Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Задача коммивояжера

Совок №5.
Длина совка: 22 см. Цвет в ассортименте, без возможности выбора.
18 руб
Раздел: Совки
Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки
Наклейки для поощрения "Смайлики 2".
Набор для поощрения на самоклеящейся бумаге. Формат 95х160 мм.
19 руб
Раздел: Наклейки для оценивания, поощрения

СодержаниеВведение 1. Задача коммивояжера 1.1. Общее описание 1.2. Методы решения задачи коммивояжера 1.2.1. Жадный алгоритм. 1.2.2. Деревянный алгоритм 1.2.3. Метод ветвей и границ 1.2.4. Алгоритм Дейкстры 1.2.5. Мой метод решения задачи коммивояжера 1.2.6. Анализ методов решения задачи коммивояжера 1.3. Практическое применение задачи коммивояжераВыводыЛитература Приложения Введение Комбинаторика – раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Поэтому можно сказать, что целью комбинаторного анализа является изучение комбинаторных конфигураций. Это изучение включает в себя вопросы существования комбинаторных конфигураций, алгоритмы их построения, оптимизацию таких алгоритмов, а также решение задач перечисления, в частности определение числа конфигураций данного класса. Простейшим примером комбинаторных конфигураций являются перестановки, сочетания и размещения. Большой вклад в систематическое развитие комбинаторных методов был сделан Г. Лейбницем (диссертация «Комбинаторное искусство»), Я. Бернулли (работа «Искусство предположений»), Л. Эйлером. Можно считать, что с появлением работ Я. Бернулли и Г. Лейб-ница комбинаторные методы выделились в самостоятельную часть математики. В работах Л.Эйлера по разбиениям и композициям натуральных чисел на слагаемые было положено начало одному из основных методов перечисления комбинаторных конфигураций – методу производящих функций. Возвращение интереса к комбинаторному анализу относится к 50-м годам ХХ в. в связи с бурным развитием кибернетики и дискретной математики и широким использованием электронно-вычислительной техники. В этот период активизировался интерес к классическим комбинаторным задачам. Классические комбинаторные задачи – это задачи выбора и расположения элементов конечного множества, имеющие в качестве исходной некоторую формулировку развлекательного содержания типа головоломок. В 1859 г. У. Гамильтон придумал игру «Кругосветное путешествие», состоящую в отыскании такого пути, проходящего через все вершины (города, пункты назначения) графа, изображенного на рис. 1, чтобы посетить каждую вершину однократно и возвратиться в исходную. Пути, обладающие таким свойством, называются гамильтоновыми циклами. Задача о гамильтоновых циклах в графе получила различные обобщения. Одно из этих обобщений – задача коммивояжера, имеющая ряд применений в исследовании операций, в частности при решении некоторых транспортных проблем. 1. Задача коммивояжера 1. Общее описание Задача коммивояжера (в дальнейшем сокращённо - ЗК) является одной из знаменитых задач теории комбинаторики. Она была поставлена в 1934 году, и об неё, как об Великую теорему Ферма обламывали зубы лучшие математики. В своей области (оптимизации дискретных задач) ЗК служит своеобразным полигоном, на котором испытываются всё новые методы. Постановка задачи следующая. Коммивояжер (бродячий торговец) должен выйти из первого города, посетить по разу в неизвестном порядке города 2,1,3.

