Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Дзета-функция Римана

Чашка "Неваляшка".
Ваши дети во время приёма пищи вечно проливают что-то на ковёр и пол, пачкают руки, а Вы потом тратите уйму времени на выведение пятен с
222 руб
Раздел: Тарелки
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный.
Оригинальный светильник-ночник-проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фанариков); 2) Три
350 руб
Раздел: Ночники
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка

Дзета-функция Римана Курсовая работа Выполнил студент 2го курса ФМФ группы «Б» Симонян Сергей Олегович Ставропольский Государственный университет Кафедра математического анализа Ставрополь, 2004 г. Введение. Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучных дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивное представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний пополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная, степенная, показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда добавляются интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета-функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие. Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует. Это понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако, под функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-то множества X ставится в соответствие один или несколько элементов множества Y. Элементы множества X называются аргументами, а множества Y – значениями функции. Если каждому аргументу соответствует одно значение, функция называется однозначной, если более одного – то многозначной. Синонимом функции является термин «отображение». В простейшем случае множество X  может быть подмножеством поля действительных R или комплексных C чисел. Тогда функция называется числовой. Нам будут встречаться только такие отображения. Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным, графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем рассматривать в этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она может быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней наук. Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющей широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великий швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства. Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик Бернгард Риман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовал несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них он распространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл её аналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньших заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участием функции  и высказал свою гипотезу о нулях дзета-функции, над доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются лучшие умы человечества уже почти 150 лет.  Научная общественность считала и считает решение этой проблемы одной из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной Парижской математической конференции 1900 году с подведением итогов развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в список 23 проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных продвинуть науку далеко вперёд.

А на рубеже веков, в 2000 году американский he Clay Ma hema ics I s i u e назвал семь задач, за решение каждой из которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала гипотеза Римана. Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет и интересным, и полезным. Глава 1. Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в вещественной области, исходя из её определения с помощью ряда. Определение. Дзета-функцией Римана ζ(s) называют функцию, которая любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда                   если она существует. Основной характеристикой любой функции является область определения. Найдём её для нашей функции. Пусть сначала s≤0, тогда s=− , где принадлежит множеству неотрицательных действительных чисел R {0}. В этом случае  и ряд (1) обращается в ряд , который, очевидно, расходится как при >0, так и при =0. То есть значения s≤0 не входят в область определения функции. Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию , где , которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонно убывающей. Возникает три различных возможности: 01. Перепишем ряд (1) в виде . Как было выше показано, ряд  сходится, а функции  при s>s0 монотонно убывают и все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s0 ряд (1) сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в любой точке s>s0 дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s0 ζ(s) непрерывна на всей области определения. Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально, найдём производную дзета-функции Римана:                                                   Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд (2) равномерно сходится на промежутке  и воспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s0>1 и представим ряд (2) в виде  для s>s0. Множители , начиная с =2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом l 2. Поэтому по признаку Абеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и при любом s>1. Какое бы значение s>1 ни взять его можно заключить между  и , где , а ; к промежутку  применима вышеуказанная теорема. Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов: . Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки s=1. В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем . При =1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому . Чтобы исследовать случай , докажем некоторые вспомогательные оценки.  Во-первых, известно, что если для ряда  существует непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция , определённая на множестве , такая, что , и имеет первообразную , то остаток ряда  оценивается   так: , где .

