом если a11 , а22 , q имеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. цилиндр будет мнимым. Если же среди коэффициентов a11 , а22 , q имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет вещественным. Отметим, что в случае, когда a11 и а22  имеют  одинаковые знаки, a q — противоположный, то величины положительны.   Обозначая их соответственно через а2 и b2, мы приведем уравнение (10) к виду Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, a11 и а22 имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр. Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду 3) Пусть р≠0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами (0, 0,         ). При этом оставим старые обозначения координат х, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверхности S в новой системе координат, достаточно заменить в уравнении (9)   Получим следующее уравнение: a11х2 а22у2 2pz = 0             (13) Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды. Причем если a11 и а22 имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим. Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме: Уравнение (14) легко получается из (13). Если a11 и а22 имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболическим. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид Это уравнение также легко может быть получено из (13). Ä  2°. Два из коэффициентов a&acu e;11 , а&acu e;22 , a&acu e;33  равны нулю. Ради определенности будем считать, что  a&acu e;11 = 0  и  а&acu e;22 = 0 Перейдем от х,', у', z' к. новым координатам х, у, z по формулам : Подставляя х', у' и z' , найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя затем a&acu e;33  на a33  ,  a&acu e;14   на р , a&acu e;24  на  q и a&acu e;44 на r , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Охуz : a33 z2 2px 2qy r = 0        (17) 1) Пусть р=0, q=0. Поверхность S распадается на пару параллельных плоскостей При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a33 и r одинаковы, и вещественными, если знаки a33 и r различны, причем при r = 0 эти плоскости сливаются в одну. 2) Хотя бы один из коэффициентов р или q отличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг оси Oz так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх 2qy r=0. Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, у и z для новых координат точек, уравнение (17) примет вид a33 z2 2q&acu e;y = 0                (19) которое является уравнением параболического цилиндра с образующими, параллельными новой оси Ох. § 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям 1. Эллипсоид. Из уравнения (3) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало координат—центром симметрии.

Гиперболоиды Гиперболо'иды (от греч. hyperbole — гипербола и eidos — вид), незамкнутые центральные поверхности (второго порядка). Различают два вида Г.: однополостный Г. (рис. 1) и двуполостный Г. (рис. 2). Они представляют собой два типа из общего числа пяти основных типов поверхностей второго порядка и в пересечении со всевозможными плоскостями дают все конические сечения — эллипс, гиперболу и параболу, а также пары прямых (в случае однополостного Г.). Г. неограниченно приближается к конической поверхности (т. н. асимптотическому конусу). Однополостный Г. представляет собой линейчатую поверхность. В надлежащей системе координат (см. рис. 1, 2) уравнения Г. имеют вид:   x2/a2+y2/b2—z2/c2 = 1 (однополостный),   х2/а2+у2/b2—z2/c2 = —1 (двуполостный). Рис. 2. Двуполостный гиперболоид. Рис. 1. Однополостный гиперболоид. Гиперборейская платформа Гиперборе'йская платфо'рма (от греч. hyperboreios — находящийся на крайнем севере), гипотетическая докембрийская континентальная платформа, располагавшаяся в области современного Северного Ледовитого океана к С. от Новосибирских островов, о

1. Поверхности 2-го порядка

2. Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

3. У истоков новой педагогики: создание и деятельность 2-го МГУ в 1917-1930 гг.

4. Стандарты сотовой связи 1-го и 2-го поколений. Организация хэндовера

5. Дирижерско-хоровое отделение ГОУ СПО МО 2-го Московского областного музыкального училища имени С.С. Прокофьева

6. Исследование кривых и поверхностей второго порядка
7. Поверхности второго порядка
8. Кривые и поверхности второго порядка

9. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДЕТАЛЕЙ ЛЕЗВИЙНЫМ ИНСТРУМЕНТОМ

10. Комплексный дипломный проект: Проект участка по производству технологических приспособлений для электромеханического восстановления и укрепления поверхностного слоя деталей машин. Цилиндрические поверхности

11. Комплексный дипломный проект: Проект участка по производству технологических приспособлений для электромеханического восстановления и укрепления поверхностного слоя деталей машин. Плоские поверхности.

12. Окрашивание поверхности водоэмульсионными составами

13. Изучение поверхности полупроводника с помощью сканирующего электронного микроскопа

14. Моделирование процессов разряда-ионизации серебра на поверхности твердого электрода

15. Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности

16. Скорость света относительно поверхности земли

Умные кубики. Силуэты. 50 игр для развития интеллекта.
IQ-кубики «Силуэты» — это универсальный набор для развития дошкольника. В процессе игры он учится конструировать, систематизировать,
306 руб
Раздел: Развивающие игры с кубиками
Мел круглый "White Peps", 100 штук, белый.
Высококачественный мел из карбоната кальция. Для детского творчества и школы. Не крошится. Технология «меньше пыли». Круглая форма
445 руб
Раздел: Мел
Экспресс-скульптор "Эврика", малый.
Настоящее искусство в Ваших руках! Экспресс-скульптор - это не только стимулятор творческих способностей, но и точечный
448 руб
Раздел: Антистрессы

