Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Мыло металлическое "Ликвидатор".
Мыло для рук «Ликвидатор» уничтожает стойкие и трудно выводимые запахи за счёт особой реакции металла с вызывающими их элементами.
197 руб
Раздел: Ванная
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный.
Оригинальный светильник-ночник-проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фанариков); 2) Три
350 руб
Раздел: Ночники
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый.
Изготовлены из влагостойкого и грязестойкого материала, сохраняющего свои свойства в любых погодных условиях. Легкость крепления позволяет
66 руб
Раздел: Прочее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Математический факультет Кафедра прикладной математики ДИПЛОМНЫЙ ПРОЕКТ СИНГУЛяРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАчЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Заведующий кафедрой прикладной математики Исполнил: Научный руководитель Владикавказ 2002 СОДЕРЖАНИЕВВЕДЕНИЕ 3 Глава 1. Метод наименьших квадратов 7 1.1. Задача наименьших квадратов 7 1.2. Ортогональное вращение Гивенса 9 1.3. Ортогональное преобразование Хаусхолдера 10 1.4. Сингулярное разложение матриц 11 1.5. QR–разложение 15 1.6. Число обусловленности 20глава 2. Реализация сингулярного разложения 25 2.1. Алгоритмы 25 2.2. Реализация разложения 27 2.3. Пример сингулярного разложения 29глава 3. Использование сингулярного разложения в методе наименьших квадратов 33 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 38 ЛИТЕРАТУРА 39 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Исходные тексты программы 40 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. контрольный пример 45 ВВЕДЕНИЕ Метод наименьших квадратов обычно используется как составная часть некоторой более общей проблемы. Например, при необходимости проведения аппроксимации наиболее часто употребляется именно метод наименьших квадратов. На этом подходе основаны: регрессионный анализ в статистике, оценивание параметров в технике и т.д. Большое количество реальных задач сводится к линейной задаче наименьших квадратов, которую можно сформулировать следующим образом. Пусть даны действительная m( –матрица A ранга k(mi (m, ) и действительный m–вектор b. Найти действительный –вектор x0, минимизирующий евклидову длину вектора невязки Ax–b. Пусть y – –мерный вектор фактических значений, x – –мерный вектор значений независимой переменной, b – коэффициенты в аппроксимации y линейной комбинацией заданных базисных функций (: . Задача состоит в том, чтобы в уравнении подобрать такие b, чтобы минимизировать суммы квадратов отклонений e=y–Xb, где X – есть так называемая матрица плана, в которой строками являются –мерный вектора с компонентами, зависящими от xj: каждая строка соответствует определенному значению xj. Коэффициенты можно найти решая нормальные уравнения . Покажем это. Возведем в квадрат выражение для е: . Это выражение имеет экстремум в точке, где . Следует отметить, что последнее выражение имеет в определенной степени формальный характер, т. к. решение нормальных уравнений, как правило, проводится без вычисления обратной матрицы (метод Крамера) такими методами как метод Гаусса, Холесского и т. д. Пример. Пусть заданы результаты четырех измерений (рис. 1): y=0 при x=0; y=1 при x=1; y=2 при x=3; y=5 при x=4. Задача заключается в том, чтобы провести через эти точки прямую таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальна. Запишем уравнение, описывающее проведение прямой по результатам измерений. Мы получаем переопределенную систему: или Xb=y. Нам понадобится матрица X X и обратная к ней: Тогда решение b=(X X)-1X y по методу наименьших квадратов будет иметь вид Таким образом, оптимальная прямая задается уравнением Метод точечной квадратичной аппроксимации (метод наименьших квадратов) не предполагает, что мы должны приближать экспериментальные данные лишь с помощью прямых линий.

