Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Многочлены над кольцом классов вычетов

Горшок торфяной для цветов.
Рекомендуются для выращивания крупной рассады различных овощных и цветочных, а также для укоренения саженцев декоративных, плодовых и
7 руб
Раздел: Горшки, ящики для рассады
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка
Фонарь садовый «Тюльпан».
Дачные фонари на солнечных батареях были сделаны с использованием технологии аккумулирования солнечной энергии. Уличные светильники для
106 руб
Раздел: Уличное освещение

Многочлены над кольцом классов вычетов Курсовая работа по математике Ставропольский государственный институт Ставрополь, 2004 г. 1. Определение многочлена. В школьной алгебре одночленом от некоторой буквы x называется алгебраическое выражение вида , где a - некоторое число, x - буква, m - целое неотрицательное число. Одночлен  отождествляется с числом a, так что числа рассматриваются как одночлены. Далее, одночлены называются подобными, если показатели при букве x одинаковы. Подобные одночлены складываются по правилу , называемому приведением подобных членов. Многочленом или полиномом называется алгебраическая сумма одночленов. В полиноме порядок слагаемых безразличен, и подобные одночлены можно соединить, согласно приведению подобных членов. Поэтому любой полином можно записать в канонической форме , с расположением членов в порядке убывания показателей. Иногда оказывается удобным записывать члены полинома в порядке возрастания показателей. Буква x обычно обозначает произвольное число. Иногда x считают переменной, тогда полином задает функцию от x, называемую целой рациональной функцией. Два полинома называются формально равными, если они, в канонической записи, составлены из одинаковых одночленов. Ясно, что формально равные полиномы равны тождественно, т.е. принимают одинаковые значения при каждом значении буквы x. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Наша задача сейчас состоит в том, чтобы несколько расширить понятие полинома. Пусть K - некоторое коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, и пусть x - буква, посторонняя для кольца K. Одночленом от буквы x с коэффициентом из K называется выражение , где , m - целое неотрицательное число. Считается, что , так что элементы кольца K являются одночленами частного вида. Выражение  рассматривается как формальная запись. Для одночленов естественным образом определяются действие приведения подобных членов  и действия умножения . Формальное выражение, состоящее из нескольких одночленов, соединенных знаком , называется многочленом или полиномом от x с коэффициентами из K. Предполагается, что порядок следования одночленов безразличен, подобные одночлены можно соединять, а также вставлять и выбрасывать одночлены с нулевыми коэффициентами. Без нарушения общности можно считать полином записанным в канонической форме  (т.е. в порядке убывания степеней) или в порядке возрастания степеней . 2. Операции над многочленами. Два полинома считаются равными, если они составлены в канонической записи из одинаковых одночленов, т.е.  в том и только в том случае, если . Суммой двух полиномов называется полином, получающийся посредством объединения одночленов, составляющих слагаемые. Разумеется, после объединения следует привести подобные члены. Таким образом,   , где . (Если многочлены f(x) и g(x) имеют разное число одночленов, то, подписав необходимое число одночленов с нулевыми коэффициентами к одному из них, в котором число одночленов меньше, можно добиться их равенства в обоих многочленах). Поэтому складывать можно многочлены с разным числом одночленов. Например, , , преобразуем g(x) к виду  добавив два нулевых одночлена, суммой f(x) и g(x) будет многочлен  ) Из соотношения                                          (1) легко видеть, что операция суммирования (сложения) многочленов обладает такими же свойствами, что и операция сложения элементов кольца K, т.е

