Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)

Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники
Карабин, 6x60 мм.
Размеры: 6x60 мм. Материал: металл. Упаковка: блистер.
42 руб
Раздел: Карабины для ошейников и поводков
Чашка "Неваляшка".
Ваши дети во время приёма пищи вечно проливают что-то на ковёр и пол, пачкают руки, а Вы потом тратите уйму времени на выведение пятен с
224 руб
Раздел: Тарелки

Министерство общего и профессионального образования Астраханский Государственный Педагогический Университет Бакалаврская работа Студентки IV курса физико–математического факультета Ночевной Светланы Павловны Кафедра: Математического анализа Тема: Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития Научный руководитель ст. преподаватель Пономарёва Н.Г. Астрахань 1998 г. План. 1. Основные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной. 1. Определение производной и её геометрический смысл. 2. Дифференциальные функции. Определение дифференциала. 3. Инвариантность формы первого дифференциала. 4. Дифференциал суммы, произведения и частного. 5. Геометрическая интерпретация дифференциала. 2. Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной. 1. Первообразная функция и неопределённый интеграл. 2. Геометрический смысл неопределённого интеграла. 3. Основные свойства неопределённого интеграла. 4. Метод непосредственного интегрирования. 5. Метод замены переменной (способ подстановки). 6. Интегрирование по частям. 7. Определённый интеграл как предел интегральной суммы. 8. Основные свойства определённого интеграла. 9. Геометрический смысл определённого интеграла. 10. Теорема Ньютона–Лейбница. 11. Формула Ньютона–Лейбница. 12. Замены переменных в определённых интегралах. 13. Интегрирование по частям. 3. Исторические сведения о возникновении и развитии основных понятий. 1. Происхождение понятия определённого интеграла и инфинитезимальные методы Архимеда. 2. От Архимеда к Кеплеру и Кавальери. 3. Теорема Паскаля. 4. «О глубокой геометрии» Лейбница. 5. «Метод флюксий» Ньютона. 6. Дифференциальные методы. Цель работы: «Изучить основные понятия дифференциального и интегрального исчислений и ознакомиться с историей их развития». Основные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной. 1 Определение производной и её геометрический смысл. Пусть функция y = f(х) определена в окрестности точки хо. возьмём точку х1 этой окрестности, отличную от хо. Определение. Разность х1 – х0, которую обозначают символом (х, будем называть приращением независимой переменной. Определение. Подобным образом соответствующая разность у1 – у0 = f(х1) – f(х0), обозначается символом (у и называется приращением зависимой переменной, или приращением функции. Получаются следующие соотношения: х1 = х0 (х, у1 = у0 (у, у0 (у = f(х0 (х) Так как у0 = f(х0), то (у = f(х0 (х) – f(х0). Определение. Частное будем называть разностным отношением. Выражение f(х0 (х)– f(х0) (х (принимая что х0 имеет определённое постоянное значение) можно считать функцией приращения (х. Определение. Если предел этого выражения при (х, стремящемся к нулю, существует, то его мы будем называть производной функции у = f(х) по х в точке х0 Итак, = = f’(х0) = у’х = у’= Пример. у=х2 . Вычислите производную для х=2. Имеем: f(х (х) = (х (х)2 , Поэтому (у = (х (х)2 – х2 = 2х(х ((х)2 Отсюда = 2х (х Переходя к пределу получим: = 2х = 2х. Для того, чтобы отношение имело предел, необходимо, чтобы , то есть, чтобы функция рис.1 была непрерывной в точке х0.