Во многих экспериментах связи могут быть нелинейными, и было бы глупо искать для этих задач линейные соотношения. Пусть, например, мы работаем с радиоактивным материалом. Тогда выходными данными у являются показания счетчика Гейгера в различные моменты времени . Пусть наш материал представляет собой смесь двух радиоактивных веществ, и мы знаем период полураспада каждого из них, но не знаем, в каких пропорциях эти вещества смешаны. Если обозначить их количества через С и D, то показания счетчика будут вести себя подобно сумме двух экспонент, а не как прямая: . (1) На практике, поскольку радиоактивность измеряется дискретно и через различные промежутки времени, показания счетчика не будут точно Рис. 1. Аппроксимация прямой линией.соответствовать (1). Вместо этого мы имеем серию показаний счетчика , и (1) выполняется лишь приближенно: Если мы имеем более двух показаний, m>2, то точно разрешить эту систему относительно C и D практически невозможно. Но мы в состоянии получить приближенное решение в смысле минимальных квадратов. Ситуация будет совершенно иной, если нам известны количества веществ C и D и нужно отыскать коэффициенты ( и (. Это нелинейная задача наименьших квадратов, и решить ее существенно труднее. Мы по–прежнему будем минимизировать сумму квадратов ошибок, но сейчас она уже не будет многочленом второй степени относительно ( и (, так что приравнивание нулю производной не будет давать линейных уравнений для отыскания оптимальных решений. Глава 1. Метод наименьших квадратов 1.1. Задача наименьших квадратов Задача наименьших квадратов заключается в минимизация евклидовой длины вектора невязок (( Ax-b ((. Теорема 1. Пусть А – m( –матрица ранга k, представленная в виде A=HRK (2) где H ортогональная m(m матрица; R – m( –матрица вида , (3) где: R11 – kxk–матрица ранга k; K – ортогональная kxk–матрица. Определим вектор . (5) Определим как единственное решение системы R11y1=g1. Тогда: 1. Все решения задачи о минимизации ((Ax-b(( имеют вид , где y2 произвольно. 2. Любой такой вектор приводит к одному и тому же вектору невязки 4. Единственным решением минимальной длины является вектор Доказательство. В выражении для квадрата нормы невязки заменим A на HRK в соответствии с (2) и умножая на ортогональную матрицу H (умножение на ортогональную матрицу не меняет евклидову норму вектора) получим . Из (4) следует Подставляя оба последних выражения в (7) получим Последнее выражение имеет минимальное значение при R11y1=g1, а в этом уравнении единственным решением является , так как ранг матрицы R11 равен к. Общее решение y выражается формулой имеем , что устанавливает равенство (3). Среди векторов наименьшую длину имеет тот, для которого y2=0. Отсюда следует, что решением наименьшей длины будет вектор . Теорема доказана. Всякое разложение матрицы А типа (2) мы будем называть ортогональным разложением А. Заметим, что решение минимальной длины, множество всех решений и минимальное значение для задачи минимизации ((Ax-b(( определяются единственным образом. Они не зависят от конкретного ортогонального разложения. При проведении разложения необходимо приводить матрицы к диагональному виду.

Для этого обычно используются два преобразования: Гивенса и Хаусхолдера, оставляющие нормы столбцов и строк матриц неизменными.1.2. Ортогональное вращение Гивенса Лемма. Пусть дан 2–вектор .Существует ортогональная 2(2 матрица такая, что: . Далее прямая проверка. Матрица преобразования представляет собой матрицу вращений 1.3. Ортогональное преобразование Хаусхолдера Применяется для преобразования матриц к диагональному виду. Матрица преобразования представляет из себя следующее выражение: , (9) или, если вектор v нормирован, т.е. используется вектор единичной длины . В обоих случаях H – симметричная и ортогональная матрица. Покажем это: , т.е. симметричность и ортогональность. В комплексном случае матрица . Предположим, что дан вектор х размерности m, тогда существует матрица H такая, что а ( = 1, при положительной первой компоненте вектора х и = –1, при отрицательной. Доказательство. Положим действительная матрица. Любую действительную матрицу можно привести в треугольному виду и получаем следующее: 1.4. Сингулярное разложение матриц Пусть X – матрица данных порядка xp, где >p, и пусть r – ранг матрицы X. Чаще всего r=p, но приводимый ниже результат охватывает общий случай, он справедлив и при условии r

Входные данные, задаваемые каждым примером, можно рассматривать как стомерный вектор. Процедура предварительной обработки состоит в ортонормировании системы векторов, задаваемых всеми примерами обучающего множества. Отметим, что при тестировании предобработка отсуствует. Все программы, кроме программыHopfield. В этом меню Вы можете задать следующие параметры метода обучения: Использовать MParTan Организация обучения Вычисление направления Способ оценивания Уровень УДАРА Использовать MParTan Все программы, кроме программы Hopfield. При построении метода обучения Вы пользуетесь следующей схемой: Использовать MParTan Да или Нет ↓ Процедура спуска ↓ Организация обучения Усредненная Позадачная Задаче номер ↓ Вычисление направления Случайный спуск Градиентный спуск ↓ Метод оценивания Метод наименьших квадратов Расстояние до множества ↓ Нейронная сеть Входными параметрами процедуры MParTan являются: 1. Начальная карта. 2. Процедура вычисления Направления спуска. 3. Локальное обучающее множество. 4

1. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами

2. Численные методы решения систем линейных уравнений

3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

4. Методы решения систем линейных уравнений

5. Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования

6. Методы решения уравнений линейной регрессии
7. Метод конечных разностей или метод сеток
8. Методи лінгвістичних досліджень.Описовий метод. Порівняльно-історичний метод