. ассоциативна, коммутативна; полином, все коэффициенты которого нули, является нейтральным элементом сложения полиномов; для каждого полинома существует ему противоположный, противоположный к полиному  является полином . Итак, множество полиномов с операцией сложения образует коммутативную группу. Произведением двух полиномов называется полином, составленный из произведений всех членов первого сомножителя на все члены второго. Здесь снова возможно приведение подобных членов. Таким образом,  . Коэффициент  при  равен , если условиться считать, что  при  и  при . Принцип вычисления коэффициента  прост: приводятся такие подобные слагаемые при произведении одночленов  и , которые дают в результате одночлены вида ,  т.е. - сумма всевозможных произведений  и  при . Поэтому верно равенство . Умножение многочленов ассоциативно. Это доказывается следующим образом: если помимо многочленов  и  дан еще многочлен , , то коэффициентом при ,  в произведении  будет служить элемент , а в произведении  - равное ему число . Умножение многочленов дистрибутивно относительно сложения, это вытекает из равенства , так как левая часть этого равенства является коэффициентом при  в многочлене , а правая часть - коэффициентом при той же степени переменной  в многочлене . Нетрудно видеть, что многочлен  (где 1 - единица кольца K) играет роль единицы при умножении многочленов. Таким образом, множество полиномов от буквы x с коэффициентами из кольца составляет кольцо по отношению к выше определенным операциям сложения и умножения полиномов (относительно сложения - это коммутативная группа; умножение ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения; существует единичный многочлен). Кольцо это коммутативно и ассоциативно. Оно называется кольцом полиномов от буквы x над кольцом K и обозначается K. В данном выше определении одночлена и полинома имеется одно сомнительное место. Именно, было сказано, что x есть буква, посторонняя для кольца K, и не было объяснено, что это значит. Сказать, что x не принадлежит кольцу K - это сказать слишком мало, так как при этом не исключаются нежелательные возможности  или  и т.д. Однако мы можем избавиться от "сомнительной" буквы x. Для этого рассмотрим бесконечные последовательности  элементов кольца K, в которых все элементы, начиная с некоторого, равны нулю. Вводим теперь определения равенства и основных действий.  тогда и только тогда, когда , i = 0, 1, ., k, . . Ясно, что требование об обращении в нуль всех членов, начиная с некоторого, сохраняется при сложении. . Здесь тоже сохраняется требование об обращении в нуль всех членов, начиная с некоторого места. Легко проверяется коммутативность и ассоциативность сложения и умножения и дистрибутивность умножения со сложением. Далее ясно, что   и , и, более общо, . 4.  отождествляется с последовательностью . Рассмотрим теперь последовательность (0, 1, 0, ., 0, .), обозначив ее буквой x. Тогда x2 = (0, 0, 1, 0, ., 0, .) и т.д. Поэтому    . Таким образом, мы построили элементы кольца K полиномов. Итак, при определении многочлена                                    (3) существенны лишь коэффициенты , и поэтому можно было бы писать вместо (1) последовательность .

Однако, в конечном счете, запись многочлена в виде выражения (3) оказывается более удобной. Пусть , причем . Одночлен  называется высшим (старшим) членом полинома f(x) и показатель называется степенью f(x) и обозначается deg f. Нулевой полином не имеет высшего члена в смысле данного определения и считается, что он равен нулю. Коэффициент  называется свободным членом. Многочлен, старший коэффициент которого равен единице, называется нормированным. При сложении многочленов  и  по формуле (1) мы видим, что формула для суммы не содержит членов, степень которых выше, чем , а формула (2) для произведения - членов, степень которых выше, чем m. Отсюда следует, что ,                        (4) .                             (5) 3. Кольцо многочленов над областью целостности. Далее будем рассматривать только многочлены с коэффициентами из области целостности K (кольцо без делителей нуля называют областью целостности), т.е. из кольца K, в котором произведение двух элементов может равняться нулю, если только один из сомножителей равен нулю. Это всегда будет подразумеваться, даже если не будет оговорено специально. При произведении многочленов   степени и  степени m старший член, как следует из формулы (2), равен  (это коэффициент при ). Так как в кольце нет делителей нуля, то  и, значит, . Из нашего рассуждения следует также, что .                                  (6) Эта формула является уточнением неравенства (5) для случая, когда в кольце K нет делителей нуля. Формула (6) также справедлива и тогда, когда один из многочленов f(x), g(x) или они оба равны нулю. Итак, произведение двух ненулевых многочленов - ненулевой многочлен, поэтому справедлива следующая теорема: Теорема 1. Кольцо многочленов над областью целостности само является областью целостности. Данное нами алгебраическое определение многочлена не содержит никакого упоминания о функциях. Тем не менее, с каждым многочленом над областью целостности K можно естественным образом связать функцию, которая определена на K и принимает значения в K. Пусть  - многочлен с коэффициентами из K. Для любого  положим ,                                         (7) где выражение в правой части понимается как результат операций в кольце K. Получаемый при этом элемент  называется значением многочлена f(x) в точке x0. (Слово "точка" употребляется по аналогии со случаем , когда x0 можно представлять как точку действительной оси.) Таким образом, каждому элементу x0 кольца K сопоставляется элемент f(x0) того же кольца и тем самым определяется функция на K со значениями в K. Покажем, что сложение и умножение многочленов согласуются с обычными операциями, производимыми над функциями, когда складываются или, соответственно, перемножаются значения функций в каждой точке. Рассмотрим два многочлена: , . Пусть h(x) = f(x) g(x) - их сумма. Докажем, что h(x0)=  =f(x0) g(x0) для любого . В соответствии с формулой (1)    =  , где , что и требовалось доказать. Пусть теперь  - произведение многочленов f(x) и g(x). Докажем, что  для любого . Перемножим равенства  , . Пользуясь свойствами операций в кольце K (в частности, коммутативностью и ассоциативностью умножения), получим: , где .