Рассмотрим график функции у = f(х) (рис.1) Легко заметить, что отношение равно тангенсу угла (, образованного положительным направлением секущей, проходящей через точки А и В (соответствующие точкам х и х (х), с положительным направлением оси Ох, то есть, от А к В если теперь приращение (х будет стремиться к нулю, точка В будет стремиться к А, то угол ( будет стремиться к (, образованному положительным направлением касательной с положительным направлением оси Ох, а g ( будет стремиться к g (. Поэтому = g ( (положительным направлением касательной считаем то направление, в котором х возрастает). Таким образом, можно утверждать следующее: Производная в данной точке х равна тангенсу угла, образованного положительным направлением касательной в соответствующей точке (х,f(х)) нашей кривой с положительным направлением оси Ох. 1.2 Дифференциальные функции. Определение дифференциала. Определение. Функция у = f(х) называется дифференцированной в точке х, если её приращение (у в этой точке можно представить в виде (у = f’(х)(х (((х)(х, где ( ((х) = 0 Как видно из из определения, необходимым условием дифференцируемости является существование производной. Оказывается что это условие также и достаточно. В самом деле пусть существуют у’ = f’(х) Положим – f’(х), (х ( 0 0. , (х = 0 При таком определении ( имеет для всех (х (у = f’(х)(х (((х)(х . Остаётся, следовательно, установить непрерывность (((х) при (х = 0, то есть, равенство ( ((х) = ((0) = 0, но, очевидно, ( ((х) = – f’(х) = f’(х) – f’(х) = 0, что и требовалось. Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной — понятия равносильные. Определение. Если функция у = f’(х) дифференцируема, то есть, если (у = f’(х)(х ( . (х, ( = 0, то главную линейную часть f’(х)(х, её приращения будем обозначать dху, dхf(х) и называть дифференциалом переменной у по переменной х в точке х. Написав для симметрии dхх вместо (х, получим следующую формулу: dху = f’(х)dхх, откуда = f’(х). Заметим ещё, что дифференциалы dху и dхх являются функциями переменной х, причём функция dхх принимает постоянное значение (х. 1.3 Инвариантность формы первого дифференциала. В случае, когда переменная у = f(х) была функцией независимой переменной х, мы имеем, по определению, (у = f’(х)(х или dхх = f’(х)dхх (1) Рассмотрим теперь случай, когда х является в свою очередь функцией другой переменной, х = х( ). Теорема. Если функции х = (( ) и у = (( ) дифференцируемы в соответствующих точках = 1 и х = х1 = (( 1), то дифференциал сложной функции у = f((( )) = (( ) может быть представлен в виде d у = f’(х1) d х. Доказательство: Согласно определению дифференциала имеем d х = (’( 1) d (11) d у = (’( 1) d (2) Но на основании теоремы о производной сложной функции мы видим, что (’( 1) = f’(х1) (’( 1) Подставив это выражение в формулу (2), получим: d у = f’(х1) (’( 1) d , отсюда в силу формулы (11) d у = f’(х1) d х (3) Сравнив формулу (1) с формулой (3), мы заметим что их можно записать символически в виде dу = f’(х) dх (4) Формулу (1) или (3) мы получаем из формулы (4), написав вместо d, соответственно dх или d .

