Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Расширения полей

Совок №5.
Длина совка: 22 см. Цвет в ассортименте, без возможности выбора.
18 руб
Раздел: Совки
Ручка "Помада".
Шариковая ручка в виде тюбика помады. Расцветка корпуса в ассортименте, без возможности выбора!
25 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь".
Коврик "Пекарь", сделанный из силикона, поможет Вам готовить вкусную и красивую выпечку. Благодаря материалу коврика, выпечка не
202 руб
Раздел: Коврики силиконовые для выпечки

Содержание Введение 1. Простое алгебраическое расширение поля. 4 1.1. Простое расширение поля. 4 1.2. Минимальный полином алгебраического элемента. 5 1.3. Строение простого алгебраического расширения поля. 6 1.4. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби. 6 2.Составное алгебраическое расширение поля. 8 2.1. Конечное расширение поля. 8 2.2. Составное алгебраическое расширение поля. 8 2.3. Простота составного алгебраического расширения поля. 10 2.4. Поле алгебраических чисел. 11 2.5. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел. 12 3. Сепарабельные и несепарабельные расширения. 12 4. Бесконечные расширения полей. 17 4.1. Алгебраически замкнутые поля. 17 4.2. Простые трансцендентные расширения. 22 Заключение 26 Литература 27 Введение. В педагогических вузах введена программа единого курса алгебры и теории чисел. Главная цель этого курса—изучение основных алгебраических систем и воспитание алгебраической культуры, необходимой будущему учителю для глубокого понимания целей и задач как основного школьного курса математики, так и школьных факультативных курсов. На наш взгляд, наиболее целесообразным является введение в школьное преподавание элементов современной абстрактной алгебры. Начавшийся в ХХ веке процесс алгебраизации математики не прекращается, а это вызывает упорные попытки введения в школьное математическое образование основных алгебраических понятий. Математическая глубина и необычайно широкая сфера применения полей сочетаются с простотой ее основных положений – понятий полей, целый ряд важных теорем можно сформулировать и доказать, обладая начальными представлениями в области теории множеств. Поэтому теория полей как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математики. Кроме того, изучение элементов теории поля полезно для школьников, способствует их интеллектуальному росту, проявляющемуся в развитии и обогащении различных сторон их мышления, качеств и черт личности, а также воспитанию у учащихся интереса к математике, к науке. 1. Простое алгебраическое расширение поля. 1.1.Простое расширение поля. Пусть P — кольцо полиномов от x над полем P, где P — подполе поля F. Напомним, что элемент ( поля F называется алгебраическим над полем P, если ( является корнем какого-нибудь полинома положительной степени из P . Определение. Пусть P < F и ((F. Простым расширением поля P с помощью элемента ( называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент (. Простое расширение P с помощью ( обозначается через P ((), основное множество поля P (() обозначается через Р((). Пусть ((F, P }, т. е. P есть множество всех выражений вида a0 a1( . a ( , где а0, a1,.a (P и — любое натуральное число. Легко видеть, что алгебра (P, , —, ., 1( — подкольцо поля P (() — является кольцом; это кольцо обозначается символом P — кольцо полиномов от х над P и P (()— простое расширение поля P. Пусть ( — отображение P такое, что ((f)=f(() для любого f из P. Тогда: (а) для любого а из Р ( (а) = а; (b) ((x) = (; (с) ( является гомоморфизмом кольца P (f(()=0}; (е) фактор-кольцо P .

Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) непосредственно следуют из определения (. Отображение ( сохраняет главные операции кольца P ((f g)=f(() g((), ((fg)= f(()g((), ((1)=1. Далее, по условию, ( есть отображение Р. Следовательно, ( является гомоморфизмом кольца P . Утверждение (d) непосредственно следует из определения отображения (. Поскольку ( — гомоморфизм кольца P /Кег ( изоморфно кольцу P . Следствие 1.2. Пусть ( — трансцендентный элемент над полем P. Тогда кольцо полиномов P . Доказательство. В силу трансцендентности ( над P Ker(={0}. Поэтому P. Кроме того, фактор-кольцо кольца P . Следовательно, P .1.2.Минимальный полином алгебраического элемента.Пусть P — кольцо полиномов над полем P. Определение. Пусть ( — алгебраический элемент над полем P. Минимальным полиномом элемента (, над P называется нормированный полином из P наименьшей степени, корнем которого является (. Степень минимального полинома называется степенью элемента ( над P. Легко видеть, что для всякого элемента (, алгебраического над P , существует минимальный полином. Предложение 1.3. Если а — алгебраический элемент над полем P, а g и ( — его минимальные полиномы над P, то g=(. Доказательство. Степени минимальных полиномов g и ( совпадают. Если g ( (, то элемент ( (степени над P) будет корнем полинома g - (, степень которого меньше степени полинома ( (меньше ), что невозможно. Следовательно, g=(. Теорема 1.4. Пусть ( — алгебраический элемент степени над полем P (((P) и g — его минимальный полином над P. Тогда: (а) полином g неприводим в кольце P , то g делит f; (с) фактор-кольцо P /(g) является полем; (е) кольцо P совпадает с полем P ((). Доказательство. Допустим, что полином g приводим в кольце P такие полиномы ( и h, что g = (h, 1(deg (, deg h1 над полем P; f и h — полиномы из кольца полиномов P и h(() (0. Требуется представить элемент f(()/h(()(P(() в виде линейной комбинации степеней элемента (, т. е. в виде (((), где ((P. Эта задача решается следующим образом. Пусть g — минимальный полином для ( над P. Так как, по теореме 1.4, полином неприводим над P и h(() ( 0, то g не делит h и, значит, полиномы h и g — взаимно простые. Поэтому существуют в P такие полиномы u и v, что uh vg=1 (1) Поскольку g(() = 0, из (1) следует, что u(()g(() = 1, 1/h(() = u((). Следовательно, f(()/h(() = f(()u((), причем f,u (P. Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби f(()/h(() .Пример. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби . Минимальным многочленом этого числа является p(x)=x3-2. Многочлены p(x) и g(x)=-x2 x 1 взаимно просты. Поэтому существуют такие многочлены ( и (, что p( g(=1.Для отыскания ( и ( применим алгоритм Евклида к многочленам p и g: -x3-2 -x2 x 1 -x2 x 1 2x-1 x3-x2-x -x-1 -x2 1/2x -1/2x 1/4 x2 x-2 1/2x 1 x2-x-1 1/2x-1/4 2x-1 5/4 Таким образом, p=g(-x-1) (2x-1), g=(2x-1)(-1/2x 1/4) 5/4.Откуда находим (2x-1)=p g(x 1), 5/4=g-(p g(x 1))(-1/2x 1/4) или p1/5(2x-1) g(4/5 1/5(2x2 x-1))=1, p1/5(2x-1) g(2/5x2 1/5x 3/5)=1. Таким образом, ((x)= (2/5x2 1/5x 3/5).Тогда ((()=((. 2.Составное алгебраическое расширение поля.2.1. Конечное расширение поля.

Пусть P — подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, т. е. рассматривать векторное пространство (F, , {(((( (P}(, где ((- операция умножения элементов из F на скаляр ((P. Определение. Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через . Предложение 2.1. Если ( — алгебраический элемент степени над P, то = . Это предложение непосредственно следует из теоремы 1.5. Определение. Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над P. Теорема 2.2. Любое конечное расширение F поля P является алгебраическим над P. Доказательство. Пусть -размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если = 0. Предположим, что >0. Любые 1 элементов из F линейно зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1, (, ., ( , т. е. существуют в P такие элементы с0, с1, ,c не все равные нулю, что с0(1 с1( c ( = 0. Следовательно, элемент ( является алгебраическим над P. Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.2.2. Составное алгебраическое расширение поля. Расширение F поля P называется составным, если существует возрастающая цепочка подполей L i поля F такая, что P = L0 ( L1 ( ( Lk= F и k>1. Теорема 2.3. Пусть F — конечное расширение поля L и L — конечное расширение поля P. Тогда F является конечным расширением поля P и I) . Доказательство. Пусть (1) (1, ,(m — базис поля L над P (как векторного пространства) и (2) (1, ,( — базис поля F над L . Любой элемент d из F можно линейно выразить через базис: (3) d = l1(1 . l ( (lk (L). Коэффициенты 1k можно линейно выразить через базис (1): (4) lk = p1k ( pmk (m (pik(P). Подставляя выражения для коэффициентов lk в (3), получаем d = ( pik (i(k. i({1, ,m} k({1, , } Таким образом, каждый элемент поля F представим в виде линейной комбинации элементов множества B, где B = { ( i(k({1,., m}, k ( {l,., }}. Отметим, что множество B состоит из m элементов. Покажем, что B есть базис F над полем P. Нам надо показать, что система элементов множества B линейно независима. Пусть (5) (cik(i(k = 0, I,k где cik ( P. Так как система (2) линейно независима над L , то из (5) следуют равенства (6) с1k( 1 . сmk( m = 0 (k = 1,., ). Поскольку элементы ( 1, ., ( m линейно независимы над P, то из (6) следуют равенства c1k = 0, ,cmk = 0 (k = 1, ., ), показывающие, что все коэффициенты в (5) равны нулю. Таким образом, система элементов B линейно независима и является базисом F над P. Итак установлено, что . Следовательно, F является конечным расширением поля P и имеет место формула (I). Определение. Расширение F поля P называется составным алгебраическим, если существует возрастающая цепочка подполей поля P P = L0 ( L1 ( ( Lk= F и k>1 (1) такая, что при i = 1,., k поле L i является простым алгебраическим расширением поля L i-1. Число k называется длиной цепочки (1). Следствие 2.4. Составное алгебраическое расширение F поля P является конечным расширением поля P. Доказательство легко проводится индукцией по длине цепочки (1) на основании теоремы 2.3