В одной из глинобитных изб, где очень чисто, где лежат на полу домотканые половички, индеец по моей просьбе вырезает мне из мягкого сплава (серебро, олово, железо) кольцо, выбивает на нем рисунок и вставляет в него огромный кусок стекла чудесного синего цвета. "Сапфиры не бьются, - говорит он с поклоном и надевает кольцо мне на палец своими длинными темными пальцами, рубины непрочные, а изумруды у меня все вышли". Потом я иду в "мезу" - в деревню, где живут не по горизонтали, а по вертикали. Я уже знаю, что этого всего скоро не будет: старые женщины еще сидят у своих порогов и ткут, стари-ки выбивают в серебре и свинце тяжелые украшения, но молодые уже подают в ресторанах, или в гаражах заправляют бензином автомобили туристов, или получают стипендии и уезжают учиться. Между двумя "мезами" отстроена школа. В классе висит портрет Линкольна, молодая учительница родом из Вермонта. Мы сидим с ней на горячем камне и разговариваем. Потом обедаем вместе. На громадных плоских тарелках приносят нам мексиканские острые блюда, мексиканский хлеб, напоминающий кавказский лаваш, текилу в крошечных дымчатых стакан-чиках, и я пишу вечером письмо в Париж о том, что до сего дня в Америке еще не встретила ни одного миллионера, ни одного гангстера, ни одного бейсболиста, ни одного саксофониста... и только двух голливудских актеров

1. Осуществление межпредметных связей в процессе изучения темы физики 10 класса "Свойства твердых тел"

2. Гладкий Лавров - учебник географии 10 класса - население - 30 тестов

3. Билеты по информатике 10 класс: Visual Basic

4. Методика преподавания темы: "Использование электронных таблиц для финансовых и других расчетов" в 10 классе

5. Ответы на билеты за 10 класс для школ с физико математическим уклоном

6. Работа над полифонией в классе баяна
7. Тема любви в творчестве А.И. Куприна: опыт изучения в старших классах
8. Билеты по биологии 10 класс

9. Темы по английскому за 10 класс

10. Работа над полифонией в классе баяна

11. Открытый урок в 10 классе по русскому языку: "Имя существительное и имя прилагательное"

12. Система контрольных и зачетных работ по химии для учащихся 10-12 классов трехгодичного обучения вечерней школы

13. Билеты по биологии за курс 10-11 классов

14. Методы изучения музыкальных произведений крупной формы в старших классах общеобразовательной школы

15. Тригонометрические формулы на начало 10-го класса

16. Использование алгоритмов при изучении орфографии в начальных классах

Коробка для хранения, на молнии, складная, 30x40x25 см, серо-белая.
Коробка предназначена для хранения небольших предметов. Размер: 30x40x25 см. Материал: пластик, кант из нетканого полотна. Цвет: серо-белый.
320 руб
Раздел: Более 10 литров
Рюкзак молодёжный "Pixie Crew" с силиконовой панелью для картинок (черный, алфавит).
Повседневные вещи кажутся скучными и однотонными, а тебе хочется выглядеть стильно и быть не как все? "Pixie Crew" сделает твою
3018 руб
Раздел: Молодежные, подростковые
Швабра с распылителем "Любаша".
Швабра с распылителем оснащена емкостью для воды и моющих средств, что значительно облегчает процесс мытья полов. Распыление происходит
1079 руб
Раздел: Швабры и наборы

17. Изучение темы "Акмеизм" в 11 классе

18. Методика изучения и использования во внеклассной работе истории населённых пунктов Белгородской области (На примере посёлка Прохоровка)

19. Методические основы уровневой дифференциации при обучении алгебре в классах с углубленным изучением математики

20. Коррекционная работа по совершенствованию грамматического строя речи учеников 7-х классов школы для детей с тяжелыми нарушениями речи.

