Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Применение тройных и кратных интегралов

Совок №5.
Длина совка: 22 см. Цвет в ассортименте, без возможности выбора.
18 руб
Раздел: Совки
Чашка "Неваляшка".
Ваши дети во время приёма пищи вечно проливают что-то на ковёр и пол, пачкают руки, а Вы потом тратите уйму времени на выведение пятен с
222 руб
Раздел: Тарелки
Мыло металлическое "Ликвидатор".
Мыло для рук «Ликвидатор» уничтожает стойкие и трудно выводимые запахи за счёт особой реакции металла с вызывающими их элементами.
197 руб
Раздел: Ванная

Министерство общего и профессионального образования Р.Ф. Иркутский государственный технический университет. Кафедра высшей математики. Реферат. Применение тройных или кратных интегралов. Выполнила: студентка группы ТЭ-97-1 Мелкоступова С.С. Проверил преподаватель кафедры высшей математики Седых Е.И. Иркутск 1998. Содержание. I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл. II. Вычисление тройных интегралов. 1. Декартовы координаты. А) Пример. 2. Цилиндрические координаты. 3. Сферические координаты. А) Пример. 4. Применение тройных интегралов. I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл. Рассмотрим тело, занимающее пространственную область (рис. 1), и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела: Рис. 1. Разобьем тело произвольным образом на частей; объемы этих частей обозначим Выберем затем в каждой части по произвольной точке Полагая, что в, каждой частичной области плотность постоянна и равна ее значению в точке , мы получим приближенное выражение для массы всего тела в виде суммы и каждое частичное тело стягивается в точку (т. е. что его диаметр ) стремится к нулю), и даст массу М тела Сумма ( ) называется -й интегральной суммой, а ее предел - тройным интегралом от функции . К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл - произвольная непрерывная в области функция. Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формулируется и теорема существования тройного интеграла . Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что если подынтегральная функция тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает объем V области Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом. V 1. Если функция удовлетворяет неравенствам . VI 1. Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е. II. Вычисление тройных интегралов. Вычисление тройного интеграла может быть осуществлено посредством ряда последовательных интегрировании. Мы ограничимся описанием соответствующих правил. 1. Декартовы координаты. Пусть дан тройной интеграл от функции отнесена к системе декартовых координат Oxyz, Разобьем область интегрирования и плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда частичными областями будут параллелепипеды с гранями, параллельными плоскостям Оху, Охz, Оуz. Элемент объема .будет равен, произведению дифференциалов переменных интегрирования Установим теперь правило для вычисления такого интеграла. Будем считать, что область интегрирования имеет вид, изображенный на рис. 1). Опишем около и цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной к плоскости Оху. Она касается области вдоль некоторой линии L, которая делит поверхность, ограничивающую область, на две части: верхнюю и нижнюю. Уравнением нижней поверхности пусть будет . Построенная цилиндрическая поверхность высекает из плоскости Оху плоскую область D, которая является ортогональной проекцией пространственной области на плоскость Оху, при этом линия L проектируется в границу области .