Но благодушие не было господствующим тоном прений. Те же крестьяне просили устроить у них казенные запасные магазины, откуда бедные крестьяне весной брали бы хлеб с возвратом ссуды из нового урожая. Новгородский дворянский депутат возражал, что таких магазинов совсем не нужно, что крестьяне в надежде на казенный хлеб бросят хлебопашество, а верейский депутат от дворянства Степанов обозвал каргопольских крестьян ленивыми и упорными. Эта резкость вызвала деликатное возражение копорского дворянского депутата графа Г. Г. Орлова, что, вероятно, верейский депутат этого не говорил, а писец ошибочно записал его слова. Степанов был превзойден другим дворянским депутатом — Глазовым, который внес в Комиссию столь непристойное мнение, в котором так неприлично поносил всех черносошных крестьян и их депутатов, что маршал остановил чтение его записки; возник вопрос об исключении его из Комиссии, и только по снисхождению оштрафовали его пятью рублями и заставили при всем собрании просить у обиженных прощения. Постепенно, с расширением поля обсуждения, Комиссия поднималась от местных подробностей к общим вопросам государственного порядка

1. История открытия комплексных чисел

2. Множина комплексних чисел

3. Метод комплексных чисел в планиметрии

4. Проектирование севооборотов, системы обработки, воспроизводства плодородия и комплексных мер борьбы с засорённостью полей

5. Комплексна фізична реабілітація при хронічних запалювальних захворюваннях нирок на полікліничному етапі реабілітації

6. Свободный полет в полях тяготения
7. Форма, размеры и движения Земли и их геофизические следствия. Гравитационное поле Земли
8. Психогенетика: сцепленное наследование, генетика пола

9. Аргентина. Комплексная экономико-географическая характеристика

10. Комплексная характеристика Словении

11. Форма, размеры и движения Земли и их геофизические следствия. Гравитационное поле Земли

12. Налогообложение на Украине (Система оподаткування в Українії податкова політика в сучасних умовах)

13. Методы комплексной оценки хозяйственно-финансовой деятельности

14. Лексико-семантическое поле "женщина" в современном английском языке

15. Комплексный характер переводческих трансформаций в рассказах Эдгара По

16. С русскими воинами через века и поля боевой славы

Пенал "DeLune", арт. D-819.
Пенал школьный каркасный, изготовлен по жестко-каркасной технологии, обеспечивающий, надежную защиту письменных принадлежностей от
651 руб
Раздел: Без наполнения
Подушка "Verossa" (заменитель лебяжьего пуха), 70х70 см.
Одеяла и подушки торговой марки Verossa с инновационным наполнителем из микроволокна — искусственный лебяжий пух - обладают всеми
1068 руб
Раздел: Размер 70х70 см
Стул детский "Малыш-1".
"Малыш №1" - маленький, компактный удобный стульчик для малыша. Он изготовлен из натуральных материалов и покрыт нетоксичным,
853 руб
Раздел: Стульчики

17. Лексико-семантическое поле "женщина" в современном английском языке

18. Миграция сельского населения XVIII - I пол. XIX вв.: исторические и психологические аспекты

19. Использование полей и закладок для оформления и автоматизации редактирования и обработки экономической информации в документах Word

20. Использование полей и закладок для редактирования и обработки информации в документах Word

21. Разработка управляющей части автомата для сложения двух чисел с плавающей запятой в дополнительном коде с помощью модели Мура

22. Сложения и вычитания чисел с плавающей запятой
23. НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (БИСЕКЦИИ) И МЕТОДОМ ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ С УКАЗАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ И УЧЕТОМ ВОЗМОЖНОЙ КРАТНОСТИ КОРНЕЙ
24. Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

25. Алгебраические числа

26. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль

27. Представление чисел в виде суммы двух квадратов и ...