и вернуться в первый город. Расстояния между городами известны. В каком порядке следует обходить города, чтобы замкнутый путь (тур) коммивояжера был кратчайшим? Чтобы привести задачу к научному виду, введём некоторые термины. Итак, города перенумерованы числами j(Т=(1,2,3. ). Тур коммивояжера может быть описан циклической перестановкой =(j1,j2,.,j ,j1), причём все j1.j – разные номера; повторяющийся в начале и в конце j1, показывает, что перестановка зациклена. Расстояния между парами вершин Сij образуют матрицу С. Задача состоит в том, чтобы найти такой тур , чтобы минимизировать функционал Относительно математизированной формулировки ЗК уместно сделать два замечания. Во-первых, в постановке Сij означали расстояния, поэтому они должны быть неотрицательными, т.е. для всех j(Т: Сij(0; Cjj=? (2) (последнее равенство означает запрет на петли в туре), симметричными, т.е. для всех i,j: Сij= Сji. (3) и удовлетворять неравенству треугольника, т.е. для всех: Сij Сjk(Cik (4) В математической постановке говорится о произвольной матрице. Сделано это потому, что имеется много прикладных задач, которые описываются основной моделью, но всем условиям (2)-(4) не удовлетворяют. Особенно часто нарушается условие (3) (например, если Сij – не расстояние, а плата за проезд: часто туда билет стоит одну цену, а обратно – другую). Поэтому мы будем различать два варианта ЗК: симметричную задачу, когда условие (3) выполнено, и несимметричную - в противном случае. Условия (2)-(4) по умолчанию мы будем считать выполненными. Второе замечание касается числа всех возможных туров. В несимметричной ЗК все туры =(j1,j2,.,j ,j1) и ’=(j1,j ,.,j2,j1) имеют разную длину и должны учитываться оба. Разных туров очевидно ( -1)!. Зафиксируем на первом и последнем месте в циклической перестановке номер j1, а оставшиеся -1 номеров переставим всеми ( -1)! возможными способами. В результате получим все несимметричные туры. Симметричных туров имеется в два раз меньше, т.к. каждый засчитан два раза: как и как ’. Можно представить, что С состоит только из единиц и нулей. Тогда С можно интерпретировать, как граф, где ребро (i,j) проведено, если Сij=0 и не проведено, если Сij=1. Тогда, если существует тур длины 0, то он пройдёт по циклу, который включает все вершины по одному разу. Такой цикл называется гамильтоновым циклом. Незамкнутый гамильтонов цикл называется гамильтоновой цепью (гамильтоновым путём). В терминах теории графов симметричную ЗК можно сформулировать так: Дана полная сеть с вершинами, длина ребра (i,j)= Сij. Найти гамильтонов цикл минимальной длины. В несимметричной ЗК вместо «цикл» надо говорить «контур», а вместо «ребра» - «дуги» или «стрелки». Некоторые прикладные задачи формулируются как ЗК, но в них нужно минимизировать длину не гамильтонова цикла, а гамильтоновой цепи. Такие задачи называются незамкнутыми. Некоторые модели сводятся к задаче о нескольких коммивояжерах, но мы здесь их рассматривать не будем. 1.2. Методы решения ЗК 1.2.1. Жадный алгоритм Жадный алгоритм – алгоритм нахождения наикратчайшего расстояния путём выбора самого короткого, ещё не выбранного ребра, при условии, что оно не образует цикла с уже выбранными рёбрами.

«Жадным» этот алгоритм назван потому, что на последних шагах приходится жестоко расплачиваться за жадность. Посмотрим, как поведет себя при решении ЗК жадный алгоритм. Здесь он превратится в стратегию «иди в ближайший (в который еще не входил) город». Жадный алгоритм, очевидно, бессилен в этой задаче. Рассмотрим для примера сеть на рис. 2, представляющую узкий ромб. Пусть коммивояжер стартует из города 1. Алгоритм «иди вы ближайший город» выведет его в город 2, затем 3, затем 4; на последнем шаге придется платить за жадность, возвращаясь по длинной диагонали ромба. В результате получится не кратчайший, а длиннейший тур. В пользу процедуры «иди в ближайший» можно сказать лишь то, что при старте из одного города она не уступит стратегии «иди в дальнейший». Как видим, жадный алгоритм ошибается. Можно ли доказать, что он ошибается умеренно, что полученный им тур хуже минимального, положим, в 1000 раз? Мы докажем, что этого доказать нельзя, причем не только для жадного логарифма, а для алгоритмов гораздо более мощных. Но сначала нужно договориться, как оценивать погрешность неточных алгоритмов, для определенности, в задаче минимизации. Пусть fB - настоящий минимум, а fA - тот квазиминимум, который получен по алгоритму. Ясно, что fA/ fB?1, но это – тривиальное утверждение, что может быть погрешность. Чтобы оценить её, нужно зажать отношение оценкой сверху: fA/fB ?1 ?, (5) где, как обычно в высшей математике, ?0, но, против обычая, может быть очень большим. Величина ? и будет служить мерой погрешности. Если алгоритм минимизации будет удовлетворять неравенству (5), мы будем говорить, что он имеет погрешность ?. Предположим теперь, что имеется алгоритм А решения ЗК, погрешность которого нужно оценить. Возьмем произвольный граф G (V,E) и по нему составим входную матрицу ЗК: С={ 1,если ребро (i,j) принадлежит Е 1 ? в противном случае Если в графе G есть гамильтонов цикл, то минимальный тур проходит по этому циклу и fB = . Если алгоритм А тоже всегда будет находить этот путь, то по результатам алгоритма можно судить, есть ли гамильтонов цикл в произвольном графе. Однако, непереборного алгоритма, который мог бы ответить, есть ли гамильтонов цикл в произвольном графе, до сих пор никому не известно. Таким образом, наш алгоритм А должен иногда ошибаться и включать в тур хотя бы одно ребро длины 1 ?. Но тогда fA(( -1) (1 ?) так что fA/fB=1 ? т.е. превосходит погрешность ? на заданную неравенством (5). О величине ? в нашем рассуждении мы не договаривались, так что ? может быть произвольно велик. Таким образом доказана следующая теорема. Либо алгоритм А определяет, существует ли в произвольном графе гамильтонов цикл, либо погрешность А при решении ЗК может быть произвольно велика. Это соображение было впервые опубликовано Сани и Гонзалесом в 1980 г. Теорема Сани-Гонзалеса основана на том, что нет никаких ограничений на длину ребер. Теорема не проходит, если расстояния подчиняются неравенству треугольника (4). Если оно соблюдается, можно предложить несколько алгоритмов с погрешностью 12. Прежде, чем описать такой алгоритм, следует вспомнить старинную головоломку.