Будем производить интегрирование сначала по Направлению оси Оz. Для этого функция отрезку прямой, параллельной оси Оz и проходящей через некоторую точку Р(х, у) области D (на рис. 1 отрезок ). При данных х и у переменная интегрирования z будет изменяться от ) прямой в область ) прямой из области . Результат интегрирования представляет собой величину, зависящую от точки Р (х, у); обозначим ее через F(х, у): При интегрировании х и у рассматриваются здесь как постоянные. Мы получим значение искомого тройного интеграла, если возьмем интеграл от функции F(х, у) при условии, что точка Р(х, у) изменяется по области D, т. е. если возьмем двойной интеграл Таким образом, тройной интеграл I может быть представлен в виде Приводя, далее, двойной интеграл по области D к повторному и интегрируя сначала по y, а затем по x, получим - ординаты точек «входа» в область D и «выхода» из нее прямой (в плоскости Оху), а a и b - абсциссы конечных точек интервала оси Ох, на который проектируется область D. Мы видим, что вычисление тройного интеграла по области производится, посредством трех последовательных интегрировании. Формула ( ) сохраняется и для областей, имеющих цилиндрическую форму, т. е. ограниченных цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz, а снизу и сверху поверхностями, уравнения которых соответственно Рис.2 Если областью интегрирования служит внутренность параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 3), то пределы интегрирования постоянны во всех трех .интегралах : В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке, пределы интегрирования будут при этом сохраняться. Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной. Рис.3 Рис.4 где - область, ограниченная координатными плоскостями (пирамида, изображённая на рис.4). Интегрирование по z совершается от z=0 до на плоскость Oxy через D, получим Расставим теперь пределы интегрирования по области D - треугольнику, уравнения сторон которого 2. Цилиндрические координаты. Отнесём область , в которой положение точки M в пространстве определяется полярными координатами ее проекции Р на плоскость Oxy и ее аппликатой (z). Выбирая взаимное расположение осей координат, как указано на рис. 5, установим связь, между декартовыми и цилиндрическими координатами точки М, именно: на частичные области тремя системами координатных поверхностей: которыми будут соответственно круговые цилиндрические поверхности, осью которых является ось Оz, полуплоскости, проходящие через ось Оz, и плоскости, параллельные плоскости Оху. Частичными областями служат прямые цилиндры M (рис. 5). Так как объем цилиндра M равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражение к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобразованию двойного интеграла к полярным. Для этого нужно в выражении подынтегральной функции переменные x, y, z заменить по формулам ( ) и взять элемент объёма равным то интеграл выражает объём V области Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к интегрированиям по r, по и по z на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат.

В частности, если областью интегрирования служит внутренность цилиндра то пределы трехкратного интеграла постоянны и не меняются при перемене порядка интегрирования: 3. Сферические координаты. Отнесём теперь область интегрирования . В этой системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием r от начала координат (длина радиуса-вектора точки), углом между радиусом-вектором точки и осью Oz и углом между проекцией радиуса вектора точки на плоскость Oxy и осью Ox (рис. 6). При этом - от 0 до Рис.6 Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается. Из рис.6 имеем на частичные области , тремя системами координатных поверхностей: соответственно сферы с центром в начале координат, полуплоскости, проходящие, через ось Оz, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпадающими с одной из полуосей Оz. Частичными областями служат «шестигранники» (рис. 7). Отбросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник M как прямоугольный параллелепипед с измерениями, равными: по направлению меридиана, по направлению параллели. Для элемента объема мы получим тогда выражение по формулам ( ) и взяв элемент объема равным полученному выражению, будем иметь Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование - шар с центром в начале координат или шаровое кольцо. Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара , пределы интегрирования следует расставить так: A) Пример. Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим Применение тройных интегралов. Для вычисления координат центра тяжести тела нужны статические моменты относительно координатных плоскостей Оху, Охz, Оуz; обозначим их соответственно Повторяя рассуждения получим следующие формулы для координат центра тяжести неоднородного тела, плотность которого задается функцией Если тело однородно, т. е. где V- объём тела. Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара равны нулю, ибо полушар симметричен относительно оси Оz (тело вращения с осью Оz). Интеграл удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам: Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей. Так как квадраты расстояний от точки P(x, y, z) до осей Ox, Oy, Oz соответственно равны получим следующие формулы : называются центробежными моментами инерции. Для полярного момента инерции формула имеет вид Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеграла будет находиться дополнительный множитель - плотность тела в точке P. Пример. Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса R. В этом случае очень удобно перейти к сферическим координатам. Будем иметь где М—масса шара. Так как для сферы моменты инерции относительно осей координат, очевидно, равны между собой, то, учитывая, что Моменты инерции тела относительно оси играют важную роль при вычислении кинетической энергии тела при его вращении около соответствующей оси. Пусть тело вращается около оси Оz с постоянной угловой скоростью тела. Как известно, кинетическая энергия точки измеряется величиной - величина ее скорости.