Символы dх и dу не являются совершенными, однако во многих случаях, когда возможность ошибиться будет исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов dхх и dху или, соответственно, d х и d у. Значение формулы (4) становится ясным, если обратить внимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться двумя формулами для определения производной у по х. А именно, когда переменная у зависит непосредственно от х, то у’х = f’(х); когда же зависимость переменной у от х даётся при помощи некоторой (промежуточной) функции и, то у’х = f’(и)и’х. При отыскании же дифференциалов получим в обоих случаях одинаковые формулы: dху = f’(х) dхх, dху = f’(и) dхи или dу = f’(х) dх, dу = f’(и) dи. 1.4 Дифференциал суммы, произведения и частного. Из теорем о производных суммы, произведения и частного можно получить аналогичные формулы для дифференциалов суммы, произведения и частного. Пусть и и ( — функции от х: и = f(х), ( = ((х), имеющие непрерывные частные производные. Если положить у = и (, то у’х = и’х (’х, откуда у’х dх = и’х dх (’хdх, следовательно dу = dи d(, то есть d(и () = dи d(. Аналогично dси = сdи, где с – постоянное число; d(и() = иd( (dи, d ( ) = . Замечание. На практике часто бывает выгоднее оперировать дифференциалами, а потом делением на дифференциал независимой переменной переходить к производной. 1.5 Геометрическая интерпретация дифференциала. Дифференциал можно геометрически представить следующим образом: Из рис. 2 видно, что dу = f’(х)dх = g ( . dх = СД. Таким образом, если (у – приращение ординаты кривой, то dу – приращение ординаты касательной. Дифференциал dу, вообще говоря, отличается от (у, но их разность очень мала по сравнению dх для очень малых dх, так как = ( ((х) = 0 На практике, когда речь идёт только о приближённых значениях, можно для малых приращений dх считать (у = dу = f’(х)dх. Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной. 1 Первообразная функция и неопределённый интеграл. Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(х) или дифференциала f’(х)dх данной функции f(х). В интегральном исчислении решается обратная задача: Дана функция f(х); требуется найти такую функцию F(х), производная которой f(х)dх в области определения функции f(х), то есть, в этой области функции f(х) и F(х) связаны соотношением F’(х) = f(х) или dF(х)= F’(х)dх = f(х)dх. Определение. Функция F(х) называется первообразной функцией для данной функции f(х), если для любого х из области определения f(х) выполняется равенство F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх. Примеры. 1) Пусть f(х) = cos х. Решение: Тогда F(х) = si х, так как F’(х) = cos х = f(х) или dF(х) = cos х dх = f(х)dх 2) Пусть f(х) = х2. Решение: Тогда F(х) = , так как F’(х) = х2 = f(х) или dF(х) = х2dх = f(х)dх. Известно, что если две функции f(х) и ((х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, то есть, если f(х) = ((х) С, то f’(х) = (’(х) или f’(х)dх = (’(х)dх. Известно также, что и наоборот, если две функции f(х) и ((х) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, если f’(х) = (’(х) или dхf(х) = d((х), то f(х) = ((х) С.

Лагранжа формула Лагра'нжа фо'рмула, одна из основных формул дифференциального исчисления; то же, что конечных приращений формула. Найдена Ж. Лагранжем (1797). Лагранжа функция Лагра'нжа фу'нкция, кинетический потенциал, характеристическая функция L(qi, , t) механической системы, выраженная через обобщённые координаты qi, обобщённые скорости  и время t. В простейшем случае консервативной системы Л. ф. равна разности между кинетической Т и потенциальной П энергиями системы, выраженными через qi и , т. е. L = T(qi, , t) — П(qi). Зная Л. ф., можно с помощью наименьшего действия принципа составить дифференциальные уравнения движения механической системы. Лагтинг Ла'гтинг (lagting), 1) в Норвегии верхняя палата парламента (стортинга); избирается стортингом в составе одной четверти его членов, остальные три четверти депутатов образуют нижнюю палату — одельстинг. 2) На Фарерских островах — выборный орган местного управления. Ла-Гуайра Ла-Гуа'йра (La Guaira), город на С. Венесуэлы. 24,5 тыс. жителей (1969). Крупный морской порт на Карибском море (3/5 импорта страны; грузооборот свыше 1 млн. т в год)

1. НДС – проблемы механизма его исчисления и основные направления по их устранению

2. Г. Вельфлин. Основные понятия истории искусства

3. Число как основное понятие математики

4. Основные понятия, предмет и система дисциплины "Правоохранительные органы"

5. Введение основных понятий в оптику

6. Футурология, прогностика, глобалистика: основные понятия
7. Определения основных понятий 1-9 глав книги: "Рынок: микро-математическая экономика экономическая модель"
8. Следственный осмотр: основные понятия, задачи принципы и виды следственного осмотра

