Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Комплексные числа

Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный.
Оригинальный светильник-ночник-проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фанариков); 2) Три
350 руб
Раздел: Ночники

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. 1.ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа. Так для решимости уравнений вида X A=B положительных чисел недостаточно. Например, уравнение X 5=2 не имеет положительных корней. Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль. На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида A(X B=0 (A0). Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такими являются уравнения X2=2, X3=5. Необходимость решения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение X2 1=0. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел. Выясним предварительно, какой вид должны иметь комплексные числа. Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение X2 1=0 имеет корень. Обозначим этот корень буквой i Таким образом, i – это комплексное число, такое, что i 2= –1. Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения и умножения комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел A и B выражение A B(i можно считать записью комплексного числа в общем виде. Название «комплексное» происходит от слова «составное»: по виду выражения A B(i.

Комплексными числами называют выражения вида A B(i, где A и B –действительные числа, а i – некоторый символ, такой что i2= –1, и обозначают буквой Z. Число A называется действительной частью комплексного числа A B(i, а число B – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей. Например, действительная часть комплексного числа 2 3(i равна 2, а мнимая равна 3. Для строгого определения комплексного числа нужно ввести для этих чисел понятие равенства. Два комплексных числа A B(i и C D(i называются равными тогда и только тогда, когда A=C и B=D, т.е. когда равны их действительные и мнимые части. 2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Рисунок 1 Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A B(i можно рассматривать как пару действительных чисел(A;B). Поэтому естественно комплексное число изображать точками плоскости. В прямоугольной системе координат комплексное число Z=A B(i изображается точкой плоскости с координатами (A;B), и эта точка обозначается той же буквой Z (рисунок 1). Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Оно дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки плоскости на которой выбрана система координат. Такая координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам. Рисунок 2 Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа A B(i как вектора, т.е. вектора с началом в точке O(0;0) и с концом в точке М(A;B) (рисунок 2). Соответствие установленное между множеством комплексных чисел, с одной стороны, и множествами точек или векторов плоскости, с другой, позволяет комплексные числа точками или векторами. 3.МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Пусть дано комплексное число Z=A B(i. Сопряженным с Z называется комплексное число A – B(i, которое обозначается = A B(i, поэтому для любого комплексного числа Z имеет место равенство =Z. Модулем комплексного числа Z=A B(i называется число (1) Из формулы (1) следует, что =0 тогда и только тогда, когда Z=0, т.е. когда A=0 и B=0. Докажем, что для любого комплексного числа Z справедливы формулы: 4.СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Суммой двух комплексных чисел A B(i и C D(i называется комплексное число (A C) (B D)(i, т.е. (A B(i) (C D(i)=(A C) (B D)(i Произведением двух комплексных чисел A B(i и C D(i называется комплексное число (A(C – B(D) (A(D B(C) (i, т.е. (A B(i)((C D(i)=(A(C – B(D) (A(D B(C)(i Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять по правилам действий с многочленами, считая i2= –1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства: Переместительное свойство: Z1 Z2=Z2 Z1, Z1(Z2=Z2(Z1 Сочетательное свойство: (Z1 Z2) Z3=Z1 (Z2 Z3), (Z1(Z2)(Z3=Z1((Z2(Z3) Распределительное свойство: Z1((Z2 Z3)=Z1(Z2 Z1(Z3 Геометрическое изображение суммы комплексных чисел Рисунок 3 Согласно определению сложения двух комплексных чисел, действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых.