28. Методы расчета электрических полей

29. Факторы неспецефической защиты - первая лекция: Перикиси, свободные радикалы. ПОЛ, ФНО, БОФ (белки острой фазы), нуклеазы, фибронектины, интерферон, лизоцим, катионные белки, NO, лектины

30. Влияние электромагнитного поля на живые организмы и защита от вредного воздействия электромагнитного поля

31. Політична соціалізація молодших школярів (на прикладі контент-аналізу підручників для початкової школи)

32. Комплексный подход к преодолению заикания

Визитница "Visifix", на 128 визиток, черная.
Практичная визитница в пластиковой фактурной обложке предназначена для хранения и систематизации визитных карт. Внутренний блок на спайке
410 руб
Раздел: Визитницы
Сортер "Ключики".
Сортер "Ключики" очень интересная и увлекательная игра, которая надолго займет ребенка. Задачей малыша является правильно
461 руб
Раздел: Сортеры, логические игрушки
Карандаши восковые "Jovicolor", с точилкой, 16 цветов.
Первые восковые мелки для малыша. Диаметр: 12 мм. Длина: 75 мм. Утолщенная форма корпуса специально создана для маленьких детских ладошек.
408 руб
Раздел: Восковые

33. АНТИТЕХНОЛОГІЇ У ПОЛІТИЧНІЙ БОРОТЬБІ: ВИКОРИСТАННЯ ЗМІ

34. Подготовка и вскрытие шахтного поля шахты Полосухинская

35. Комплексный дипломный проект: Проект участка по производству технологических приспособлений для электромеханического восстановления и укрепления поверхностного слоя деталей машин. Винтовые поверхности

36. Комплексная механизация и автоматизация

37. Комплексная механизация и автоматизация

38. Пол и характер
39. Психогенетика: сцепленное наследование, генетика пола
40. Устройство деления 16-ти разрядных чисел с плавающей запятой

41. 16-разрядный генератор псевдослучайных чисел

42. Комплексное моделирование электрических и тепловых характеристик линейного стабилизатора напряжений

43. Проектирование АЛУ для сложения двоично-десятичных чисел

44. Комплексная механизация откормочной фермы КРС на 2000 голов

45. Определение горизонтальной составляющей магнитного поля Земли

46. Исследования магнитных полей в веществе (№26)

47. Движение в центральном симметричном поле

48. Гравитация с точки зрения общей теории поля

Кукла "Принцесса Золушка" с развевающейся юбкой.
Кукла-принцесса Золушка с развевающейся юбкой - невероятно интересная и эффектная игрушка для всех поклонниц знаменитых Disney Princess!
673 руб
Раздел: Золушка
Набор детской складной мебели Ника "Азбука" (КУ2).
Для детей от 3-7 лет. Стол 580х600х450 мм. Стул мягкий: высота до сиденья 320 мм, высота со спинкой 570 мм. Сиденье: 300х280 мм. В наборе:
1444 руб
Раздел: Наборы детской мебели
Магнитный лабиринт "Совенок".
Играя с этой увлекательной и красочной игрушкой, ребёнок будет развивать мелкую моторику рук, координацию движений, логику, память и
531 руб
Раздел: Сортеры, логические игрушки

49. Торсионные поля. Миф или реальность

50. Электромагнитное поле и его влияние на здоровье человека

51. Развитие концепции гуманизма в современной западной философии /Мартин Хайдеггер, Жан-Поль Сарт, Карл Ясперс/

52. Комплексное исследование глобальных экологических проблем: от понятийного аппарата до модельных построений

53. Учетная политика предприятия (Облікова політика підприємства)

54. Поліграфічна промисловість України. II роль та перспективи розвитку
55. Комплексная оценка финансово-хозяйственной деятельности ОАО "Вега" на основе данных буххгалтерской финансовой отчетности
56. Пол, власть и концепция "разделенных сфер": от истории женщин к гендерной истории

57. Галичина - соціокультурна, історична, політична частка України

58. Економ. політика доби національно-визвольної р. (1917-1920рр..)