 Применяя  вышесказанное   к   ряду   (1),   найдём,  что   необходимая  функция , а  и . Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем (3). В левом неравенстве положим =0, тогда , то есть . В правом же возьмём =1 и получим , далее ,  и, наконец, . Переходя в неравенствах  к пределу при , находим . Отсюда, в частности, следует, что . Действительно, положим . Тогда , то есть  . Поэтому . Из того, что , а , вытекает доказываемое утверждение.   Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше, принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном равенства . Прибавим ко всем частям неравенств (3) сумму  и вычтем . Имеем . Пусть здесь s стремится к единице. По правилу Лопиталя легко вычислить  и . Мы пока не знаем, существует ли предел выражения  при , поэтому, воспользовавшись наибольшим и наименьшим пределами, напишем неравенства так: . Ввиду произвольности возьмём . Первое и последнее выражения стремятся к эйлеровой постоянной C (C0,577). Значит , а, следовательно, существует и обычный предел и .  Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определим значения , где k – натуральное число. Возьмём известное разложение , где  - знаменитые числа Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое  в левую часть равенства. Слева получаем  c h, а в правой части - , то есть c h. Заменяем  на , получаем c h. С другой стороны, существует равенство c h, из которого c h. Подстановкой  вместо  находим c h . Если , то для любого   и по теореме о сложении бесконечного множества степенных рядов c h .      Приравняем полученные разложения:    , следовательно . Отсюда немедленно следует искомая формула   где  - k-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.     Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей области определения. Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже принимают за определение: , где pi – i-е простое число                                             (4). Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство  Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим заданного натурального числа , то получившееся частичное произведение окажется равным   , где    символ        означает,     что    суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа меньшие . Так как первые натуральных чисел этим свойством обладают, то (5). Сумма  содержит не все числа, большие 1, поэтому, очевидно, .

Бейкер (1966) получил оценку снизу линейной формы логарифмов алгебраических чисел, что привело к эффективному доказательству теоремы Туэ о конечности решений уравнения a0 xn + a1 xn ¾1 y +... + an—1 xy n—1 + ап уn = А (указываются границы этих решений) и к эффективному усилению теоремы Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями. Большое количество проблем Ч. т. ещё не решено (сюда относятся проблемы простых близнецов, бесконечности простых чисел вида n 2 + 1, целых точек в круге и под гиперболой, распределения нулей дзета-функции, трансцендентность чисел p+е и постоянной Эйлера и мн. др.).   Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; его же, Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; его же, Особые варианты метода тригонометрических сумм, М., 1976; Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975; Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971; Чандрасекхаран К., Введение в аналитическую теорию чисел, пер. с англ., М., 1974; Хассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953; Дирихле П. Г. Л., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М.—Л., 1936; Титчмарш Е. К., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., М., 1953; Венков Б. А., Элементарная теория чисел, М.—Л., 1937.   А. А. Карацуба

1. Реферат - Физиология (строение и функции гемоглобина)

2. Полезные функции для работы с файловой системой

3. Архитектура Древнего Рима

4. Зарождение элементов бюджетного учёта в Древнем Риме

5. Деятельность юристов в Древнем Риме

6. Искусство античного Рима
7. Культура Древнего Рима
8. Культура Древнего Рима

9. Культура Рима

10. Ораторское искусство древнего Рима

11. Культура древнего Рима эпохи Октавиана Августа

12. Древний Рим

13. Рим

14. Традиция обедов в Древнем Риме

15. История развития физической культуры в древней Греции и Риме

16. Культура эпохи Античности (Древняя Греция, Рим)

Стерилизатор "Care" для микроволновой печи (на 3 бутылочки).
Стерилизатор Care предназначен для стерилизации детских бутылочек. С помощью данного устройства можно эффективно простерилизовать
1045 руб
Раздел: Стерилизаторы, сушилки
Подставка для ножей овальная, 16x6,5x22 см.
Размеры: 16х6,5х22 см. Материал корпуса: пластик. Внутренняя часть: полипропиленовое волокно. Цвет: бежевый. Предназначена для безопасного
822 руб
Раздел: Подставки для ножей
Форма силиконовая для выпечки "Пряничный домик" (арт. TK 0231).
Вы в восторге от европейских рождественских ярмарок? Хотите, чтобы и в Вашем доме почаще царила атмосфера волшебства? С помощью
503 руб
Раздел: Формы и формочки для выпечки

17. Культура древнего Рима эпохи Октавиана Августа

18. Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)

