Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Экстремумы функций многих переменных

Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка
Чашка "Неваляшка".
Ваши дети во время приёма пищи вечно проливают что-то на ковёр и пол, пачкают руки, а Вы потом тратите уйму времени на выведение пятен с
222 руб
Раздел: Тарелки
Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм.
Качественные Японские крючки с лопаткой. Крючки с поводками – готовы к ловле. Высшего качества, исключительно острые японские крючки,
58 руб
Раздел: Размер от №1 до №10

Министерство общего и высшего образования Российской Федерации Иркутский Государственный Технический Университет Кафедра ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Реферат На тему: “Экстремумы функций многих переменных” Выполнил: Студент группы ТЭ-97-1 Мартынов Ф.О. Проверила: Преподаватель кафедры Седых Е.И. Иркутск 1998 План реферата: 1. Понятие экстремума. 2 2. Необходимые условия экстремума. 3 3. Достаточные условия экстремума. 6 4. Локальные экстремумы. 8 5. Условные экстремумы. 9 Экстремумы функций многих переменных. Для начала рассмотрим необходимые условия экстремума функции, также определим понятие экстремума. Начнем с понятия экстремума: Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными называется точкой экстремума (максимума или минимума) функции есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции . При этом значение называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция экстремум (или достигает в точке экстремума). Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку. Вид поверхностей, изображающих поверхности функций в окрестности точек экстремума показан на рис. 1. Теперь установим необходимые условия, при которых функция экстремума; для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции. Необходимый признак экстремума: Если в точке имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: . Доказательство: Допустим, что функция экстремум. Согласно определению экстремума функция достигает экстремума при . Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции . Аналогично функция , достигает экстремума при Что и требовалось доказать. Точка , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции . Уравнение касательной плоскости к поверхности принимает вид . Следовательно, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности - графику функции в соответствующей ее точке параллельна плоскости независимых переменных. Для отыскания стационарных точек функции нужно приравнять нулю обе ее частные производные . ( ) и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.Пример 1: Найдем стационарные точки функции Из второго уравнения следует, что или . Подставляя по очереди эти значения в первое уравнение, найдем четыре стационарные точки: Какие из найденных точек действительно являются точками экстремума, мы установим после приведения достаточного условия экстремума. Иногда удается, и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непосредственно следует, что рассматриваемая функция имеет где- то максимум или минимум и пи этом системе уравнений ( ) удовлетворяет только одна точка (т. е. Одна пара значений x и y), то ясно, что эта пара и будет искомой точкой экстремума функции. Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции двух переменных могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуют острия поверхности - графика функции).

Так, например, функция имеет, очевидно, в начале координат минимум, равный нулю, но в этой точке функция недифференцируема; график этой функции есть круглый конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью . Следовательно, если иметь в виду не только дифференцируемые, но и вообще непрерывные функции, то нужно сказать, что точками экстремума могут быть стационарные точки и точки, в которых функция недифференцируема. Вполне аналогично определяется понятие экстремума функции любого числа независимых переменных. и устанавливаются необходимые условия экстремума. Именно: Дифференцируемая функция переменных может иметь экстремумы только при тех значениях x, y, z,., , при которых равны нулю все ее частных производных первого порядка: Эти равенства образуют систему уравнений с неизвестными.Теперь определим достаточные условия для экстремума функции двух переменных. Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что эта точка обязательно является точкой экстремума. Возьмем функцию равны нулю в начале координат, однако функция экстремума не достигает. В самом деле, функция , будучи равной нулю в начале координат, имеет в любой близости к началу координат как положительные значения (в первом и третьем координатных углах), так и отрицательные (во втором и четвертом координатных углах), и значит, нуль не является ни наибольшим, ни наименьшим значением этой функции. Достаточные условия экстремума для функции нескольких переменных носят значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной. Мы рассмотрим эти условия без доказательства только для функции двух переменных. Пусть точка , т. е. значение вторых частных производных функции и обозначим их для краткости буквами A, B и C: имеет в точке следует, что A и C обязательно имеют одинаковые знаки). Если не является точкой экстремума. Если точкой экстремума и требуется дополнительное исследование.Пример: 1) Ранее в примере было установлено, что функция Вторые частные производные данной функции равны имеем: A=10, B=0, C=2. Здесь является точкой экстремума, и так как A и C положительны, то этот экстремум - минимум. В точке соответственно будет A=-10, B=0, C=-4/3; . Это точка максимума. Точки не являются экстремумами функции (т.к. в них; Приравнивая частные производные нулю: находим одну стационарную точку - начало координат. Здесь A=2, B=0, C= -2. Cледовательно, и точка (0, 0) не является точкой экстремума. Уравнение есть уравнение гиперболического параболоида (см. Рис. 2.) по рисунку видно, что точка (0, 0) не является точкой экстремума. Локальные Экстремумы Определение1: Говорят, что функция локальный максимум, если существует такая окрестность точки , для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: т. е. приращение функции < 0.Определение2: Говорят, что функция локальный минимум, если существует такая окрестность точки , для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: т.

