Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Элементы теории множеств

Горшок торфяной для цветов.
Рекомендуются для выращивания крупной рассады различных овощных и цветочных, а также для укоренения саженцев декоративных, плодовых и
6 руб
Раздел: Горшки, ящики для рассады
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый.
Изготовлены из влагостойкого и грязестойкого материала, сохраняющего свои свойства в любых погодных условиях. Легкость крепления позволяет
59 руб
Раздел: Прочее
Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь".
Коврик "Пекарь", сделанный из силикона, поможет Вам готовить вкусную и красивую выпечку. Благодаря материалу коврика, выпечка не
265 руб
Раздел: Коврики силиконовые для выпечки

Курсовая работа Выполнил студент 3 курса 4 группы физико-математического факультета Данилюк Ярослав Борисович Мозырский государственный педагогический университет Мозырь 2006 Введение До второй половины XIX века понятие “множества” не рассматривалось в качестве математического (“множество книг на полке”, “множество человеческих добродетелей” и т. д. — всё это чисто бытовые обороты речи). Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным “множеством”. Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого “натуральным рядом” — который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию “множества”, рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде “множество есть многое, мыслимое как единое”, и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не “теорией множеств” (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Me ge lehre). Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что “бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих”). Тем не менее, некоторые другие математики — в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В начале XX века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность наивной теории множеств и, связанной с ней, канторовской программы стандартизации математики. После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наименее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств. Особенностью аксиоматического подхода является отказ от, лежащего в основе программы Кантора, представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества “существуют” исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Таким образом, понятие совокупности, или множества, принадлежит к числу фундаментальных понятий, данных нам природой, и предшествует понятию числа.

В своем первичном виде оно не дифференцируется на понятие конечного и бесконечного множеств. Плодотворность теоретико-множественной концепции заключается в том, что она породила весьма богатый и мощный арсенал широких понятий и универсальных методов. В связи с этим возникает круг задач, которые разрешимы только средствами теоретико-множественной концепции. Целями данной курсовой работы являются: Изучение исходных понятий теории множеств, а также аксиоматики теории множеств. Систематизация теоретико-множественной концепции. Интеграция научной информации в учебный процесс. Задачи курсовой работы “Элементы теории множеств”: Поиск наиболее полного, содержательного и объективного ответа на вопросы разделов теории множеств. Изучение определений и теорем в соответствии с различными научными подходами. Создание компьютерной презентации с целью использования в качестве наглядного пособия при изучении теории множеств. Создание электронного учебника, позиционируемого как справочное пособие для домашнего самостоятельного изучения. Глава 1. Исходные понятия теории множеств 1.1. Множество как первоначальное неопределяемое понятие в математике В 70-х годах прошлого века немецкий математик Георг Кантор, исследуя тригонометрические ряды и числовые последовательности, встал перед необходимостью сравнить между собой бесконечные совокупности чисел. Для решения возникших проблем Кантор и выдвинул понятие множества. Согласно канторовскому определению, множество есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Это определение не накладывает никаких ограничений на природу элементов множества, что предоставляет нам значительную свободу. В частности, допустимо рассматривать множества, элементы которых по той или иной причине нельзя точно указать (например, множество простых чисел). В современной математике понятие множества является одним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность явлений, предметов и объектов реального мира. Сами множества так же могут объединяться во множества. Например, математики говорят о множестве фигур на плоскости, о множестве тел в пространстве, но каждую фигуру, каждое тело они мыслят как множество точек. Суть понятия “множество” вполне передается словами: “совокупность”, “собрание”, “набор” и т.д. Однако, как абстрактное математическое понятие “множество” неопределимо. Несмотря на это, определить какое-либо конкретное множество - задача не из трудных. Определить любое конкретное множество - значит определить, какие предметы (явления, объекты) принадлежат данному множеству, а какие не принадлежат. Иначе говоря, всякое множество однозначно определяется своими элементами. Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия: Должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности. Должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга. (Это, в частности, означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов).

Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, . , M, K, . . Если множество A состоит из элементов a, b, c, . , это обозначается с помощью фигурных скобок: A = {a, b, c, .}. Если a есть элемент множества A , то это записывают следующим образом: aA. Если же a не является элементом множества A , то пишут aA. Существует также специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом . Пустое множество является частью любого множества. 1.2. Способы задания множеств Для того, чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат (или могут принадлежать). Это можно сделать различными способами: перечислением элементов: M = {m1 ,m2 , . , m }; характеристическим условием (свойством): M = {x P(x)}; порождающим правилом: M = {x x = f( )}; Первый способ полностью описывает множество. Однако он применим только для конечных (а, вообще говоря, для конечно обозримых множеств). При задании множеств перечислением обозначения элементов обычно заключают в фигурные скобки и разделяют запятыми. В этом случае считается несущественным порядок перечисляемых элементов. Пример. Задание множества первых пяти нечетных натуральных чисел перечислением элементов: M = {1, 3, 5, 7, 9}. Второй способ позволяет определить принадлежность элемента x множеству M и, поэтому, пригоден для описания не только конечных, но и бесконечных множеств. Характеристическое условие обычно задается в форме логического утверждения, которое может выражаться словами, математическими уравнениями, неравенствами. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в противном случае не принадлежит. Характеристическое условие может состоять из нескольких условий: в таком случае в записи могут использоваться следующие знаки: ●  - равносильно “и”; ● V – равносильно “или”; ●  - квантор всеобщности; ●  - квантор существования. Задание множеств их характеристическим свойством иногда приводит к осложнениям. Может случиться, что два различных характеристических свойства задают одно и то же множество, т. е. всякий элемент, обладающий одним свойством, обладает и другим, и обратно. Пример. Элемент x множества М есть целое число, квадрат которого меньше нуля. M = {x xZ  x2 &l ; 0}. Третий способ задания множества сводится к построению конкретных представителей как конечных, так и бесконечных множеств. Порождающее правило описывает способ построения объектов, которые являются элементами определяемого множества. Пример. Зададим два множества перечислением: M1 := {1,2}; M2 := {1}. Зададим множество M3 правилом построения его элементов: M3 := {x x = (x1,x2), x1M1, x2M2}. Правило читается следующим образом: Для того, чтобы построить элемент множества M3, надо взять один объект из множества M1, второй объект из множества M2 и составить из них упорядоченную пару (часто говорят кортеж длины 2). Руководствуясь этим правилом, можно построить каждый элемент множества M3: (1,1), (2,1).

Казалось бы, интуитивно и здесь нет ничего неясного. Если есть некоторая совокупность, рассматриваемая как множество, то любая ее часть и будет являться подмножеством. Так, например, совокупность квартир на первом этаже жилого дома есть ничто иное, как подмножество рассматриваемого нами примера. Ситуация становится не столь тривиальной, если рассматривать множество абстрактных понятий, таких как сущность или класс. Для обозначения подмножества используется специальный символ. Если утверждается, что множество А является подмножеством множества В, то это записывается как Аа В. Запоминать подобные значки не всегда удобно, поэтому со временем была предложена специальная система графических обозначений. Как же используются диаграммы Венна в теории множеств? Оказывается, тот факт, что некоторая совокупность элементов образует множество, можно обозначить графически в виде круга. В этом случае окружность имеет содержательный смысл или, выражаясь более точным языком, семантику границы данного множества. Очевидно, что рассмотрение отношения включения элементов одного множества в другое можно изобразить графически следующим образом (рис. 2.1)

1. Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов

2. Методика преподавание темы Обыкновенные дроби в школьном курсе математики

3. Физическое совершенство как основное понятие теории физической культуры

4. Случайные величины и способы их описания. Основные понятия теории вероятности, применяемые при испытаниях РЭСИ

5. Формирование основных понятий о высокомолекулярных веществах в курсе средней школы с экологической составляющей

6. Формирование понятия "фермент" в курсе биологии и связь с школьным курсом химии
7. Понятие величины и её измерения в начальном курсе математики
8. Основные понятия и категории экономической теории, их место в системе производственных отношений

9. Основные понятия алгебры множеств

10. Основные понятия, определения и законы в теории электрических цепей

11. Основные понятия экономической теории

12. Г. Вельфлин. Основные понятия истории искусства

13. Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)

14. Конспект по статистике (основные понятия)