9. Выбор параметров контроля с использованием метода динамического программирования и метода ветвей и границ

10. Метод непрерывных испытаний. Графический метод. Испытания на ремонтопригодность

11. Логико-интуитивные методы исследования систем управления. Метод тестирования

12. Линеаризация без метода наименьших квадратов

13. Метод наименьших квадратов в случае интегральной и дискретной нормы Гаусса

14. Применение методов линейного программирования в военном деле. Симплекс-метод

15. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

16. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

Пенал большой "Pixie Crew" с силиконовой панелью для картинок (цветная клетка).
Повседневные вещи кажутся скучными и однотонными, а тебе хочется выглядеть стильно и быть не как все? "Pixie Crew" сделает твою
1402 руб
Раздел: Без наполнения
Комод "Girl" (четырехсекционный).
Этот комод не оставит Вас равнодушными. Яркая оригинальная расцветка комода привлечет и взрослого, и ребенка, и того, кто предпочитает
1862 руб
Раздел: Комоды, тумбы, шкафы
Керамическая кружка "World of Tanks" с 3D логотипом, 425 мл.
Керамическая кружка "World of Tanks" с 3D логотипом – настоящая находка для геймеров! Эта вместительная чашка станет Вашим
398 руб
Раздел: Кружки

17. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

18. Определение релаксационных констант в модифицированных полимерных материалах методом линейной регрессии

19. Анализ динамики внп методом линейной регрессии

20. Линейное программирование симплекс-методом Данцига

21. Решение задач линейного программирования симплекс методом

22. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)
23. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
24. Методы расчета линейных электрических цепей при импульсном воздействии. Спектральный анализ сигналов

25. Решение задачи линейного программирования симплексным методом

26. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

27. Графоаналітичний метод – "квадрат потенціалу"

28. Использование методов линейного программирования и экономического моделирования в технологических процессах

29. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом

30. Линейное программирование как метод оптимизации

31. Исследование природных ресурсов планеты с помощью космических методов

32. Исследование клеточного цикла методом проточной цитометрии

Настольная игра "Четыре времени года".
Очень интересная и полезная игра, являющаяся аналогом классического лото. На одном из четырех игровых полей, каждое из которых относится к
563 руб
Раздел: Лото детское
Настольная игра "Чудовище Джио-Джанги".
Настольная игра "Чудовище Джио-Джанги" - легендарная приключенческая игра, неоднократно переизданная и пользующаяся огромной
405 руб
Раздел: Классические игры
Аспиратор нозальный Pigeon с футляром.
Аспиратор разработан совместно с ведущими японскими специалистами отоларингологами. Позволяет без труда очистить содержимое носика ребенка
704 руб
Раздел: Аспираторы

33. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ГЕНЕТИКИ

34. Методы психогенетики

35. Обзор методов и способов измерения физико-механических параметров рыбы

36. Новейшие методы селекции: клеточная инженерия, генная инженерия, хромосомная инженерия

37. Зажигательные смеси, состав, средства применения и доставки, вызываемые повреждения, методы лечения и защиты

38. Методы и модели демографических процессов
39. Гидрохимический, атмохический и биогеохимический методы поисков
40. Добыча золота методами геотехнологии

41. Государственное регулирование экономики: формы и методы

42. Сущность, методы и формы государственного регулирования внешнеэкономической деятельности Российской Федерации

43. Нелегальная миграция в России и методы борьбы с ней

44. Предмет и метод гражданского права

45. Предмет, метод и система гражданского процессуального права /Украина/

46. Корпорация BBC. Формы и методы государственного контроля вещания

47. Формы и методы выхода предприятий на внешний рынок

48. Финансовый контроль: формы, методы, органы

Контейнер "Аптечка", 9 литров.
Контейнер "Аптечка" - оптимальное решение для хранения лекарств. Снабжен вкладышем для сортировки небольших предметов:
380 руб
Раздел: 5-10 литров
Глобус "ELITE", двойная карта, диаметр 30 см, новая карта, подсветка.
Диаметр: 30 см. Двойная русифицированная физическая/политическая карта мира. Внутренняя подсветка. Утяжеленная подставка. Прозрачный
2831 руб
Раздел: Глобусы
Комплект универсальных обложек с липким слоем, 470x300 мм, 25 штук.
Обложки универсальные с липким слоем, 25 штук, размер 470x300 мм. Материала обложек: полипропилен. Плотность: 80 мкм.
360 руб
Раздел: Обложки для книг