9. Основные понятия словообразования

10. Иммунитет. Основные понятия

11. Конфликт: основные понятия

12. Основные понятия брэндинга

13. Основные понятия и формулы

14. Семейная терапия по Хеллингеру: основные понятия

15. Психология. Основные понятия

16. Основные понятия в интернет-рекламе

Песочные часы "Обратные".
Материал: пластмасса. Высота часов: 11 см.
330 руб
Раздел: Часы песочные
Часы песочные, 8х14 см (на 5 минут).
Часы песочные, на 5 минут, настольные. Диаметр: 8 см. Высота: 14 см. Материал: стекло, дерево.
805 руб
Раздел: Часы песочные
Мягкий пол универсальный "Листья", 33x33 см (9 деталей).
Универсальность мягкого пола для детских комнат заключается, прежде всего, в неограниченных возможностях его применения. Его можно
884 руб
Раздел: Прочие

17. Основные понятия социологии труда

18. Социальные институты. Основные понятия

19. Развитие общества. Основные понятия

20. Основные понятия и категории социально-национальной статистики

21. Основные понятия технологии приборостроения

22. Формирование основных понятий вращательного движения в средней школе
23. Основные понятия тайцзицюань
24. Основные понятия философии даосизма

25. Экология: основные понятия

26. Бухгалтерский учет (основные понятия)

27. Инвестиции. Основные понятия и определения

28. Основные понятия недвижимости

29. Основные понятия собственности, ее виды

30. Производственный травматизм и профессиональные заболевания: основные понятия и определения

31. Элементарное мышление, или рассудочная деятельность, животных: основные понятия и методы изучения

32. Основные понятия алгоритмического языка

Отделитель косточек вишни "Mayer & Boch", 1,5 л, механический (арт. 4170).
Отделитель косточек от вишни механический, 6 предметов: поршень, колпачок, полость для пружины, контейнер для сбора косточек, корпус,
527 руб
Раздел: Прочее
Подгузники-трусики "Pampers Pants" макси (52 штуки, джамбо упаковка), 9-14 кг.
Универсальные подгузники-трусики "Pampers Pants" разработаны с учетом анатомических особенностей малышей обоих полов. Усиленный
1353 руб
Раздел: Обычные
Насадка из микрофибры для швабры "Торнадо".
Благодаря экстраординарной впитывающей способности микрофибра широко используется при создании средств для чистки квартиры. Она легко
258 руб
Раздел: Верёвочные

33. Информация, информационные системы и экономические информационные системы: основные понятия и взаимосвязь

34. 26 основных понятий политического анализа

35. Основные понятия педагогики с точки зрения православной традиции

36. Экономика. Основные понятия

37. Основные понятия космической геодезии и астрономии

38. Центральный банк РФ - основные понятия
39. Основные понятия, термины и определения в безопасности жизнедеятельности
40. Основные понятия концепции современного естествознания

41. Основные понятия молекулярной биологии

42. Основные понятия цитологии

43. Основные понятия бухгалтерского учета

44. Арбитражный процесс: основные понятия и документы

45. Основные понятия гражданского права РФ

46. Основные понятия европейского права

47. Основные понятия и функции государства и права

48. Основные понятия наследственного права

Ретро телефон к мобильному устройству.
Телефон работает по принципу наушников. Кнопки регулировки громкости нет. Материал: пластик. Цвет: черный.
1263 руб
Раздел: Гарнитуры и трубки
Перчатки с силиконовой подкладкой "Naomi".
Если Вы хотите получить гладкую мягкую кожу без посещений спа-салонов и затрат больших денежных средств, перчатки с силиконовой подкладкой
376 руб
Раздел: Прочее
Рюкзак подростковый MadCat "Молния".
Стильный подростковый рюкзак из искусственной кожи. Яркие неоновые цвета точно выделят владелицу такого рюкзака из толпы. Нижний карман
1023 руб
Раздел: Без наполнения

49. Основные понятия рецидивной преступности

50. Уголовный процесс и его основные понятия

51. Основные понятия культуры речи

52. Основные понятия фонетики

53. Основные понятия и планирование эксперимента

54. Основные понятия и результаты кибернетики
55. Основные понятия компьютерной графики
56. Случайные величины и способы их описания. Основные понятия теории вероятности, применяемые при испытаниях РЭСИ

