Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)

Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники
Карабин, 6x60 мм.
Размеры: 6x60 мм. Материал: металл. Упаковка: блистер.
35 руб
Раздел: Поводки, рингтовки, удавки
Чашка "Неваляшка".
Ваши дети во время приёма пищи вечно проливают что-то на ковёр и пол, пачкают руки, а Вы потом тратите уйму времени на выведение пятен с
268 руб
Раздел: Тарелки

Министерство общего и профессионального образования Астраханский Государственный Педагогический Университет Бакалаврская работа Студентки IV курса физико–математического факультета Ночевной Светланы Павловны Кафедра: Математического анализа Тема: Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития Научный руководитель ст. преподаватель Пономарёва Н.Г. Астрахань 1998 г. План. 1. Основные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной. 1. Определение производной и её геометрический смысл. 2. Дифференциальные функции. Определение дифференциала. 3. Инвариантность формы первого дифференциала. 4. Дифференциал суммы, произведения и частного. 5. Геометрическая интерпретация дифференциала. 2. Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной. 1. Первообразная функция и неопределённый интеграл. 2. Геометрический смысл неопределённого интеграла. 3. Основные свойства неопределённого интеграла. 4. Метод непосредственного интегрирования. 5. Метод замены переменной (способ подстановки). 6. Интегрирование по частям. 7. Определённый интеграл как предел интегральной суммы. 8. Основные свойства определённого интеграла. 9. Геометрический смысл определённого интеграла. 10. Теорема Ньютона–Лейбница. 11. Формула Ньютона–Лейбница. 12. Замены переменных в определённых интегралах. 13. Интегрирование по частям. 3. Исторические сведения о возникновении и развитии основных понятий. 1. Происхождение понятия определённого интеграла и инфинитезимальные методы Архимеда. 2. От Архимеда к Кеплеру и Кавальери. 3. Теорема Паскаля. 4. «О глубокой геометрии» Лейбница. 5. «Метод флюксий» Ньютона. 6. Дифференциальные методы. Цель работы: «Изучить основные понятия дифференциального и интегрального исчислений и ознакомиться с историей их развития». Основные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной. 1 Определение производной и её геометрический смысл. Пусть функция y = f(х) определена в окрестности точки хо. возьмём точку х1 этой окрестности, отличную от хо. Определение. Разность х1 – х0, которую обозначают символом (х, будем называть приращением независимой переменной. Определение. Подобным образом соответствующая разность у1 – у0 = f(х1) – f(х0), обозначается символом (у и называется приращением зависимой переменной, или приращением функции. Получаются следующие соотношения: х1 = х0 (х, у1 = у0 (у, у0 (у = f(х0 (х) Так как у0 = f(х0), то (у = f(х0 (х) – f(х0). Определение. Частное будем называть разностным отношением. Выражение f(х0 (х)– f(х0) (х (принимая что х0 имеет определённое постоянное значение) можно считать функцией приращения (х. Определение. Если предел этого выражения при (х, стремящемся к нулю, существует, то его мы будем называть производной функции у = f(х) по х в точке х0 Итак, = = f’(х0) = у’х = у’= Пример. у=х2 . Вычислите производную для х=2. Имеем: f(х (х) = (х (х)2 , Поэтому (у = (х (х)2 – х2 = 2х(х ((х)2 Отсюда = 2х (х Переходя к пределу получим: = 2х = 2х. Для того, чтобы отношение имело предел, необходимо, чтобы , то есть, чтобы функция рис.1 была непрерывной в точке х0.