По числу электронных пар, участвующих в образовании данной химической связи, различают простые (одинарные), двойные, тройные химические связи, по симметрии электронного распределения - и -связи, по числу непосредственно взаимодействующих атомов - двух-, трех- и многоцентровые. ХИМИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ - наука о методах и средствах рациональной химической переработки сырья, полуфабрикатов и промышленных отходов. Неорганическая химическая технология включает переработку минерального сырья (кроме металлических руд), получение кислот, щелочей, минеральных удобрений; органическая химическая технология - переработку нефти, угля, природного газа и др. горючих ископаемых, получение синтетических полимеров, красителей, лекарственных средств и др. Теоретические основы химической технологии - химия, физика, механика, математика (в частности, математическое моделирование). Современная химическая технология характеризуется созданием агрегатов большой единичной мощности, освоением процессов, в которых используются сверхвысокие и сверхнизкие температуры и давления, применением высокоэффективных катализаторов, получением веществ с необычными ценными свойствами (сверхчистых и сверхтвердых, жаростойких и жаропрочных и др.)

1. Применение технического анализа на фондовом рынке

2. Интерференционное туннелирование полей волн произвольной физической природы и перспективы его технических применений

3. Применение технических средств наблюдения для контроля территории

4. Применение технического анализа для прогнозирования рыночной стоимости и рисков ценной бумаги

5. Тройные и кратные интегралы

6. Кратные интегралы
7. Технический анализ и его применение на примере данных полученных с Московской фондовой биржи
8. Научно-технические проблемы применения оптического излучения в сельскохозяйственном производстве

9. Классификация технических средств охраны, их основные тактико-технические характеристики и области применения

10. Применение инструментария технического анализа на FOREX при развороте тренда

11. Капитальный ремонт пути на щебеночном балласте с укладкой железобетонных шпал с применением машин тяжелого типа

12. Применение фильтра Калмана в задаче идентификации отказов двигателей стабилизации космического аппарата

13. Применение лазеров в военном деле

14. Зажигательные смеси, состав, средства применения и доставки, вызываемые повреждения, методы лечения и защиты

15. Характеристика современных средств поражения и последствия их применения

16. Механизм применения антимонопольных законов

Настольная семейная игра "Ловушка для пингвина".
Настольная игра "Ловушка для пингвина" - это еще один повод собрать всю семью за одним столом. Игра состоит в том, чтобы
435 руб
Раздел: Игры на ловкость
Качели детские деревянные "Волна".
Качели можно использовать как на улице, так и в помещении. Нейлоновые веревки крепятся с помощью удобных колец и с легкостью выдерживают
313 руб
Раздел: Качели, кресла-качалки, шезлонги
Соковарка "Webber" ВЕ-06.
Дно состоит из трех слоев. Материал: нержавеющая сталь. Подходит под любую кухонную плиту. Кастрюля для воды: 20х11 см, объем 3,5
1970 руб
Раздел: Скороварки, пароварки, мантоварки

17. Применение норм права

18. Дисциплинарная ответственность. Применение дисциплинарного взыскания

19. Проект учета пользовательских счетов для интернет-провайдеров на базе OS FreeBSD с применением программы "Billing ISP"

20. Определение эффективности применения информационной технологии

21. Применение ЭВМ в управлении производством

22. Организация и применение микропроцессорных систем обработки данных и управления
23. Вычисление определённых интегралов
24. Криптология: подстановочно-перестановочный шифр и его применение

25. Применение компьютера в туристической деятельности

26. Применение метода частотных диаграмм к исследованиям устойчивости систем с логическими алгоритмами управления

27. Теория графов и её применение

28. Вычисление интегралов методом Монте-Карло

29. Вычисление двойных интегралов методом ячеек

30. Шифросистемы с открытым ключом. Их возможности и применение.