Точно также определяются координаты суммы векторов: Сумма двух векторов с координатами (A1;B1) и (A2;B2) есть вектор с координатами (A1 A2;B1 B2). Поэтому, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел Z1 и Z2 нужно сложить векторы, соответствующие комплексным числам Z1 и Z2.Пример 1: Найти сумму и произведение комплексных чисел Z1=2 – 3(i и1 Способ: Z2= –7 8(i. Z1 Z2 = 2 – 7 (–3 8)(i = –5 5(i Z1(Z2 = (2 – 3(i)((–7 8(i) = –14 16(i 21(i 24 = 10 37(i 2 Способ: 5.ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел Z1 и Z2 существует, и притом только одно, число Z, такое, что: Z Z2=Z1 Если к обеим частям равенства прибавить (–Z2) противоположное числу Z2: Z Z2 (–Z2)=Z1 (–Z2), откуда Z = Z1 – Z2 Число Z=Z1 Z2 называют разностью чисел Z1 и Z2. Деление вводится как операция, обратная умножению: Z(Z2=Z1 Разделив обе части на Z2 получим: Z= Геометрическое изображение разности комплексных чисел Рисунок 4 Разности Z2 – Z1 комплексных чисел Z1 и Z2, соответствует разность векторов, соответствующих числам Z1 и Z2. Модуль разности двух комплексных чисел Z2 и Z1 по определению модуля есть длина вектора Z2 – Z1. Построим этот вектор, как сумму векторов Z2 и (–Z1) (рисунок 4). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам. Это важное геометрическое истолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехом использовать простые геометрические факты. Пример 2: Даны комплексные числа Z1= 4 5(i и Z2= 3 4(i. Найти разность Z2 – Z1 и частное = 6.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Рисунок 5 Запись комплексного числа Z в виде A B(i называется алгебраической формой комплексного числа. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записи комплексных чисел. Рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A B(i выражаются через его модуль = r и аргумент ( следующим образом: A= r(cos( ; B= r(si (. Число Z можно записать так: Z= r(cos( i((si ( = r((cos( i(si () Z = r((cos( i(si () (2) Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа. r =– модуль комплексного числа. Число ( называют аргументом комплексного числа. Аргументом комплексного числа Z0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если производится по часовой стрелке. Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случае число задается только своим модулем. Как уже говорилось выше , равенство (2) можно записать в виде A B(i=(si (, откуда приравнивая действительные и мнимые части, получим: cos( = (3) Если si ( поделить на cos( получим: g(= (4) Эту формулу удобней использовать для нахождения аргумента (, чем формулы (3). Однако не все значения (, удовлетворяющие равенству (4), являются аргументами числа A B(i . Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, в какой четверти расположена точка A B(i.

Например, чтобы вычислить 3+4i, математикам не нужно изобретать числа нового типа: оказывается, что ответ равен 2+i, т.Pе. другому комплексному числу. Иначе говоря, создается впечатление, что мнимые числа последний элемент, необходимый для завершения математики. Хотя квадратные корни из отрицательных чисел получили название мнимых чисел, математики считают число i ничуть не более абстрактным, чем отрицательное или любое натуральное число. Кроме того, физики обнаружили, что мнимые числа дают лучший язык для описания некоторых явлений, протекающих в реальном мире. С помощью нехитрых манипуляций мнимые числа оказываются идеальным средством анализа естественного колебательного движения объектов, например, маятника. Такое колебательное движение, называемое на техническом языке синусоидальным колебанием, широко распространено в природе, и поэтому мнимые числа стали неотъемлемой составной частью многих физических расчетов. В наше время инженеры-электрики приспособили i к анализу переменных токов, а физики-теоретики вычисляют различные квантовомеханические эффекты с помощью осциллирующих волновых функций, суммируя степени мнимых чисел

1. Комплексные числа и действия с ними (Доклад)

2. Комплексные числа

3. Комплексное число в школе

4. Комплексные числа

5. Комплексные числа

6. Комплексные числа в планиметрии
7. Лисп-реализация математических операций над комплексными числами
8. Комплексні числа

9. Комплексные числа: их прошлое и настоящее

10. Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

11. Введение в специальность («комплексная реконструкция и эксплуатация зданий и сооружений»)

12. Аргентина. Комплексная экономико-географическая характеристика

13. Комплексная характеристика Словении

14. Методы комплексной оценки хозяйственно-финансовой деятельности

15. Метод комплексного археолого-искусствоведческого анализа могильников

16. Операции многократной точности (операции с длинными числами)

Фанты "Масло в огонь".
Это настолка для влюбленных пар с различным «стажем» отношений, подойдет в качестве презента на свадьбу или годовщину
1291 руб
Раздел: Игры для взрослых (18+)
Пазл "Россия" (Русский), 100 деталей.
Пазлы - это прежде всего обучающие пазлы. С фотографической точностью прорисованы обитатели и растительный мир самых отдаленных уголков
548 руб
Раздел: Пазлы (100-199 элементов)
Каталка-мотоцикл "МХ".
Новая каталка-мотоцикл "МХ" впечатлит вашего малыша. Он сможет почувствовать себя настоящим байкером, ведь эта каталка не просто
2899 руб
Раздел: Каталки

17. История открытия комплексных чисел

18. Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

19. Алгебраические числа

20. Числа Фибоначчи: технический анализ

21. Комплексное исследование глобальных экологических проблем: от понятийного аппарата до модельных построений