59. Національна політика СРСР в роки перебудови

60. Провал внутрішньої і зовнішньої політики російського царизму в роки Першої світової війни. Лютнева 1917 року революція в Росії та її історичне значення

61. Британская историография средневековой Росси пер. пол. ХХ в. (Методологические подходы)

62. Україна 20-х - початку 30-х років. Нова економічна політика. Голодомор 1921-1922 рр.

63. Межкультурный диалог в поле диаспор

64. Скрытность и защита кораблей по физическим полям

Настольная игра "Коварный Лис".
В городе был замечен Коварный Лис, который сумел увести пирог прямо у вас из-под носа! Все лисы теперь попали под подозрение, но кто же из
1196 руб
Раздел: Классические игры
Чехол на лобовое стекло всепогодный (арт. TD 0334).
Каждое зимнее утро встречаете со скребком и щеткой, тихо ненавидя вечную ледяную корку и «сугробы» на лобовом стекле?
402 руб
Раздел: Прочее
Пазл "Новогодний праздник", 600 элементов.
Пазл может понравиться детям и взрослым, его можно собирать и всей семьей. При сборке пазла открывается замечательная картина. В комплект
303 руб
Раздел: Пазлы (400-999 элементов)

65. Комплексная оценка услуги

66. Жизненный путь Поля Гогена

67. Поль Сезанн

68. Гендерный аспект функционального поля инициальности диалогической речи (на материале французского языка)

69. Новый пол: мужчины в женских ролях

70. Лексические поля звукоинтонационных образов в поэзии Н.А.Некрасова
71. Прошлое, настоящее и будущее в цикле «На поле Куликовом» А. Блока
72. В силовом поле "Тихого дона" (М. Шолохов и послевоенная проза: сближения и несходства)

73. Комплексный анализ и прогнозирование товарного рынка в г. Тюмени

74. Настоящая теория чисел

75. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

76. Интеграл по комплексной переменной

77. Решение систем линейных алгебраических уравнений

78. Связь больших чисел с константами физики и космотологии

79. Алгебраическая проблема собственных значений

80. Комплексное число в школе

Лоток для кухни раздвижной, 30(50,5)х42,5x6,5 см.
Для хранения столовых приборов. Беречь от огня (t -40+100 C). Срок годности не ограничен. Размер: 30(50,5)х42,5x6,5 см
561 руб
Раздел: Лотки для столовых приборов
Папка-сумка "Тролли", А4.
Папка текстильная формованная из вспененного полимера. Формат: А4. Лицевая сторона с выдавленными элементами 3D.
481 руб
Раздел: Папки-портфели, папки с наполнением
Фигурка декоративная "Колокольчик", 6x10 см.
Осторожно, хрупкое изделие! Материал: металл, австрийские кристаллы. Размер: 6x10 см. Товар не подлежит обязательной сертификации.
358 руб
Раздел: Миниатюры

81. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля

82. Единая теория поля, пространства и времени

83. О единстве отталкивания и тяготения в теории поля

84. Чтение и запись натуральных чисел

85. Алгебраическая проблема собственных значений

86. Многообразия алгебраических систем
87. Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси
88. Структура рекурсивных m-степеней в полях

89. Математическое моделирование нестационарного электрического поля анодной защиты

90. Проблема иррациональных чисел

91. Комплексное лечение квантовой и электромагнитной терапией

92. Луна и планирование пола ребенка

93. Терапия (Комплексная терапия хронической недостаточности кровообращения)

94. Комплексный анализ производственных систем

95. На древнем Кучкове поле

96. Податкова політика України

Зеркальце карманное "Бабочка", 8x7 см.
Симпатичное карманное зеркало станет Вашим незаменимым помощником и с легкостью разместится даже в небольшой женской сумочке или кармане.
354 руб
Раздел: Зеркала, расчески, заколки
Кулинарная форма, круглая, регулируемая, 16-30 см, высота 8,5 см.
Кольцо-трансформер решает проблему выбора размера формы раз и навсегда.Используется для выпечки коржей диаметров от 15 до 30 см.Форма
482 руб
Раздел: Формы и формочки для выпечки
Сковорода литая с антипригарным покрытием, 26 см.
Сковорода со съемной ручкой и стеклянной крышкой, утолщенное дно. Диаметр: 260 мм. Высота: 60 мм.
1738 руб
Раздел: Сковороды с антипригарным покрытием

97. Причина магнитного поля Земли?

98. Торсионные поля или размышления биофизика

99. Аппараты для воздействия на водонефтяные эмульсии магнитным полем

100. Конвергирующее поле - новое поле не волновой природы


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.