Рассмотрим график функции у = f(х) (рис.1) Легко заметить, что отношение равно тангенсу угла (, образованного положительным направлением секущей, проходящей через точки А и В (соответствующие точкам х и х (х), с положительным направлением оси Ох, то есть, от А к В если теперь приращение (х будет стремиться к нулю, точка В будет стремиться к А, то угол ( будет стремиться к (, образованному положительным направлением касательной с положительным направлением оси Ох, а g ( будет стремиться к g (. Поэтому = g ( (положительным направлением касательной считаем то направление, в котором х возрастает). Таким образом, можно утверждать следующее: Производная в данной точке х равна тангенсу угла, образованного положительным направлением касательной в соответствующей точке (х,f(х)) нашей кривой с положительным направлением оси Ох. 1.2 Дифференциальные функции. Определение дифференциала. Определение. Функция у = f(х) называется дифференцированной в точке х, если её приращение (у в этой точке можно представить в виде (у = f’(х)(х (((х)(х, где ( ((х) = 0 Как видно из из определения, необходимым условием дифференцируемости является существование производной. Оказывается что это условие также и достаточно. В самом деле пусть существуют у’ = f’(х) Положим – f’(х), (х ( 0 0. , (х = 0 При таком определении ( имеет для всех (х (у = f’(х)(х (((х)(х . Остаётся, следовательно, установить непрерывность (((х) при (х = 0, то есть, равенство ( ((х) = ((0) = 0, но, очевидно, ( ((х) = – f’(х) = f’(х) – f’(х) = 0, что и требовалось. Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной — понятия равносильные. Определение. Если функция у = f’(х) дифференцируема, то есть, если (у = f’(х)(х ( . (х, ( = 0, то главную линейную часть f’(х)(х, её приращения будем обозначать dху, dхf(х) и называть дифференциалом переменной у по переменной х в точке х. Написав для симметрии dхх вместо (х, получим следующую формулу: dху = f’(х)dхх, откуда = f’(х). Заметим ещё, что дифференциалы dху и dхх являются функциями переменной х, причём функция dхх принимает постоянное значение (х. 1.3 Инвариантность формы первого дифференциала. В случае, когда переменная у = f(х) была функцией независимой переменной х, мы имеем, по определению, (у = f’(х)(х или dхх = f’(х)dхх (1) Рассмотрим теперь случай, когда х является в свою очередь функцией другой переменной, х = х( ). Теорема. Если функции х = (( ) и у = (( ) дифференцируемы в соответствующих точках = 1 и х = х1 = (( 1), то дифференциал сложной функции у = f((( )) = (( ) может быть представлен в виде d у = f’(х1) d х. Доказательство: Согласно определению дифференциала имеем d х = (’( 1) d (11) d у = (’( 1) d (2) Но на основании теоремы о производной сложной функции мы видим, что (’( 1) = f’(х1) (’( 1) Подставив это выражение в формулу (2), получим: d у = f’(х1) (’( 1) d , отсюда в силу формулы (11) d у = f’(х1) d х (3) Сравнив формулу (1) с формулой (3), мы заметим что их можно записать символически в виде dу = f’(х) dх (4) Формулу (1) или (3) мы получаем из формулы (4), написав вместо d, соответственно dх или d .