31. Применение фильтра Калмана в задаче идентификации отказов двигателей стабилизации космического аппарата

32. ПРИМЕНЕНИЕ "ПУЛЬМОСАНА – 2" ПРИ ЛЕЧЕНИИ ТЕЛЯТ БОЛЬНЫХ БРОНХОПНЕВМОНИЕЙ ( ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА )

Подвесные качели "Тарзанка".
Данные подвесные качели от торговой марки ZebraToys представляют собой не традиционное изделие для катания, а яркую тарзанку. Небольшая
317 руб
Раздел: Качели
Велосипед трехколесный.
Велосипед трехколесный (пластмассовые колеса, с широкой шинкой, без кузова, без передней панели, без гудка). Велосипед рассчитан для детей
935 руб
Раздел: Трехколесные
Магнитная мозаика "Техника".
Количество элементов различной формы - 235 штук. Дополнительных элементов - 15 штук. Количество цветов - 5. Игровое поле - 1. Средний
494 руб
Раздел: Магнитная

33. Применение электроники и биомеханики при протезировании

34. Дезинфицирующие препараты и их применение в хирургии

35. Применение ультразвука в медицине

36. Применение психологических знаний в процессе оперативно - розыскной деятельности

37. Применение милицией физической силы, спецсредств и огнестрельного оружия

38. Применение судами условного осуждения
39. Исследование аспектов применения атомной энергии для решения проблем энергоснабжения районов Крайнего Севера
40. Основополагающие принципы андрагогической модели обучения: Оптимальные условия их применения

41. Обучение младших школьников с применением компьютерной поддержки

42. Арсенид индия. Свойства, применение. Особенности получения эпитаксиальных пленок

43. Применение УВМ при автоматизации сортовых прокатов

44. Кулисный механизм. Практическое применение

45. Устройства дорожной одежды с применением золоминеральной смеси

46. Моделирование процессов функционирования технологических жидкостей в системе их применения

47. Гальванотехника и ее применение в микроэлектронике

48. Проект восстановления коленчатого вала ЗИЛ 130 с применением ультразвукового упрочнения

Глобус с подсветкой "Физико-политический", 320 мм.
Невероятно удобный физико-политический глобус с подсветкой отлично подойдет и для домашнего пользования, и как учебный инвентарь в школах.
1068 руб
Раздел: Глобусы
Папка для чертежей "Городская площадь", А3.
Папка для чертежей и рисунков, с ручками. Формат: А3. Материал: пластик. Застежка: на молнии.
441 руб
Раздел: Папки-портфели, папки с наполнением
Планшетик "Всё обо всём".
Ваш малыш любит умные игры-викторины? Тогда этот планшетик для него! 200 вопросов, 20 разнообразных тем, 3 уровня сложности ждут
432 руб
Раздел: Планшеты и компьютеры

49. Применение гетеропереходов в оптоэлектронике

50. Промышленное применение лазеров

51. Структура и программирование ПЛИС фирмы Altera в САПР Quartus II, её применение в лабораторном стенде

52. Применение материалов Аэрофотосъемки при инвентаризации лесов

53. Агрохимия и система применения удобрений

54. Разработка научно обоснованной системы применения удобрений для полевого севооборота Прикубанского района учхоза Кубань
55. Предмет экономической социологии как отрасли социологии. Метод социометрических измерений. Сущность и область применения
56. Лазеры, их применение

57. Результаты экспериментальной оценки эффективности применения баллиститного ракетного топлива в качестве сенсибилизаторов в эмульсионных ВВ

58. Назначение и область применения лазеров

59. Двигатели Стирлинга. Области применения

60. Спектры. Спектральный анализ и его применение

61. Ультразвук и его применение

62. Тепловые двигатели и их применение

63. Применение анаболичемких стероидов

64. Методологическое и логическое основания применения системно-философского подхода к изучению конкретных систем различной природы

Доска магнитно-маркерная, 60x90 см, алюминиевая рамка, полочка.
Доска магнитно-маркерная 60*90 см. Лакированная поверхность для письма сухостираемыми маркерами и прикрепления информации магнитами или
1393 руб
Раздел: Доски магнитно-маркерные
Шезлонг детский "Веселый динозаврик".
В кресле-шезлонге вашему ребенку будет одинаково удобно и кушать, и спать, и бодрствовать. Что бы вы ни делали — работу по дому,
2009 руб
Раздел: Качели, кресла-качалки, шезлонги
Пазл "Животные Сибири и Дальнего Востока", 55 деталей.
Новый увлекательный пазл от Larsen Животные Сибири и Дальнего Востока обязательно понравится детям и познакомит их с обитателями разных
548 руб
Раздел: Пазлы в рамке