22. Комплексный подход к преодолению заикания
23. Комплексный дипломный проект: Проект участка по производству технологических приспособлений для электромеханического восстановления и укрепления поверхностного слоя деталей машин. Винтовые поверхности
24. Комплексная механизация и автоматизация

25. Соотношение слова и изображения в комплексном аудиолингвовизуальном сообщении

26. Комплексное моделирование электрических и тепловых характеристик линейного стабилизатора напряжений

27. Комплексная механизация СТФ с разработкой линии вентиляции и отопления

28. Число как сущее

29. Маркетинговые исследования в оптовой торговле на примере комплексного исследования рыночных комплексов и оптовых рынков г. Екатеринбурга

30. Комплексная оценка финансово-хозяйственной деятельности ОАО "Вега" на основе данных буххгалтерской финансовой отчетности

31. Комплексная оценка услуги

32. Комплексное исследование рынка сотовой связи на примере

Нож для чистки овощей "Victorinox", универсальный, двустороннее зубчатое лезвие, чёрный.
Изумительный нож для кухни. Небольшой и удобный, он идеально подходит для чистки овощей. А яркий цвет порадует глаз и не даст ножу
410 руб
Раздел: Овощечистки, рыбочистки
Говорящий планшетик "Новогодний праздник".
В этом планшетике Умка поёт, говорит и рассказывает сказки! 16 новогодних песенок («Песенка Умки», «Белые снежинки», «Снеговик», «Дед
344 руб
Раздел: Планшеты и компьютеры
Набор диких животных.
В наборе: 12 фигурок диких животных. Средний размер: 10 см. Возраст: 3 лет. Фигурки в наборе представлены в ассортименте, без возможности выбора.
461 руб
Раздел: Дикие животные

33. Сопряжённые числа

34. Комплексный анализ

35. Интеграл по комплексной переменной

36. Интеграл по комплексной переменной

37. Абсолютна величина дiсного числа. Властивостi абсолютних величин

38. Множина комплексних чисел
39. Сумма делителей числа
40. Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)

41. Алгебраические числа

42. Комплексное лечение квантовой и электромагнитной терапией

43. Увеличение числа заболеваний вызванных курением

44. Развитие навыков самостоятельной работы у учащихся, в том числе и у малоспособных

45. Комплексная автоматизация и механизация погрузо-разгрузочных работ на станции

46. Комплексный подход к воспитанию и обучению глухих детей

47. Современный комплексный подход к преодолению заикания

48. Муниципальное право — комплексная отрасль права

Сковорода чугунная с деревянной ручкой 2505/27, 27 см.
Диаметр: 27 см. Чугунная сковорода с деревянной ручкой. Обладает высокой теплопроводностью, несравнимой износостойкостью, устойчивостью к
755 руб
Раздел: Сковороды чугунные
Магический шар 8.
Во все времена люди желали знать ответы на интересующие их вопросы, для этого они прибегали к помощи всевозможных гадалок, шаманов, и
585 руб
Раздел: Прочее
Сковорода чугунная с деревянной ручкой 2505/25, 25 см.
Диаметр: 25 см. Чугунная сковорода с деревянной ручкой. Обладает высокой теплопроводностью, несравнимой износостойкостью, устойчивостью к
648 руб
Раздел: Сковороды чугунные

49. Результаты апробации комплексной процедуры диагностики школьной готовности

50. Комплексный подход к использованию информационных технологий в школе

51. Основы комплексной автоматизации и проектирования ЭВМ

52. Число православных в мире

53. Комплексный подход и системно-функциональный анализ в социологии

54. Моделирование содержания и структуры тренировочного процесса (в том числе средств, методов и динамики нагрузок)
55. Особенности влияния комплексных занятий гимнастикой и плаванием с оздоровительной направленностью
56. Повышение скоростно-силовых возможностей велосипедистов-шоссейников с помощью нового комплексного биостимулятора

57. Технология комплексного тестирования - инструмент формирования информационного пространства процесса физического воспитания

58. Комплексное изучение социальных групп. (Как основа для принятия управленческих решений)

59. Комплексное воздействие городов на природную среду

60. Комплексный подход к решению проблемы ТБО

61. Комплексный территориальный кадастр природных ресурсов

62. Комплексный территориальный кадастр природных ресурсов

63. Комплексная система обеспечения экономической безопасности предприятия

64. Комплексный экономический анализ деятельности ОАО Комбинат Североникель

Форма разъемная "Webber" BE-4286N, черная.
Материал: сталь. Покрытие: антипригарное. Высота: 6,8 см. Диаметр: 24 см.
314 руб
Раздел: Формы и формочки для выпечки
Багетная рама "Isabelle" (золотой), 30х40 см.
Багетные рамы предназначены для оформления картин, вышивок и фотографий. Оформленное изделие всегда становится более выразительным и
651 руб
Раздел: Размер 30x40
Набор для черчения "College", 9 предметов.
В набор входит: циркуль 14 см с одной сгибаемой ножкой, циркуль - измеритель, удлинитель, кронциркуль, механический карандаш, контейнер с
539 руб
Раздел: Циркули, чертежные инструменты