57. Предмет, основные понятия и структура культурологии

58. Основные понятия управления качеством

59. Графы. Основные понятия

60. Основные понятия математического анализа

61. Основные понятия и направления системных исследований

62. Основные понятия менеджмента

63. Предмет, задачи, сущность и основные понятия управленческой психологии

64. Основные понятия педагогики

Набор "Маленький кондитер".
Дети любят сладости, а еще больше они любят устраивать кукольные чаепития. А ведь на нем действительно без торта не обойтись. Именно
433 руб
Раздел: Продукты
Гамачок для купания.
Горка для купания (гамачок) для ванны 100 см служит для поддержки младенцев в ванночке. Ванночка с гамачком обеспечит комфортное принятие
301 руб
Раздел: Горки, приспособления для купания
Флаг "Россия", шёлк, 90х135 см.
Размер: 90х135 см.
467 руб
Раздел: Наградная продукция

65. Методика работы над понятиями "звук", "слог", "слово", "предложение" в добукварный период

66. Основные понятия системного анализа

67. Основные понятия психологии

68. Развитие дифференциальной психологии

69. Предмет и основные понятия истории религии

70. Основные понятия демографии
71. Основные понятия социологии
72. История создания и анализ работы основных мировых производителей легковых автомобилей

73. Основные понятия и законы механики

74. Основные понятия и элементы линейных пассивных электрических цепей

75. Оздоровительный туризм: основные понятия, анализ организации на мировых и отечественных курортах

76. Сущность и основные понятия системного подхода

77. Основные понятия и этапы развития философии

78. Основные понятия философии

79. Оффшоры: основные понятия и преимущества

80. Основные понятия и образы квантовой механики

Стираемая карта мира "Подарочная" (красная).
Познавательно-развивающая Скретч-карта, Викторина. Карта мира покрытая золотой, стирающейся скретч-краской в оригинальном картонном тубусе
900 руб
Раздел: Подарочные наборы
Настольная семейная игра "Ловушка для пингвина".
Настольная игра "Ловушка для пингвина" - это еще один повод собрать всю семью за одним столом. Игра состоит в том, чтобы
368 руб
Раздел: Игры на ловкость
Развивающая игрушка "Тапочки Сова".
Размер: 6,5х10,5 см.
343 руб
Раздел: Прочее

81. Основы теории и основные понятия процесса хроматографического разделения

82. Основные понятия институциональной экономики

83. Основные понятия статистики

84. Основные понятия статистики

85. Основные понятия экономики

86. Основные понятия экономической теории
87. Основные понятия и виды экономического анализа
88. Понятие государственного бюджета (Доклад)

89. Определение основных показателей плана экономического и социального развития на 2001 год

90. Основные вопросы и задачи изучения истории русского языка до XVIII в.

91. Работа над речью слабослышащих учащихся на уроках развития речи в младших классах

92. Основные черты НТР на современном этапе развития

93. История развития понятия "функция"

94. История развития понятия "Гражданское общество"

95. Основные черты и особенности послевоенных конституций развитых зарубежных стран

96. История развития маркетинга, его сущность и значение. Понятие комплекса "маркетинг-микс"

Игра "Он и она".
Насколько хорошо Вы в действительности знаете своего партнёра? Игра «Он и она» – отличный способ выяснить это! Эта игра для взрослой
2054 руб
Раздел: Игры для взрослых (18+)
Мольберт "Доска комбинированная - 12".
Мольберт "Доска комбинированная - 12" - это двухсторонняя доска. Одна сторона мольберта предназначена для рисования мелом,
1778 руб
Раздел: Доски комбинированные
Этикет-пистолет МХ-5500 однострочный.
Этикет-пистолет однострочный.
1053 руб
Раздел: Прочее

97. История развития, основные достижения и проблемы медицинской генетики

98. История развития понятия мотивация

99. Организация работы с историческими источниками на уроках истории


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.