е. приращение функции > 0.Определение 3: Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума. Условные Экстремумы При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных. Пусть заданы функция и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P(x, y), в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L. Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Поясню сказанное обычным примером. Графиком функции Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение x y-1=0), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке , лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции на данной линии; ей соответствует точка M1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи. Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области нам приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум. Приступим теперь к практическому отысканию точек условного экстремума функции Z= f(x, y) при условии, что переменные x и y связаны уравнением ((x, y) = 0. Это соотношение будем называть уравнение связи. Если из уравнения связи y можно выразить явно через х: y=((x), мы получим функцию одной переменной Z= f(x, ((x)) = Ф(х). Найдя значение х, при которых эта функция достигает экстремума, и определив затем из уравнения связи соответствующие им значения у, мы и получим искомые точки условного экстремума. Так, в вышеприведенном примере из уравнения связи x y-1=0 имеем y=1-х. Отсюда Легко проверить, что z достигает максимума при х = 0,5; но тогда из уравнения связи y=0,5, и мы получаем как раз точку P, найденную из геометрических соображений. Очень просто решается задача на условный экстремум и тогда, когда уравнение связи можно представить параметрическими уравнениями х=х( ), y=y( ). Подставляя выражения для х и у в данную функцию, снова приходим к задаче отыскания экстремума функции одной переменной. Если уравнение связи имеет более сложный вид и нам не удается ни явно выразить одну переменную через другую, ни заменить его параметрическими уравнениями, то задача отыскания условного экстремума становится более трудной.

Относительна не только национальная оценка, но и оценка века. Достаточно сослаться на воспоминание Мейерхольда: увлечение ныне начисто забытым Боборыкиным было столь велико, что многие полагали этого заурядного писателя выше Шекспира. А отношение современников к Чехову? Десятки писателей, сочинения которых сейчас оставляют равнодушными, оценивались современниками в несравненно более лестных выражениях. В чем тут дело, достаточно очевидно. Лишь сегодня можно отличить художественную правду Чехова от фальши и поверхности Боборыкина. Как бы то ни было, статистический анализ и здесь будет полезным, являясь превосходным способом обнаружения закономерных сдвигов общественного мнения в оценках произведений искусства и литературы. «В чем же выражается объективность красоты?» спросит читатель. Да в том, что тысячи и тысячи людей судят одинаково об одном и том же. И, несмотря на то, что красота (то есть степень «нравится») зависит от множества причин есть функция многих переменных, она не перестает быть объективной. Это заключение достаточно очевидное

1. Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии

2. Минимизация функций нескольких переменных. Метод спуска

3. Окружение и локализация корня нелинейной функции действительной переменной

4. Программная модель поиска глобального минимума нелинейных "овражных" функций двух переменных

5. Диалектика развития понятия функции. Различные подходы к изучению функций в школе и исследования с помощью ЭВМ.

6. Экстремумы функций
7. Реферат - Физиология (строение и функции гемоглобина)
8. Интегралы. Функции переменных

9. Функции белков в организмах живых существ

10. Синапсы (строение, структура, функции)

11. Строение и функции клетки

12. Слуховой анализатор. Строение и функции сердца

13. Налоги: эволюция, определения и формы. Принципы налоговой политики и функции налогов

14. Защитная функция адвокатуры как правовая традиция

15. Товарищества собственников жилья: порядок образования, функции, основания реорганизации и ликвидации товарищества