17. Скорость света в одном направлении относительно поверхности Земли

18. Кривые линии и поверхности

19. Взаимодействие коротких акустических импульсов с неоднородностями на поверхности твердого тела

20. Магнитооптическое исследование поверхности

21. Химические способы очистки поверхностей полупроводниковых пластин

22. Технология рекультивации нефтезагрязненных поверхностей неосушенных торфяных болот
23. Измерения оптоэлектронными многоканальными системами деталей с загрязнённой поверхностью
24. Обработка поверхностей деталей летательных аппаратов

25. Обеззараживание зараженных поверхностей

26. Влияние свойств поверхности ионообменных мембран на их электрохимическое поведение в сверхпредельных токовых режимах

27. Австралия:строение поверхности

28. Шероховатость поверхности и её изображение на чертежах

29. Спектрометрическое сканирование атмосферы и поверхности Земли

30. Формы рельефа поверхности Земли

31. Изменение поверхности Земли

32. Папиллярные узоры пальцев и ладонных поверхностей рук человека

Детские футбольные ворота 2 в 1.
Игровой набор включает в себя всё необходимое для тренировок маленьких футболистов - пластиковые сборно-разборные ворота с сеткой,
1306 руб
Раздел: Футбол
Мешок для обуви "Мерцающие звезды", 33х40 см.
Мешок для обуви. Размер: 33х40 см.
315 руб
Раздел: Сумки для обуви
Доска магнитно-маркерная, 120х90 см.
Доска имеет магнитную поверхность. Алюминиевая рамка соединяется пластиковыми уголками, имеет регулируемые элементы крепления,
3010 руб
Раздел: Доски магнитно-маркерные

33. Построение графиков и поверхностей

34. Утилита "Поверхность"

35. Методы измерения точности формы рабочих поверхностей оптических деталей (сферы, плоскости)

36. Поверхности

37. Діагностика і вибір методу лікування при первинному травматичному вивиху плеча (імпресійного перелому суглобової поверхні головки плечової кістки - пошкодження Hill-Sachs)

38. Обработка деталей резанием, оборудование, оснастка, инструмент, управление качеством поверхности
39. Определение поверхности теплообмена
40. Расчет максимальной величины износа рабочих поверхностей колес открытой фрикционной цилиндрической передачи

41. Способы утилизации отходов, образующихся при огневой зачистке поверхности металлов

42. Основные виды поверхностей

43. Технологический процесс оштукатуривания поверхностей современными гипсовыми штукатурками и процесс отделки поверхностей флоковыми покрытиями

44. Технология высококачественного оштукатуривания кирпичных поверхностей

45. Технологія оштукатурювання поверхні

46. Технологія підготовки гіпсокартонної поверхні під облицювання глазурованою керамічною плиткою

47. Способи і правила укладання плитки на вертикальну поверхню на цементному розчині

48. Лицювання стін полістирольними плитками, догляд за облицьованими поверхнями

Мелки восковые "Maxi", 24 цвета.
Мелки восковые удобные и яркие. Они не крошатся, хорошо рисуют, имеет насыщенные цвета. Безопасно для детей. Восковые мелки в специальной
308 руб
Раздел: Восковые
Точилка механическая.
Точилка механическая. Большой контейнер для стружки. Не скользит по поверхности. Материал корпуса: пластик. Цвет представлен в
569 руб
Раздел: Точилки
Кружка "Кот", микс.
Керамическая кружка с ложкой и деревянной крышкой в комплекте сделана в оригинальной крафтовой манере, имитирующей ручную лепку. Бока
434 руб
Раздел: Кружки

49. Нерівноважні поверхневі структури реакційно-дифузійних систем типу активатор-інгібітор

50. Химическая сборка поверхности твердых тел путем молекулярного наслаивания

51. Разработка программы на языке LISP для построения кривых Серпинского i-го порядка

52. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка

53. Развитие скоростных качеств у пловцов в учебно-тренировочных группах 2–3-го года обучения

54. Проект "Глобалстар". Геодезические спутники /ERS-1,ERS-2/
55. Русская армия от Петра 1 до Александра 2
56. ГО Правила поведения и действия населения в очагах поражения

57. Оповещение о чрезвычайных ситуациях. Сигналы оповещения ГО и действия населения по ним

58. Применение ЭВМ для повышения эффективности работы штаба ГО РАТАП

59. Великобритания (расширенный вариант реферата 9490)

60. Оценка инженерно-геологических и гидрогеологических условий района строительства /Пояснительная записка к геологическому разрезу 2 по карте №5/

61. Экономическая сказка-реферат "НДС - вражья морда" или просто "Сказка про НДС"

62. Нормы ГК, которые определяют особенности порядка заключения договоров по недвижимости

63. Возбуждение производства по пересмотру судебного постановления в порядке надзора и процессуальный порядок рассмотрения протестов