49. Эффективные методы изучения иностранных языков

50. Метод действенного анализа в режиссуре театра, кино и телевидения

51. Соцреализм как метод искусства

52. Дидактические возможности отдельных методов обучения на уроках литературы в старших классах

53. Методы изучения музыкальных произведений крупной формы в старших классах общеобразовательной школы

54. Цивилизационные методы в изучении истории
55. Методы компьютерной обработки статистических данных
56. Решение транспортной задачи методом потенциалов

57. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

58. Оценка методов и средств обеспечения безошибочности передачи данных в сетях

59. Обзор возможных методов защиты

60. Метод деформируемого многогранника

61. Обучение начальных курсов методам программирования на языке Turbo Pascal

62. Модифицированный симплекс-метод с мультипликативным представлением матриц

63. Методы приобретения знаний в интеллектуальных системах

64. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)

Карточки Первого Года (20 карточек).
Карточки Первого Года – совершенно новый способ наблюдать, как растет и меняется малыш от месяца к месяцу. Нужно просто заполнить карточку
352 руб
Раздел: Прочее
Карандаши цветные "ColorPics", 36 цветов + точилка.
Ударопрочные цветные карандаши имеют насыщенные цвета. Шестигранная форма корпуса снижает усталость и придает дополнительный комфорт.
313 руб
Раздел: Более 24 цветов
Логическая игра "Следопыт, колобок".
Игра предлагает ребенку 48 различных заданий на развитие логики и мышления. Смысл игры заключается в том, что нужно разложить пазлы особым
1104 руб
Раздел: Игры логические

65. Вычисление определённого интеграла с помощью метода трапеций на компьютере

66. Интегрирование методом Симпсона

67. Защита цифровой информации методами стеганографии

68. Компьютерный файлово-загрузочный полиморфный стелс-вирус ONEHALF 3544, особенности алгоритма и методы борьбы с ним

69. Система поддержки принятия маркетинговых решений в торговом предприятии на основе методов Data Mining

70. Применение метода частотных диаграмм к исследованиям устойчивости систем с логическими алгоритмами управления
71. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)
72. Решение задач - методы спуска

73. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

74. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

75. Использование численных методов для решения дифуpов (2-го порядка) (, демонстрация применения интерполяции в среде MATHCAD-а)

76. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников

77. Решение нелинейного уравнения методом касательных

78. Методы корреляционного и регрессионного анализа в экономических исследованиях

79. Современные криптографические методы

80. Математические методы в организации транспортного процесса

Детская машинка "ВИХРЬ".
Маленькие гонщики в возрасте от 1 до 3 лет будут в восторге от маневренной машинки "Вихрь". Легкая и невероятно простая в
1350 руб
Раздел: Каталки
Джип-каталка "4х4", голубой.
Каталка со звуковым сигналом. Автомобиль оснащен крюком с веревкой, за который его может везти сам водитель или родители. Если веревка не
1731 руб
Раздел: Каталки
Грызунок на прищепке "Машинка".
Грызунок сделан из безопасного пищевого силикона, он выполняет роль прорезывателя для зубов. Бусины грызунка достаточно мягкие и очень
380 руб
Раздел: Силиконовые

81. Вычисление интегралов методом Монте-Карло

82. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

83. Методы и приемы решения задач

84. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)

85. Методы обучения математике в 10 -11 класах

86. Решение транспортной задачи методом потенциалов
87. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом
88. Некоторые дополнительные вычислительные методы

89. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

90. Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов

91. Новый метод «дополнительных краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова для краевых задач

92. Лазерные методы диагностики. Термография

93. Объективные и субъективные признаки усталости, утомления и переутомления, их причины, методы устранения и профилактика

94. Дополнительные методы обследования легочных больных. Основные синдромы при заболеваниях легких

95. Хламидиоз. Методы определения/диагностики

96. Предмет, метод, содержание cудебной медицины

Дырокол для люверсов на 30 листов, серебристый.
Дырокол в металлическом корпусе, предназначенный для установки люверсов. Перфорирует одновременно до 30 листов бумаги. Диаметр
630 руб
Раздел: Дыроколы
Подставка для украшений Jardin D'Ete "Нежная сирень".
Подставка для ювелирных изделий не оставит равнодушной ни одну любительницу изысканных вещей. Сочетание оригинального дизайна и
967 руб
Раздел: Подставки для украшений
Умные кубики. Силуэты. 50 игр для развития интеллекта.
IQ-кубики «Силуэты» — это универсальный набор для развития дошкольника. В процессе игры он учится конструировать, систематизировать,
306 руб
Раздел: Развивающие игры с кубиками

97. Методы оценки кровопотери в акушерстве

98. Метод Фолля

99. Некоторые методы лечения переломов длинных трубчатых костей


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.