В этом случае технология решения состоит из двух основных алгоритмов. Первый алгоритм позволяет обогатить исходный массив данных, исключая из него те «расстояния», которые не могут участвовать в оптимальном маршруте. Второй алгоритм позволяет найти оптимальный (или близкий к оптимальному) маршрут коммивояжера. Задача поставлена и решена, как известная задача теории графов о нахождении оптимального гамильтонова цикла в графе [3]. 9.2. Условие оптимальности Для оптимального гамильтонова цикла справедливо следующее условие оптимальности: для любого простого маршрута, являющегося участком оптимального гамильтонова цикла и проходящего вершины графа в последовательности i1, i2, i3, ...,ia, (a=4,5, ...,n; i1=1,2,...,n) сумма весов входящих в него ребер ?(i1i2i3...ia) является минимальной в сравнении с любой другой суммой вида ?(i1i'2i'3...i'a-1ia): при a =4,5, ... , n; i=1,2, ... , n; i'2 ,i'3 ,...,i'a-1, ? P Здесь i'2, 'i3,..., i'a-1 — одна из перестановок чисел i2, i3,..., ia-1, P — множество всех перестановок этих чисел

1. "Камю", "Сартр", "Шопенгауэр", "Ясперс", "Фромм" (Рефераты, доклады по философии)

2. Принцип межпредметных связей при решении химических задач. Разбор основных способов решения расчетных задач

3. Сетевое моделирование при планировании. Задача о коммивояжере...

4. Задача о коммивояжере

5. Экспертная система для решения задачи о коммивояжере

6. Т.Парсонс: Аналитический реализм и понимание задач социологической теории (Доклад)
7. Артур Миллер. Смерть коммивояжера
8. Новые и сверхновые звезды (Доклад)

9. Kитообразные и их особенности (Доклад)

10. Подсолнечник (Доклад)

11. Организация выполнения задачи командиром инженерно-саперного взвода по проделыванию проходов в минно-взрывных заграждениях перед переднем краем обороны противника

12. Мерзлотные явления в земной коре (кpиолитология) (. Иpкутская область. Доклад)

13. Особенности озёр России (Доклад)

14. Греция (Доклад)

15. Коста-Рика (Доклад)

16. Озеро Байкал (Доклад)

Светильник LED "Снеговик" (цвет: серебристый, 15 см).
Такой абажур станет отличным дополнением интерьера комнаты во время волшебных новогодних праздников. Его можно поставить на полку или же
426 руб
Раздел: Необычные светильники
Экспресс-скульптор "Эврика", средний.
Настоящее искусство в Ваших руках! Экспресс-скульптор - это не только стимулятор творческих способностей, но и точечный
943 руб
Раздел: Антистрессы
Велосипед Jetem "Lexus Trike Next Generation" (цвет: красный).
Jetem Lexus Trike Next Generation — это детский велосипед с ручкой-толкателем для родителя. Одна из лучших моделей по соотношению
2488 руб
Раздел: Трехколесные