21. Изучение режимов работы диодов и транзисторов в электронных схемах

22. Изучение эпохи бронзы Уральского региона в работах Б.Г. Тихонова
23. О методике решения задач на относительность движения при изучении основ кинематики в 9 классе общеобразовательной школы
24. Формирование умений и навыков у учащихся второго класса при изучении комнатных растений

25. Формирование интереса к физике у учащихся 7 класса при изучении темы "Давление твердых тел, жидкостей и газов"

26. Особенности работы учителя с родителями в 1-2 классах

27. Развитие навыков культуры устной и письменной речи у учащихся III класса при изучении глагола

28. Экологическое воспитание учащихся начальных классов сельской школы в процессе кружковой работы

29. Работа над речью слабослышащих учащихся на уроках развития речи в младших классах

30. Экологическое воспитание учащихся начальных классов сельской школы в процессе кружковой работы

31. Воспитательная работа в начальных классах средней общеобразовательной школы

32. Обновление содержания программы трудового обучения в начальных классах (работа с нетрадиционными материалами)

Сушилка для белья напольная складная, 181х54х95 см, серая.
Сушилка для белья напольная складная. Размеры: 181x54x95 см. Цвет каркаса: серая. Размер в раскрытом виде: 181х95х54 см.
733 руб
Раздел: Сушилки напольные
8 цветных смывающихся фломастеров для малышей.
336 руб
Раздел: 7-12 цветов
Универсальная вкладка для дорожных горшков (мятный).
Вкладка для дорожных горшков подойдет для любого дорожного горшка, она хорошо ложится на сиденье, обеспечивая комфорт и удобство в
664 руб
Раздел: Горшки обычные

33. 10 кризисов в работе маркетолога

34. Личность как объект философского изучения Ницше: по материалам ранних работ

35. Изучение имени прилагательного в младших классах

36. AGraph: библиотека классов для работы с помеченными графами

37. Абстрактно-дедуктивный метод введения и формирования математических понятий в 10-11 классах

38. Медико-биологическая характеристика искусственного освещения с учетом класса точности зрительных работ
39. Изучение и оценка работы ОАО "Молоко"
40. Изучение работы в Интернете с помощью программы Internet Explorer

41. Изучение работы модуля "Управление проектами" системы "Галактика"

42. Методические проблемы изучения алгоритмов работы с величинами

43. Организация работы холодного цеха ресторана первого класса на 75 мест

44. Роль моделирования при работе над задачей в 5 классе

45. Возможности развития воображения учащихся 8 класса при работе с компьютерной анимацией в программе Macromedia Flash MX

46. Изучение иноязычных слов латинского происхождения на уроках русского языка в 5-7 классах

47. Изучение рассказов Чехова в средних и старших классах

48. Использование мультимедиа на уроках математики при изучении положительных и отрицательных чисел в 6 классе как средство активизации деятельности учащихся

Комод "Радуга" (четырехсекционный).
Комод "Радуга" - красочный, практичный, удобный и мобильный. Украшен забавным декором. Имеет четыре удобные секции для хранения
1372 руб
Раздел: Комоды, тумбы, шкафы
Коврик-пазл "Винни".
Коврик выполнен из экологически безопасного полимерного материала, обладающего большой плотностью, высоким сопротивлением нагрузкам на
837 руб
Раздел: Прочие
Трикотажная пеленка кокон для девочки "Bambola".
Состав: интерлок, хлопок 100%. Возраст: 0-3 месяца.
421 руб
Раздел: Пелёнки

49. Методика изучения раздела "Графика" в 8 классе

50. Методика изучения раздела "Технология обработки металлов" в 5 классе

51. Организация самостоятельной работы средних классах общеобразовательной школы

52. Особенности словарной работы на уроках чтения и русского языка с учащимися 1 классов специальной (коррекционной) школы IV вида

53. Работа над малой формой в старших классах детской музыкальной школы на примере "Вокализа" Н. Ракова

54. Словарно-орфографическая работа на уроках русского языка в начальных классах на основе этимологического анализа
55. Реализация диагностической функции классного руководителя в работе по изучению личности младшего школьника
56. Изучение эффективности социально-психологического тренинга на примере работы с подростками, воспитывающихся в неблагополучных семьях

57. Деревянные конструкции (лабораторные работы)

58. Разработка основных разделов проекта производства работ

59. Кровельные работы

60. Реактивные двигатели, устройство, принцип работы

61. Оценка безотказной работы технической аппаратуры (задачи)