16. Парламент Великобритании и его основные характеристики. Функции палат

Дождевик для коляски "Карапуз".
Дождевик выполнен из плотной непромокаемой ПВХ ткани. Универсален - подходит для любой коляски-люльки. Сезон: всесезонный. Расцветка
755 руб
Раздел: Дождевики, чехлы для колясок
Доска магнитно-маркерная, 45x60 см.
Размер: 45х60 см. Поверхность доски позволяет писать маркерами и прикреплять листы при помощи магнитов. Улучшенный алюминиевый профиль. В
829 руб
Раздел: Доски магнитно-маркерные
Бутылочка для кормления (от 3-х месяцев) Pigeon Перистальтик Плюс с широким горлом, 240 мл.
Изгибы на бутылке прекрасно подходят для маминой руки. Крышечка подходит для любых сосок Pigeon к широким бутылочкам. Материал бутылочки:
555 руб
Раздел: Бутылочки

17. Экономические функции государства. Государственное регулирование экономики

18. Уголовное преследование как функция государства

19. Отчет по учебно-ознакомительной практике (c правовыми основами местного самоуправления, формированием представительных и исполнительных органов власти, структурой и функциями органов местного самоуправления)

20. Налоги: их сущность, виды и функции

21. Структура налоговых органов РФ права, обязанности и функции

22. Возникновение и развитие, понятие и признаки права. Понятие правосознания, основные функции, виды
23. Понятие, классификация и содержание основных функций государства
24. Функции государства

25. Феодальное государство (экономическая основа, сущность, механизм, функции и формы)

26. Структура и функции государственного аппарата

27. Деньги и их функции(MONEY)

28. Культура, её структура и функции

29. Культура, ее функции, субъекты

30. Падежи: второй родительный и предложный. Функции и значения

31. Предложения с именным предикатом состояния и их коммуникативные функции

32. Реализация функций языка в ФЗ "О прокуратуре РФ"

Каталка-автомобиль "Sokol" (с ручкой).
Каталка-автомобиль "Sokol" рекомендуется для малышей, которые пока еще неуверенно сидят и часто падают. Эта модель каталки
2249 руб
Раздел: Каталки
Пазл "Арктика", 75 элементов.
Яркий красочный пазл познакомит ребенка с удивительным миром животных Северного полюса. Это и белые медведи, и морские котики, и белый
548 руб
Раздел: Пазлы (54-99 элементов)
Подгузники-трусики "Pampers. Pants. Джамбо", Maxi (9-15 кг), 52 штуки.
Для активных и любознательных мальчиков и девочек так важен комфорт, поэтому Pampers разработал универсальные подгузники-трусики Pampers
1117 руб
Раздел: Более 11 кг

33. Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции

34. Построение функции предшествования по заданной КС-грамматике

35. Специальные функции архиватора RAR

36. Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами

37. Функция и ее свойства

38. Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)
39. Гамма функции
40. Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов

41. Исследование элементарных функций

42. Пищеварительный тракт и его основные функции

43. Функции гемоглобина в неповрежденных эритроцитах миноги: роль мембраны эритроцитов в регуляции газового транспорта и кислотно-основного баланса

44. Мышцы: начало, место прикрепления, функция

45. О некоторых показателях опорной функции стопы у детей

46. Понятие и характер нотариальных функций

47. Экологические функции правоохранительных органов

48. Уголовно-исполнительное право в системе права, его предмет, функции и система

Набор новогодний. Карандаши цветные "DUO" + раскраска с заданиями "Занимашка" в подарок.
В наборе: двусторонние цветные карандаши DUO 24 цвета, развивающая раскраска с заданиями "Занимашка". Двусторонние цветные
339 руб
Раздел: 13-24 цвета
Тележка на стол, красная.
Тележка на стол для мелких канцелярных принадлежностей. Цвет - красный.
442 руб
Раздел: Подставки, лотки для бумаг, футляры
Комплект "Mobile" Раптор, прибор на батарейках и сменный картридж, 240 часов.
Революция на рынке средств защиты от насекомых! Новый портативный прибор, работающий от батареек и не зависящий от электросети. Компактный
502 руб
Раздел: Фумигаторы

49. Дидактические функции проверки и учета знаний и умений, учащихся по физике

50. Партии, роль и функции в обществе

51. Синапсы (строение, структура, функции)

52. Развитие и функции речи

53. Высшие психические функции

54. Исследование функций преобразования и метрологических характеристик бесконтактных волоконно-оптических датчиков перемещений
55. Сущность и функции религии
56. Сущность, структура и функции семьи