19. Хозяйственный механизм античного рабства /на примере Древней Греции и Древнего Рима

20. Семья и брак в Древнем Риме

21. Прогулки по Риму

22. Борьба патрициев и плебеев в Древнем Риме. Изгнание Тарквиния Гордого
23. Борьба патрициев и плебеев в Древнем Риме
24. Обстановка жилища в древнем Риме

25. Москва — третий Рим: теория и практика

26. Религия и нравы. Литература, науки, искусство в Древнем Риме

27. Особенности цивилизации Древнего Рима

28. Армения, Рим и Парфяне

29. Древний Рим

30. Изменение политической и социальной структуры Древнего Рима в 1-2 веках н.э.

31. Мифология, архитектура, литература и искусство в Древнем Риме

32. Политические и правовые учения в Древнем Риме

Игрушка "Музыкальная сова".
Музыкальная сова танцует и машет крылышками с мигающими огоньками! А ещё она рассказывает сказки: "Курочка Ряба",
653 руб
Раздел: Животные
Копилка "Яблоко".
Принцип работы: копилка "заглатывает" монетку положенную на "язычок". Присутствуют звуковые эффекты.
368 руб
Раздел: Копилки
Мешок для обуви "Синий", 33х40 см.
Мешок для обуви. Размер: 33х40 см.
315 руб
Раздел: Сумки для обуви

33. Смешанные формы правления в Древнем Риме и Древней Греции

34. Становление римской государственности. Социально-экономическое и политическое развитие царского Рима

35. Система гражданских ценностей Древнего Рима

36. Жизнь древнего Рима: женщины

37. Жизнь древнего Рима: бани

38. Семья в Риме VII-начала VI в. до н.э.
39. Проектирование и строительство собора св. Петра в Риме
40. Похороны в Древнем Риме

41. Изобразительное искусство республиканского Рима

42. Жизнь древнего Рима: погребальные обряды

43. Искусство древнего Рима

44. Живопись Древнего Рима

45. Древний Рим

46. Культура Древнего Рима

47. Кнабе Г.С. "Цицерон и искусство красноречия в Риме"

48. Литература Древнего Рима

Логическая игра "Динозавры.Таинственные острова", арт. SG 282 RU.
Исследуй Юрский период и его динозавров! Это увлекательная форма комбинационной игры, которая бросает Вам вызов. Держите плотоядных
1117 руб
Раздел: Игры логические
Подарочное махровое полотенце "23 февраля. Щит".
Подарочное махровое полотенце. Цвет полотенца и цвет вышивки - в ассортименте! Оригинальная тематическая вышивка на полезном в хозяйстве
316 руб
Раздел: Средние, ширина 31-40 см
Пазл средний "Малышарики", 4 в 1.
Пазл "Малышарики" - напольный пазл для детей. Напольные пазлы способствуют развитию: внимания; мелкой моторики; сенсорных
321 руб
Раздел: Напольные пазлы

49. Риторика и ораторское искусство в античной Греции и древнем Риме

50. Курсовая Работа - Аппроксимация функций

51. Москва - III Рим, а четвертому не бывать

52. Педагогика в Древнем Риме

53. Политическая концепция -- "Москва -- третий Рим"

54. Основные формы правления в Древнем Риме
55. Католический Рим и православный Восток
56. Папство в период гуманизма, реформации и римо-католической реакции XV-XVII веков