65. Система комплексных мер по кадровому обеспечению ОПК с учетом экономических и территориальных особенностей страны

66. О содержании и методике разработки региональной комплексной программы "Образование и занятость населения"

67. Проблемы комплексной безопасности в XXI веке

68. Обеспечение комплексной безопасности при строительстве высотных зданий

69. Система машин для комплексной механизации возделывания гороха в ОАО АПО Нива Шаблыкино

70. Комплексная модель инвестиционного проекта трубопроводного транспорта
71. Кения. Комплексная страноведческая характеристика страны
72. Май 9 число

73. Абсолютна величина дiсного числа

74. Потребность в организационных данных: модель комплексного управления эффективностью бизнеса

75. Комплексный анализ

76. Интеграл по комплексной переменной

77. Исторические проблемы математики. Число и арифметическое действие

78. Ценовые стратегии - комплексный анализ

79. Муниципальное право как комплексная отрасль права

80. Крупномасштабная комплексная переработка твердых промышленных и бытовых отходов.

Самоклеящиеся этикетки, A4, 105x74 мм, 8 этикеток на листе.
Формат: А4. Размер: 105x74 мм. В комплекте: 100 листов (на 1 листе 8 этикеток).
500 руб
Раздел: Бейджи, держатели, этикетки
Защита от включения конфорок плиты, 4 штуки, прозрачный.
Защита на колпачки газовой плиты. Рукоятки не должны превышать 50 мм в диаметре, а расстояние между ними не меньше 67 мм.
605 руб
Раздел: Безопасность ребенка
Горка детская малая, арт. 11050.
Горка детская малая состоит из лесенки и желоба для скатывания. Горка очень устойчивая, изготовлена из яркого, прочного, нетоксичного
2067 руб
Раздел: Горки

81. Комплексный анализ деятельности ОАО "АФ Банк"

82. Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности предприятия

83. Комплексные методы защиты информации

84. Проект комплексной механизации возделывания и уборки силосных культур в ООО "Малопургинский"

85. Проектирование севооборотов, системы обработки, воспроизводства плодородия и комплексных мер борьбы с засорённостью полей

86. Комплексная механизация племенной фермы на 50 лошадей
87. Комплексный анализ хозяйственной деятельности на примере ООО "Фаворит"
88. Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности

89. Методы комплексного анализа прибыли страховой организации

90. Организация, нормирование и оплата труда в растениеводческой отрасли комплексной бригады агрофирмы "МИР" АНК "Башнефть"

91. Комплексная страноведческая характеристика Норвегии

92. Особо охраняемые территории Карельского перешейка на примере Юнтоловского регионального комплексного заказника

93. Комплексна фізико-географічна характеристика Уралу

94. Комплексная социально-экономическая характеристика Дальневосточного района

95. Комплексный анализ (диагностика) социально-экономической ситуации республики Карелия

96. Договор мены: комплексный анализ

Подставка для колец "Слоник", арт. 62258.
Регулярно удалять пыль сухой, мягкой тканью. Материал: металл (сплав цинка с покрытием золотой краской), стекло. Товар не подлежит
365 руб
Раздел: Подставки для украшений
Бортик Polini Basic (цвет: белый).
Боковой бортик для подростковой кровати Polini Basic Монстрики и Polini Basic Джунгли 180х90см. Размер: 180х950х16 мм.
977 руб
Раздел: Бортики в детскую кроватку
Подушка "MediumSoft Стандарт", 70х70 см.
Подушка Medium Soft Стандарт "Файберсофт". Наволочка - 100 % микрофайбер. Наполнитель - силиконизированное волокно
389 руб
Раздел: Размер 70х70 см

97. Комплексний теоретичний аналіз проблеми однобічності та неповноти дізнання, досудового та судового слідства у кримінальному судочинстві

98. Комплексный историко-правовой анализ адвокатуры в СССР в период действия положения об адвокатуре СССР 1939 года

99. Муниципальное право как комплексная отрасль права

100. Стратегія комплексної модернізації українського суспільства


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.