Символы dх и dу не являются совершенными, однако во многих случаях, когда возможность ошибиться будет исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов dхх и dху или, соответственно, d х и d у. Значение формулы (4) становится ясным, если обратить внимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться двумя формулами для определения производной у по х. А именно, когда переменная у зависит непосредственно от х, то у’х = f’(х); когда же зависимость переменной у от х даётся при помощи некоторой (промежуточной) функции и, то у’х = f’(и)и’х. При отыскании же дифференциалов получим в обоих случаях одинаковые формулы: dху = f’(х) dхх, dху = f’(и) dхи или dу = f’(х) dх, dу = f’(и) dи. 1.4 Дифференциал суммы, произведения и частного. Из теорем о производных суммы, произведения и частного можно получить аналогичные формулы для дифференциалов суммы, произведения и частного. Пусть и и ( — функции от х: и = f(х), ( = ((х), имеющие непрерывные частные производные. Если положить у = и (, то у’х = и’х (’х, откуда у’х dх = и’х dх (’хdх, следовательно dу = dи d(, то есть d(и () = dи d(. Аналогично dси = сdи, где с – постоянное число; d(и() = иd( (dи, d ( ) = . Замечание. На практике часто бывает выгоднее оперировать дифференциалами, а потом делением на дифференциал независимой переменной переходить к производной. 1.5 Геометрическая интерпретация дифференциала. Дифференциал можно геометрически представить следующим образом: Из рис. 2 видно, что dу = f’(х)dх = g ( . dх = СД. Таким образом, если (у – приращение ординаты кривой, то dу – приращение ординаты касательной. Дифференциал dу, вообще говоря, отличается от (у, но их разность очень мала по сравнению dх для очень малых dх, так как = ( ((х) = 0 На практике, когда речь идёт только о приближённых значениях, можно для малых приращений dх считать (у = dу = f’(х)dх. Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной. 1 Первообразная функция и неопределённый интеграл. Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(х) или дифференциала f’(х)dх данной функции f(х). В интегральном исчислении решается обратная задача: Дана функция f(х); требуется найти такую функцию F(х), производная которой f(х)dх в области определения функции f(х), то есть, в этой области функции f(х) и F(х) связаны соотношением F’(х) = f(х) или dF(х)= F’(х)dх = f(х)dх. Определение. Функция F(х) называется первообразной функцией для данной функции f(х), если для любого х из области определения f(х) выполняется равенство F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх. Примеры. 1) Пусть f(х) = cos х. Решение: Тогда F(х) = si х, так как F’(х) = cos х = f(х) или dF(х) = cos х dх = f(х)dх 2) Пусть f(х) = х2. Решение: Тогда F(х) = , так как F’(х) = х2 = f(х) или dF(х) = х2dх = f(х)dх. Известно, что если две функции f(х) и ((х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, то есть, если f(х) = ((х) С, то f’(х) = (’(х) или f’(х)dх = (’(х)dх. Известно также, что и наоборот, если две функции f(х) и ((х) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, если f’(х) = (’(х) или dхf(х) = d((х), то f(х) = ((х) С.

Лагранжа формула Лагра'нжа фо'рмула, одна из основных формул дифференциального исчисления; то же, что конечных приращений формула. Найдена Ж. Лагранжем (1797). Лагранжа функция Лагра'нжа фу'нкция, кинетический потенциал, характеристическая функция L(qi, , t) механической системы, выраженная через обобщённые координаты qi, обобщённые скорости  и время t. В простейшем случае консервативной системы Л. ф. равна разности между кинетической Т и потенциальной П энергиями системы, выраженными через qi и , т. е. L = T(qi, , t) — П(qi). Зная Л. ф., можно с помощью наименьшего действия принципа составить дифференциальные уравнения движения механической системы. Лагтинг Ла'гтинг (lagting), 1) в Норвегии верхняя палата парламента (стортинга); избирается стортингом в составе одной четверти его членов, остальные три четверти депутатов образуют нижнюю палату — одельстинг. 2) На Фарерских островах — выборный орган местного управления. Ла-Гуайра Ла-Гуа'йра (La Guaira), город на С. Венесуэлы. 24,5 тыс. жителей (1969). Крупный морской порт на Карибском море (3/5 импорта страны; грузооборот свыше 1 млн. т в год)

1. НДС – проблемы механизма его исчисления и основные направления по их устранению

2. Г. Вельфлин. Основные понятия истории искусства

3. Число как основное понятие математики

4. Основные понятия, предмет и система дисциплины "Правоохранительные органы"

5. Введение основных понятий в оптику

6. Футурология, прогностика, глобалистика: основные понятия
7. Определения основных понятий 1-9 глав книги: "Рынок: микро-математическая экономика экономическая модель"
8. Следственный осмотр: основные понятия, задачи принципы и виды следственного осмотра

9. Основные понятия словообразования

10. Иммунитет. Основные понятия

11. Конфликт: основные понятия

12. Основные понятия брэндинга

13. Основные понятия и формулы

14. Семейная терапия по Хеллингеру: основные понятия

15. Психология. Основные понятия

16. Основные понятия в интернет-рекламе

Матрас "Султан".
Матрас двусторонний, беспружинный на основе нетканого волокна. Основа: нетканое волокно. Сторона А: кокосовая плита (50% кокос, 50%
1417 руб
Раздел: Матрацы до 120 см
Кружка "Узбагойся - Я збагоен!".
Кружка с рисунком в стиле современный мем-юмор. Качественная керамика, фабричное изготовление. Размеры кружки: 11x10x8 см.
372 руб
Раздел: Кружки, чашки, блюдца
Глобус Земли физический, диаметр 420 мм.
Физический глобус Земли. Диаметр: 420 мм. Масштаб: 1:30000000. Материал подставки: пластик. Цвет подставки: прозрачный.
1751 руб
Раздел: Глобусы