15. Научные основы школьного курса химии. методика изучения растворов

16. Билеты по физике за весь школьный курс

Подставка для колец "Единорог", арт. 62243.
Регулярно удалять пыль сухой, мягкой тканью. Материал: металл (сплав цинка, с покрытием из серебра 0,7 микрон). Товар не подлежит
365 руб
Раздел: Подставки для украшений
Набор для проведения опытов по очистке воды "Юный ученый".
Самый лучший способ познания окружающего мира – увидеть все собственными глазами. Набор для проведения опытов по очистке воды «Юный
403 руб
Раздел: Химические опыты
Держатель для пропуска "DELUXE PRO".
Элегантный держатель для горизонтального вертикального пропуска из прозрачного акрила с рулеткой (вытягивается на 80 см). Оригинальный
516 руб
Раздел: Бейджи, держатели, этикетки

17. Шпаргалка по философии (Основные понятия. 4 страницы формата А4)

18. Основные понятия тетриметрии

19. Основные понятия информатики

20. Культура: основные понятия и определения

21. Изучение функций в курсе математики VII-VIII классов

22. Методика обучения по курсу математики за 3 года
23. Методика обучения математике как учебный предмет. Принципы построения курса математики в начальной школе.
24. Корпоративное управление: основные понятия и результаты исследования российской практики

25. Основные понятия и проблематика управления инновационными процессами

26. Естествознание: основные понятия

27. Дискуссия о школьном курсе «Основы православной культуры» как духовный портрет современного российского общества

28. Курс математики в средней школе и методика преподавания

29. Методические приемы по систематизации и обобщению знаний при изучении структуры биополимеров в школьном курсе химии

30. Методические приемы по систематизации и обобщению знаний при изучении структуры биополимеров в школьном курсе химии

31. Семейная терапия по Хеллингеру: основные понятия

32. Свобода и независимость как основные понятия экзистенциального мировоззрения

Настольная композиция "Сад Дзен", 35x15x3 см.
Настольная композиция "Сад Дзен" станет необычным подарком для ценителей "заморской" Японской культуры. Время
1086 руб
Раздел: Антистрессы
Багетная рама "Beatrice" (темно-коричневый), 40х50 см.
Багетные рамы предназначены для оформления картин, вышивок и фотографий. Оформленное изделие всегда становится более выразительным и
633 руб
Раздел: Размер 40x50
Разъемная форма для выпечки "Webber" BE-4267N.
Форма для выпечки разъемная из углеродистой стали. Высококачественное антипригарное покрытие. Подходит для приготовления пищи с
303 руб
Раздел: Формы и формочки для выпечки

33. Социализация. Основные этапы. Теории социализации

34. Структура школьного курса экономики и методика его преподавания

35. Основные понятия в интернет-рекламе

36. Основные понятия социологии труда

37. Социальные институты. Основные понятия

38. Развитие общества. Основные понятия
39. Основные понятия и категории социально-национальной статистики
40. Основные понятия технологии приборостроения

41. Формирование основных понятий вращательного движения в средней школе

42. Конверсия основных положении теории спортивной подготовки в процессе физического воспитания

43. Философия. Основные понятия

44. Экологическая оценка: основные понятия и принципы

45. Макроэкономика. Основные понятия

46. Основные понятия недвижимости

47. Основные понятия собственности, ее виды

48. Словарь основных понятий

Комплект постельного белья 1,5-спальный "Мармелад. Спящая собака" (с наволочкой 70х70 см).
"Мармелад" — качественное постельное белье для детей от 4 до 12 лет, которое помогает родителям создать уютную атмосферу детской
1229 руб
Раздел: Детское, подростковое
Бумага акварельная в листах А3, 200 листов.
Нарезанные листы бумаги для акварели. Формат: А3. Количество листов: 200. Плотность: 180 г/м2. Размеры: 297х420 мм. Отсутствует красочная
1453 руб
Раздел: Папки для акварелей, рисования
Мягкая магнитная мозаика "Забавные животные", 4+, 5 цветов.
Мягкие бархатистые детальки пяти ярких цветов и разнообразных форм и размеров с обратной стороны снабжены плоским магнитным слоем. В
303 руб
Раздел: Магнитная

49. Основные проблемы теории морали

50. Производственный травматизм и профессиональные заболевания: основные понятия и определения

51. Элементарное мышление, или рассудочная деятельность, животных: основные понятия и методы изучения

52. Основные направления теории денег

53. Основные понятия для работы в internet

54. Аксиоматическое построение основных уравнений теории реального электромагнитного поля
55. 26 основных понятий политического анализа
56. Экзаменационные билета по Научным Основам Школьного Курса (НОШК)