65. Применение алкенов и алкодиенов

66. Получение и применение кальция и его соединений

67. Применение топлив, смазочных материалов и специальных жидкостей

68. Получение алканов, алкенов, алкинов. Важнейшие представители. Применение в промышленности

69. Инертные газы: история открытия, свойства, применение

70. Применение химических веществ группы углеводов в росписи тканей
71. Свойства, применение и получение полиметилметакрилата
72. Кислород. Его свойства и применение

73. Перспективы развития и применения нанотехнологий. углеродные нанотрубки – революция в сфере технологии наночастиц

74. Применение экспресс-анализаторов АН-7560, АН-7529 и АС-7932 в аналитической химии

75. Применение аккредитивной формы расчетов во внутреннем и международном оборотах

76. Применение компьютерных технологий в бухгалтерском учете

77. Организация контроля за соблюдением государственной дисциплины цен. Виды маркетинговых стратегий ценообразования, условия их применения (Контрольная)

78. Экономическая целесообразность применения фотоэпиляции в салонах красоты различного класса

79. Назначение, область применения и содержание стандарта ГОСТ Р ИСО 9004-2001

80. Разработка стратегии выхода на рынок ЗАО “ДАРМА” с применением программы имитационного моделирования Project Expert

Письменные принадлежности "Набор первоклассника", 28 предметов.
В наборе: акварель, альбом для рисования, блокнот, доска для лепки, 2 карандаша чернографитных, карандаши цветные, картон цветной формата
688 руб
Раздел: Наборы канцелярские
Игра магнитная "Одевашки. Лиза".
Это магнитная история про то, как одеть куклу Лизу. Она простая, но при этом очень увлекательная и не вызовет сложности у ребенка старше
343 руб
Раздел: Бумажные куклы
Прыгунки "три в одном" (прыгунки - тарзанка - качели).
Это базовая модель прыгунков. Амортизатор пружинный, крепление в одной точке. О детских прыгунках: К пяти месяцам ребенок уже очень
710 руб
Раздел: Прыгунки, вожжи

81. Задача квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений и ее применение при формировании портфеля ценных бумаг

82. Основы социально-экономического планирования: сущность, анализ, области применения

83. Установление цены с применением нормативно-параметрических методов

84. О возможности применения статистического анализа к источникам личного происхождения

85. История применения активно - реактивной схемы в противотанковых гранатометах

86. Особенности конструктивного исполнения и функционального применения персональных ЭВМ
87. Электронный учебник с применением мультимедийных технологий
88. Зарубежный опыт борьбы с организованной преступностью и возможность его применения в современных условиях в РФ

89. Применение правила "Золотого сечения" при исследовании журналистского текста

90. Применение метода кластерного анализа при формировании ассортимента

91. Метод Монте-Карло и его применение

92. Применение теоремы Эйлера к некоторым задачам

93. Свойства интегралов

94. Алгебра Дж. Буля и ее применение в теории и практике информатики

95. О некоторых применениях алгебры матриц

96. Практическое применение производной

Светильник "Плазма №4".
Размер светильника: 19х11х11 см. Диаметр лампы - 9 см. Плазменный светильник в виде шара на подставке, при включении создаёт внутри
1078 руб
Раздел: Необычные светильники
Доска Mikado для обработки рыбы, складная с рыбочисткой.
Пластиковая складывающаяся доска для чистки и филировки рыбы, в комплекте, скребок для снятия рыбной чешуи. Размеры: 48x15/25 см.
827 руб
Раздел: Пластиковые
Чехол-органайзер для спинки авто "Happy Baby".
Чехол-органайзер – аксессуар, просто незаменимый во время поездок на автомобиле, благодаря множеству вместительных карманов. Помимо
699 руб
Раздел: Прочее

97. Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции

98. Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

99. * Алгебры и их применение

100. Жидкие кристаллы, история открытия жидких кристаллов, структура, типы и их применение


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.