57. Социология как наука. Предмет и функции социологии

58. Социальные ограничения: содержание, структура, функции

59. Оздоровительная физкультура при нарушении функций пищеварительной системы

60. Теория функций. Функционика. Модель личности по Аугустинавичуте

61. Методологическая функция философии в научном познании

62. Философия её смысл и функции

63. Сущность и функции рынка

64. Организация, цели и функции центральных банков развитых стран и Банка России

Лоток для кухни раздвижной, 30(50,5)х42,5x6,5 см.
Для хранения столовых приборов. Беречь от огня (t -40+100 C). Срок годности не ограничен. Размер: 30(50,5)х42,5x6,5 см
561 руб
Раздел: Лотки для столовых приборов
Папка-сумка "Тролли", А4.
Папка текстильная формованная из вспененного полимера. Формат: А4. Лицевая сторона с выдавленными элементами 3D.
481 руб
Раздел: Папки-портфели, папки с наполнением
Фигурка декоративная "Колокольчик", 6x10 см.
Осторожно, хрупкое изделие! Материал: металл, австрийские кристаллы. Размер: 6x10 см. Товар не подлежит обязательной сертификации.
358 руб
Раздел: Миниатюры

65. Функции ЦБ РФ (Контрольная)

66. Банк России: его функции и взаимоотношения с кредитными организациями

67. Кредит, функции кредита, сущность кредита

68. Центральный банк Российской Федерации. Его функции и деятельность на современном этапе

69. Сущность, функции и формы кредита

70. Банки их виды, функции
71. Фондовые биржи и их функции
72. Атоматизация функций по учету затрат вспомогательного производства

73. Рынок, сущность и функции

74. Функции менеджмента: планирование, организация мотивация и контроль

75. Групповые конфликты. Их природа, типология и функции (Контрольная)

76. Проектирование основных составляющих процесса управления по функциям планирования, организации, мотивации и контроля для некоммерческого образовательного учреждения "Автошкола — СТМО"

77. Природа и сущность функций менеджмента

78. Функции управления

79. Производство товаров и услуг как основная функция фирмы. Факторы производства

80. Анализ производственных функций

Игра настольная развивающая "Весёлый транспорт".
Обучающая игра пазл-липучка состоит из 5 игровых полей, заполняя которые, ребенок изучает названия и виды наземного транспорта, он учится
592 руб
Раздел: Формы, цвета
Специально для девочек.
Более 1500 наклеек для девочек обо всём самом интересном: моде, вечеринках, спорте, путешествиях, животных и многом другом!
432 руб
Раздел: Альбомы, коллекции наклеек
Защитный барьер для детской кровати "Polini kids", белый.
Нет ничего важнее безопасности ребенка. При переходе на подростковые кровати дети могут перевернуться и упасть во сне. Удобным и
1827 руб
Раздел: Безопасность ребенка

81. Функции и происхождение денег

82. Функции денег, практическое значение

83. Сущность, функции и виды денег

84. Функции и формы статистической таблицы. Основные элементы и правила построения

85. Функции государства в экономике

86. Рыночный механизм и его функции
87. Банки, их виды и функции
88. Рынок: сущность, функции, роль в жизни общества. Противоречия рынка

89. Международный валютный фонд (МВФ) и его функции

90. Сущность и функции денег

91. Экономические функции правительства

92. Функции рынка, позитивные и негативные стороны рыночного механизма

93. Деньги: возникновение, сущность, функции. Виды денег

94. Функции цен

95. Основные элементы и функции государства

96. Основные процедуры и функции модуля CRT

Стул детский Ника "СТУ3" складной, мягкий (цвет: синий).
Особенности: - стул складной; - предназначен для детей от 3 до 7 лет; - металлический каркас; - на ножках стула установлены пластмассовые
518 руб
Раздел: Стульчики
Рюкзак для средней школы "Неон", 46x34x18 см.
Рюкзак для средней школы. 2 основных отделения, 4 дополнительных кармана. Формоустойчивая спинка. Ремни регулировки объема. Материал:
978 руб
Раздел: Без наполнения
Доска пробковая "Premium", 60x90, алюминиевая рамка.
Доска пробковая с качественным покрытием, в элегантной рамке из алюминиевого профиля. Изготовлены c использованием наполнителя Softboard,
1054 руб
Раздел: Прочее

97. Особливості функціонування локальних інформаційних мереж

98. Просветительская функция журналистики в исторической ретроспективе

99. Ономатопоэтические слова японского языка в функции экспрессивной характеристики человека и их системные связи


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.