57. Мифология Древней Греции и Древнего Рима

58. Рим первых царей: власть и социальное управление

59. Совість Риму - соціо-культурна роль стоїцизму

60. Природа и человек в Древнем Риме

61. Экономическая мысль античности: Древний Рим

62. Судебная система древнего Рима

63. Право собственности в древнем Риме

64. Антична культура: Давній Рим

Пенал, 1 отделение, 20x14x4 см, серый/зеленый.
Пенал школьный с 2 откидными планками, для канцелярских принадлежностей. Размер: 20x14x4 см. Застежка: молния. Количество отделений:
317 руб
Раздел: Без наполнения
Смываемые фломастеры "Супер чисто" с толстым наконечником, 8 штук.
В картонной коробке 8 разноцветных фломастеров. Они выполнены из качественных экологически чистых материалов. Созданные на основе
393 руб
Раздел: 7-12 цветов
Пломба свинцовая 10 мм, упаковка 1 кг.
Рекомендуется использовать совместно с витой проволокой или шпагатом. Устанавливается с помощью пломбиратора. Применение свинцовых пломб
362 руб
Раздел: Прочее

65. Тит Лукрецій Кар, Асклепіад, Авл Корнелій Цельс - видатні учені стародавнього Риму

66. Историческая роль Рима и проблемы современности

67. Военное дело в Древнем Риме

68. Храмовое убранство внеисторического Рима

69. Развитие архитектуры в Древней Греции и Древнем Риме

70. C++: Стандартные библиотечные функции работы с графикой
71. Рим и Православие: проблема авторитета
72. Экономическое и социальное развитие Древнего Рима

73. Государственный строй Рима в период поздней республики и принципата

74. Государство и право Древнего Рима

75. История государства и права Древнего Рима

76. Права на чужие вещи в Древнем Риме и современном праве

77. Право Стародавньої Греції та Риму

78. Семейное право в Древнем Риме

79. Відносини батьків і дітей у Стародавньому Римі

80. Языкознание древней Греции и Рима

Точилка механическая "KW-trio".
Механическая точилка. Пластиковый корпус. Размер: 95x65x100 мм. Расцветка представлена в ассортименте, без возможности выбора.
482 руб
Раздел: Точилки
Стиральный порошок "Molecola" для белого белья и цветного детского белья, экологичный, 1,2.
Экологичный стиральный порошок для детского белья ТМ Molecola является безопасным как для детей с первых дней жизни, так и для окружающей
357 руб
Раздел: Для стирки детских вещей
Набор цветных карандашей "Noris Club", 24 цвета.
Детские цветные карандаши в картонной коробке. Серия «Noris Club» предназначена для использования детьми. Специальное защитное белое
377 руб
Раздел: 13-24 цвета

81. Дифференцирование, интегрирование, вычисление пределов, сумм, рядов функций и математических выражений в системе Maple

82. Державний устрій та суспільний лад Риму в період імперії

83. Древний Рим. Реформы Сервия Туллия

84. Культура Древнего Рима

85. Общественный строй, социальный состав населения и его правовой статус в Древнем Риме

86. Особенности монархического правления в Древнем Риме
87. Рим после царя Ромула
88. Русское общество и культура в ХVI-ХVII вв.: "Москва - третий Рим"

89. Феномен культури стародавнього Риму

90. Церковь, Русь, и Рим

91. Зачіски стародавнього Риму із довгого волосся

92. Искусство Древней Греции и Древнего Рима

93. Литература и искусство Древней Греции и Древнего Рима

94. Матеріальна і духовна культура Риму в давній період

95. Процесс творчества. Памятники культуры Древнего Рима

96. Религия Древней Греции и Древнего Рима в культурно-историческом аспекте

Манеж детский игровой "Динозаврики" (120х100х74 см).
Размер: 120х100х74 см.
679 руб
Раздел: Манежи
Кроватка-качалка для куклы.
Красивая и удобная кровать-качалка станет прекрасной колыбелькой для куклы. Кровать-качалка прекрасно дополнит интерьер кукольной комнаты
386 руб
Раздел: Спальни, кроватки
Простыня трикотажная на резинке, 90х200х25 см, цвет шоколад.
Трикотажные простыни и наволочки – это идеальный вариант постельных принадлежностей, создающий атмосферу уюта и гармонии в спальне,
678 руб
Раздел: Простыни, пододеяльники

97. Культура Древнего Рима

98. Культура Древнего Рима

99. Культура древнего Рима


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.