17. Основные понятия социологии труда

18. Социальные институты. Основные понятия

19. Развитие общества. Основные понятия

20. Основные понятия и категории социально-национальной статистики

21. Основные понятия технологии приборостроения

22. Формирование основных понятий вращательного движения в средней школе
23. Основные понятия тайцзицюань
24. Основные понятия философии даосизма

25. Экология: основные понятия

26. Бухгалтерский учет (основные понятия)

27. Инвестиции. Основные понятия и определения

28. Основные понятия недвижимости

29. Основные понятия собственности, ее виды

30. Производственный травматизм и профессиональные заболевания: основные понятия и определения

31. Элементарное мышление, или рассудочная деятельность, животных: основные понятия и методы изучения

32. Основные понятия алгоритмического языка

Тележка для супермаркета.
Размер: 31х30х50 см. Материал: пластмасса.
384 руб
Раздел: Кассы, весы, игрушечные деньги
Калькулятор карманный, 8 разрядов, с крышкой. Арт. FS-60BK.
Калькулятор карманный с крышкой. Количество разрядов: 8. Питание: двойное. Материал: пластик. Цвет: черный. Размер: 68x95x11 мм.
325 руб
Раздел: Калькуляторы
Папка-портфолио "Портфолио школьника", А4.
Портфолио - это способ фиксирования, накопления и оценки индивидуальных достижений школьника в определенный период его обучения. Портфолио
364 руб
Раздел: Портфолио

33. Информация, информационные системы и экономические информационные системы: основные понятия и взаимосвязь

34. 26 основных понятий политического анализа

35. Основные понятия педагогики с точки зрения православной традиции

36. Экономика. Основные понятия

37. Основные понятия космической геодезии и астрономии

38. Центральный банк РФ - основные понятия
39. Основные понятия, термины и определения в безопасности жизнедеятельности
40. Основные понятия концепции современного естествознания

41. Основные понятия молекулярной биологии

42. Основные понятия цитологии

43. Основные понятия бухгалтерского учета

44. Арбитражный процесс: основные понятия и документы

45. Основные понятия гражданского права РФ

46. Основные понятия европейского права

47. Основные понятия и функции государства и права

48. Основные понятия наследственного права

Анатомическая подушка-вкладыш для детских автокресел.
Анатомическую детскую подушку-вкладыш можно применять в автокреслах, шезлонгах, для катания на качелях. Она поможет малышу максимально
310 руб
Раздел: Прочие
Счётный материал "Овощи", арт. Р45/788.
При обучении детей счету, очень полезно использовать красивый, яркий и разнообразный счетный материал. Ребенку очень сложно мыслить
326 руб
Раздел: Счетные наборы, веера
Набор цветных карандашей Stilnovo, 36 цветов.
Гексагональные цветные деревянные карандаши с серебряным нанесением по ребру грани. Есть место для нанесения имени. Яркие модные цвета.
664 руб
Раздел: Более 24 цветов

49. Основные понятия рецидивной преступности

50. Уголовный процесс и его основные понятия

51. Основные понятия культуры речи

52. Основные понятия фонетики

53. Основные понятия и планирование эксперимента

54. Основные понятия и результаты кибернетики
55. Основные понятия компьютерной графики
56. Случайные величины и способы их описания. Основные понятия теории вероятности, применяемые при испытаниях РЭСИ