62. Билеты по астрономии за 11 класс

63. Проблемы изучения космоса

64. Билеты по биологии за 9 класс

Защита от включения конфорок плиты, 4 штуки, прозрачный.
Защита на колпачки газовой плиты. Рукоятки не должны превышать 50 мм в диаметре, а расстояние между ними не меньше 67 мм.
605 руб
Раздел: Безопасность ребенка
Горка детская малая, арт. 11050.
Горка детская малая состоит из лесенки и желоба для скатывания. Горка очень устойчивая, изготовлена из яркого, прочного, нетоксичного
2067 руб
Раздел: Горки
Жироудалитель UNiCUM "Гризли. Мята", 500 мл.
Новая формула удаления жира без запаха химии. В основу формулы легли лучшие разработки российских и израильскихученых. Главными
328 руб
Раздел: Для плит, духовок

65. Изучение миксомицетов среднего Урала, выращенных методом влажных камер

66. How "DNA" testing works Анализ "ДНК" как проверяющие работы)

67. Ответы на билеты по биологии за 11 класс

68. Экзаменационные билеты по курсу "Биология" (9 класс сш)

69. Курс биологии за 11 класс

70. Ответы на билеты по биологии 11 класс
71. Пути и способы повышения устойчивости работы РЭА
72. Организация боевых действий подразделений войск ПВО СВ (Методические указания к самостоятельной работе студентов под руководством преподавателя по тактико-специальной подготовке)

73. Воспитательная работа с личным составом в период подготовки к воинской службе (Виховна робота з особовим складом у період підготовки до несення служби військ)

74. Обеспечение работы с/х предприятия в условиях радиактивного заражения (WinWord)

75. Пути и способы повышения устойчивости работы объектов экономики в чрезвычайных ситуациях

76. Билеты по Обж за 11 класс

77. Билеты по географии Украины за 11 класс

78. Экзаменационные билеты по географии для 11 класса

79. История изучения и использования природных вод на Урале

80. Экономическое развитие Македонии (за последние 10 лет)

Коляска-трость Everflo "Simple blue".
Коляска-трость - идеальный вариант для путешествий и поездок в общественном транспорте. Характеристики: - Стальная рама. - Одно положение
1300 руб
Раздел: Коляски-трость
Фляжка сувенирная "На здоровье!", 270 мл.
Фляжка сувенирная. Объём: 270 мл. Материал: металл.
408 руб
Раздел: Фляжки сувенирные
Настольная игра "Баскетбол".
Настольная игра «Баскетбол» развивает моторику и быстроту реакции. Размер игры: 37х19х18 см. Возраст: 3+.
1171 руб
Раздел: Настольный баскетбол, бильярд, боулинг

81. Итоги работы портов: Одесса, Ильичёвск, Николаев, Мариуполь и Херсон за 2003 год

82. Отчет о производственной практике менеджера сервисной службы компании (производство топографо-геодезических работ)

83. Совершенствование организации работы отдела контроля за поступлением налогов с физических лиц

84. Исключительные права на средства индивидуализации товаров, работ, услуг и их производителей

85. Билеты по всемирной истории для 11 класса на украинском языке

86. Контрольная работа по всеобщей истории государства и права
87. Итоги реформ в России за 10 лет
88. Реституция культурных ценностей и международные конференции 10-30-х гг. XX в.

89. Статус депутатов местных Советов и формы их работы

90. Контрольная работа по Римскому праву

91. Прием и порядок переведения работника на другую работу

92. Трудовой договор (контракт) в системе трудовых правоотношений и кадровая работа на предприятиях

93. Особенности рассмотрения в судах трудовых споров о восстановлении на работе

94. Контрольная работа по экологическому праву

95. Топики по немецкому языку за 11 класс

96. Лингвистика - влияние первого языка на изучении второго

Настольная игра "Зомби в доме".
Отлично подойдет для веселых посиделок друзей субботним вечером. По сюжету игры участники случайно попадают в заброшенный домик, который
1190 руб
Раздел: Карточные игры
Щётка "York. Престиж", с резиновой щетиной и черенком.
Щетка "Prestige" с мягкой резиновой щетиной и со специальной резиновой кромкой, легко очищает поверхность. Она легко смывается
467 руб
Раздел: Щётки для пола, веники
Светильник LED "Снеговик" (цвет: серебристый, 15 см).
Такой абажур станет отличным дополнением интерьера комнаты во время волшебных новогодних праздников. Его можно поставить на полку или же
426 руб
Раздел: Необычные светильники

97. Английский язык (11 класс)

98. Использование интегрированных курсов при изучении иностранного языка

99. Контрольная работа по Английскому языку


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.