64. Адвокатура во 2 половине XIX в

Горшок дорожный и насадка на унитаз "HandyPotty", голубой.
Складной дорожный горшок HandyPotty. Он может заменить сразу три аксессуара: привычный ребенку и его родителям горшок, дорожный горшок для
1160 руб
Раздел: Прочие
Шкатулка музыкальная "Сердце", 16x15x7 см, арт. 24806.
Состав: пластик, элементы металла, стекло. Регулярно удалять пыль сухой, мягкой тканью. Музыкальный механизм с ручным заводом. Товар не
775 руб
Раздел: Шкатулки музыкальные
Багетная рама "Stella" (золотой), 30х40 см.
Багетные рамы предназначены для оформления картин, вышивок и фотографий. Оформленное изделие всегда становится более выразительным и
868 руб
Раздел: Размер 30x40

65. Русская армия от Петра 1 до Александра 2

66. Внешняя политика Российского государства в 20-30-е годы 20-го столетия

67. 1. Документы первичного учёта в органах МВД, прокуратуре и судах. 2. Динамические ряды и их виды

68. Глухие испанские художники: Франсиско Хосе де Гойя и Роберто Готье Прадес

69. Трагические мотивы в творчестве Гойи

70. Несколько рефератов по культурологии
71. 1. Початк граматичнох традицiх 2. Теоретичне пiдгрунтя кодифiкаторнох галицьких мовознавцiв 3. Специфiка наукового пiзнання лiтературнох мови
72. Шпоры по зарубежной литературе 2-й половины 20 в.

73. Реферат перевода с английского языка из книги “A History of England” by Keith Feiling

74. Реферат по книге Фернана Броделя

75. Крейсер I-го ранга Цусимской кампании "Дмитрий Донской". История и технические характеристики

76. Общие черты развития России и Запада в начале ХХ-го века

77. Военные реформы Александра 2

78. Приход фашистов к власти в Германии, как предпосылка к началу 2-ой мировой Войны

79. Семейство компьютеров PS/2

80. Процессор для ограниченного набора команд /часть 2 (7)

Мягкий пол, универсальный, 60x60 см, бежево-коричневый.
Мягкое модульное универсальное покрытие, предназначенное для дома, детских игровых зон, торговых центров, спортивных залов и площадок
1043 руб
Раздел: Прочие
Набор разделочных досок на подставке.
Материал: полипропилен. Размер: 335х240х78 мм. В наборе: 3 разделочные доски. В ассортименте без возможности выбора.
453 руб
Раздел: Пластиковые
Увлекательная настольная игра "Турбосчет".
Настольная игра "Турбосчёт" - весёлая и очень динамичная обучающая игра, которая мгновенно увлекает и детей, и взрослых. Правила
392 руб
Раздел: Математика, цифры, счет

81. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)

82. Сравнение операционных систем /DOS, UNIX, OS (2, WINDOWS/ (Write)

83. Организация файловых систем в OS (2 (WinWord)

84. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)

85. Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка

86. Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ
87. Тригонометрические формулы на начало 10-го класса
88. ПРИМЕНЕНИЕ "ПУЛЬМОСАНА – 2" ПРИ ЛЕЧЕНИИ ТЕЛЯТ БОЛЬНЫХ БРОНХОПНЕВМОНИЕЙ ( ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА )

89. Сахарный диабет, 2 часть

90. Инфильтративный туберкулез легких S1-2,6 справа

91. Субъект преступления ("подновлённая" версия реферата 6762)

92. Дифференцированный подход в обучении основным движениям (для детей 6-го года жизни)

93. Реферат по технологии приготовления пищи "Венгерская кухня"

94. Теоретическая политология (Часть 2)

95. Проект трехкорпусной выпарной установки для концентрирования Gн=4,2 кг/с цельного молока

96. Расчет конденсационной турбины мощностью 165МВт на основе турбины-прототипа К-160-130-2 ХТГЗ

Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение", размер: 3/M (4-9 кг), 60 штук.
Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение" сделаны по японской технологии в сотрудничестве с японской корпорацией WATASHI
540 руб
Раздел: 0-5 кг
Брелок "FIFA 2018. Забивака. Фристайл!".
Брелок с символикой чемпионата мира FIFA 2018. Материал: ПВХ.
348 руб
Раздел: Брелоки, магниты, сувениры
Набор цветных карандашей для правшей STABILO EASYcolors, 12 штук c точилкой.
В наборе 12 цветных карандашей + точилка. Первые трехгранные цветные карандаши, специально разработанные для левшей и для правшей. •
1771 руб
Раздел: 7-12 цветов

97. Расчет тепловой схемы ПТУ К-500-65 (3000 (Часть пояснительной к диплому)

98. Автоматизация фильтровального отделения установки 39/2 (Депарафинизации масел)

99. 2. Особенности свойств резин как конструкционного материала

100. Проект зон ТО-2 и ПР с разработкой слесарно-механического отделения


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.