57. Проблема развития мышления. Основные психологические теории

58. Основные понятие и термины, применяемые в страховании

59. Основные понятия страхового права

60. Основные понятия страхования

61. Основные понятия в терминологии БЖД

62. Основные понятия анатомии и физиологии человека

63. Основные понятия лесной фитоценологии и биогеоценологии

64. Основные понятия современного естествознания

Дождевик Bambola для колясок, маленький.
Тент защитный (дождевик) с окном на липучке, на детскую коляску - "трость". Состав: пленка ПВХ. Размер: 70х65х35 см.
354 руб
Раздел: Дождевики, чехлы для колясок
Контейнер "Клиер", 15 литров.
Контейнер "Клиер". Материал: пластик. Объем: 15 литров. Длина: 42 см. Ширина: 28 см. Высота: 20 см.
374 руб
Раздел: Штучно
Пепельница S.Quire круглая, сталь, 110 мм.
Металлическая круглая пепельница S.QUIRE станет хорошим подарком курящим людям. Глубокий контейнер для пепла снабжен съемной крышкой,
361 руб
Раздел: Пепельницы

65. Гистология: основные понятия

66. Основные понятия глобальной тектоники

67. Объект, предмет и основные понятия психологии правозащитной деятельности

68. Основные понятия гражданского права РФ

69. Основные понятия европейского права

70. Основные понятия и функции государства и права
71. Основные понятия наследственного права
72. Основные понятия рецидивной преступности

73. Уголовный процесс и его основные понятия

74. Основные понятия культуры речи

75. Основные понятия фонетики

76. Основные понятия и планирование эксперимента

77. Основные понятия и результаты кибернетики

78. Основные понятия компьютерной графики

79. Основные положения теории "русского социализма" А.И.Герцена

80. Основные понятия, предмет культурологии

Одежда для куклы 42 см (теплый комбинезон).
Куклы тоже любят менять наряды! И для них создается стильная и модная одежда, похожая на одежду для настоящих малышей. Этот теплый
316 руб
Раздел: Для кукол от 25 см
Карандаши ECO, 12 цветов, трёхгранные + точилка.
374 руб
Раздел: 7-12 цветов
Каталка детская Bradex "Движение" (цвет: розовый).
У Вас очень активный ребенок? Только недавно исполнился годик, а он уже требует ролики, самокат и велосипед, как у взрослых товарищей?
2918 руб
Раздел: Каталки

81. Основные понятия рекламного менеджмента

82. Основные понятия франчайзинга и мерчендайзинга

83. Изучение функций в курсе математики

84. Основные понятия математического анализа

85. Основные понятия о молекулярной биохимической генетике

86. Основные научные теории отношения руководителя к персоналу
87. Основные понятия и элементы систем управления
88. Основные понятия управления

89. Содержание, основные понятия инвестиционной и инновационной деятельности предприятия

90. Методика изучения кристаллогидратов в школьном курсе химии

91. Методика обучения решению сюжетных задач в курсе математики 5-6 классов

92. Методические особенности введения показательной функции в курсе математики средней школы

93. Методические особенности изучения темы "Корень" в школьном курсе биологии

94. Нумерация многозначных чисел в начальном курсе математики

95. Преподавание сонета в школьном курсе литературы

96. Теоретические методы познания в школьном курсе физики

Рюкзак для школы и офиса "SpeedWay 2", 46x32x19 см, серо-оранжевый.
Рюкзак для школы и офиса с отделением для ноутбука с диагональю до 15,6”. 3 больших отделения. 1 передний карман для мелких предметов. 2
1092 руб
Раздел: Без наполнения
Кружка-поильник Happy Baby "Drinking cup" (blue), 360 мл.
Кружка-поильник идеально подходит для детишек, которые учатся пить из чашек и стаканов. Особенности: - специальная крышка предотвращает
359 руб
Раздел: Поильники, непроливайки
Чайник со свистком из нержавеющей стали "Mayer & Boch", 2 л.
Корпус чайника выполнен из высококачественной нержавеющей стали, что обеспечивает долговечность использования. Корпус с зеркальной
695 руб
Раздел: Чайники из нержавеющей стали

97. Метрология. Основные понятия.

98. Основные понятия психологии

99. Основные психологические теории личности

100. Предмет и основные понятия истории религии


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.