57. Предмет, основные понятия и структура культурологии

58. Основные понятия управления качеством

59. Графы. Основные понятия

60. Основные понятия математического анализа

61. Основные понятия и направления системных исследований

62. Основные понятия менеджмента

63. Предмет, задачи, сущность и основные понятия управленческой психологии

64. Основные понятия педагогики

Салфетки влажные "Pampers (Памперс) Baby Fresh Clean", для нежного очищения.
Чтобы сохранить кожу малыша здоровой, ее необходимо регулярно очищать. При этом купать малыша рекомендуется не чаще, чем 1 раз в 2-3 дня.
498 руб
Раздел: Влажные салфетки
Кружка "Пистолет", черная с посеребренной ручкой.
Кружка для решительных мужчин и смелых женщин. Оригинальный дизайн никелированной ручки, имитирующей рукоять пистолета, делает эту вещицу
629 руб
Раздел: Кружки
Автоматическая шариковая ручка STABILO EASYball, для правшей.
Корпус темно-оливковый/светло-зеленый, чернила синие. Для правшей. • Ручка разработана в тесном сотрудничестве со специалистами в области
516 руб
Раздел: Синие

65. Методика работы над понятиями "звук", "слог", "слово", "предложение" в добукварный период

66. Основные понятия системного анализа

67. Основные понятия психологии

68. Развитие дифференциальной психологии

69. Предмет и основные понятия истории религии

70. Основные понятия демографии
71. Основные понятия социологии
72. История создания и анализ работы основных мировых производителей легковых автомобилей

73. Основные понятия и законы механики

74. Основные понятия и элементы линейных пассивных электрических цепей

75. Оздоровительный туризм: основные понятия, анализ организации на мировых и отечественных курортах

76. Сущность и основные понятия системного подхода

77. Основные понятия и этапы развития философии

78. Основные понятия философии

79. Оффшоры: основные понятия и преимущества

80. Основные понятия и образы квантовой механики

Копилка "Металлический сейф с ключом", красная.
Качественный металлический сейф-копилка с двумя замками (кодовый и обычный) позволит Вам скопить приличную сумму на поездку, например.
1585 руб
Раздел: Копилки
Набор для раскрашивания пенала.
Роспись по ткани - удивительное искусство, которое не прекратит свое развитие никогда. Наборы включают в себя само изделие и маркеры по
375 руб
Раздел: Без наполнения
Колонки "Аквамарин", белые.
Колонки «Аквамарин» содержат специальную жидкость, которая приводится в движение ритмом проигрываемой мелодии, что позволит вам получать
2543 руб
Раздел: Музыкальные центры и динамики

81. Основы теории и основные понятия процесса хроматографического разделения

82. Основные понятия институциональной экономики

83. Основные понятия статистики

84. Основные понятия статистики

85. Основные понятия экономики

86. Основные понятия экономической теории
87. Основные понятия и виды экономического анализа
88. Понятие государственного бюджета (Доклад)

89. Определение основных показателей плана экономического и социального развития на 2001 год

90. Основные вопросы и задачи изучения истории русского языка до XVIII в.

91. Работа над речью слабослышащих учащихся на уроках развития речи в младших классах

92. Основные черты НТР на современном этапе развития

93. История развития понятия "функция"

94. История развития понятия "Гражданское общество"

95. Основные черты и особенности послевоенных конституций развитых зарубежных стран

96. История развития маркетинга, его сущность и значение. Понятие комплекса "маркетинг-микс"

Наушники "PHILIPS SHE2550/10", проводные, 100 см, стерео, вкладыши.
Частотный диапазон: 12 Гц – 22 кГц. Чувствительность: 100 дБ. Разъем: 3,5 мм jack. Длина шнура: 100 см.
440 руб
Раздел: Наушники
Зонт детский "Принцесса" (46 см).
Оригинальный складной зонт даже в ненастную погоду позволит вам оставаться стильной и элегантной.
327 руб
Раздел: Детские
Дорожная игра "Монополия".
Перемещайтесь по полю - путешествуйте по городу и приобретайте недвижимость - участки, железные дороги, коммуникации. Покупайте дома и
585 руб
Раздел: Классические игры

97. История развития, основные достижения и проблемы медицинской генетики

98. История развития понятия мотивация

99. Организация работы с историческими источниками на уроках истории


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.