17. Саудовская Аравия (Доклад)

18. Таиланд (Доклад)

19. Урбанизация и заселенность территории (Доклад)

20. Экономическое развитие Западносибирского региона (Доклад)

21. Зарубежный опыт государственного регулирования рыночной экономики на примере Франции (Доклад)

22. Основные задачи сферы государственного регулирования
23. Стандартизация. Задачи стандартизации в области объектов коммерчекой деятельности
24. Правоохранительную деятельность и основные задачи адвокатуры

25. Переход к рыночной экономике в России и задачи ОВД

26. Мусульманское право (Доклад)

27. Доклад: Страны мира во второй половине XX века. Франция.

28. Задачи, система и функции органов юстиции Российской Федерации

29. Цели, задачи и функции прокуратуры Украины

30. Цели, задачи и структура Федерального закона № 122-ФЗ

31. Решение задач по курсу "семейное право"

32. Понятие и задачи таможенного оформления, порядок производства

Конструктор электронный "Знаток". 320 схем.
Набор электронных блоков и соединений, позволяющий конструировать электрические цепи без пайки. Описано 320 схем. Даже без помощи
2858 руб
Раздел: Инженерные, научно-технические
Ящик с крышкой Darel Box на колесах, 61x40x17.5 см.
Универсальные и герметичные боксы идеально подходят для хранения меха, одежды и домашнего текстиля. Герметичность конструкции обеспечивает
494 руб
Раздел: Более 10 литров
Рюкзак школьный "Military", цвет черный (арт. V-55/1).
Рюкзак школьный, два отделения, два передних кармана на молнии, объемный карман на молнии на передней стенке, боковые карманы из сетки,
1500 руб
Раздел: Без наполнения

33. Александр Трифонович Твардовский (Доклад)

34. Устные высказывания и их особенности (беседа, лекция, доклад, диспут, дискуссия)

35. Биография Джеральда Даррелла (Доклад)

36. Иван Сергеевич Тургенев. Жизнь и творчество (Доклад)

37. Национально-освободительная война сирийского и ливанских народов в 1919-1927 гг. (Доклад)

38. Ярлыки ордынских ханов русским митрополитам (Доклад)
39. Московский Кремль (Доклад)
40. Разработка схемы топологии локальной корпоративной сети, описание ее технических характеристик и решаемых задач

41. Задачи графических преобразований в приложениях моделирования с использованием ЭВМ

42. Задача про транспортную систему. Подбор вариантов проезда с учетом кол-ва пересадо, длительности, видов транспорта (самолет, авто, поезд, водн.) (и класса)

43. Формирование структуры электронного учебника и решение задач на ней

44. 10 задач с решениями программированием на Паскале

45. Транспортная задача

46. Разработка системы задач (алгоритмы-программы) по дискретной математике

47. Учебник по языку Ассемблер в задачах и примерах

48. Учебник по языку Turbo Pascal в задачах и примерах

Микрофон "Караоке. Я пою".
В этом ярком микрофоне – 12 популярных песенок В. Шаинского, Е. Крылатова, М. Танича и других известных композиторов: "Песенка
301 руб
Раздел: Микрофоны
Багетная рама "Donna" (цвет - темно-коричневый).
Багетные рамы предназначены для оформления картин, вышивок и фотографий. Оформленное изделие всегда становится более выразительным и
558 руб
Раздел: Размер 30x40
Перчатки одноразовые "Paclan", нитриловые, размер M, 100 штук.
Прочные эластичные перчатки из нитрила, предназначены для полной защиты рук во время уборки, приготовления пищи. Перчатки легко
461 руб
Раздел: Перчатки

49. Задача о фотоне

50. Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)

51. Лабораторная работа №3 по "Основам теории систем" (Теория двойственности в задачах линейного программирования)

52. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)

53. Решение задач - методы спуска

54. Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии
55. Комплексные числа и действия с ними (Доклад)
56. Решение оптимизационной задачи линейного программирования

57. Методы и приемы решения задач

58. Задачи Пятого Турнира Юных Математиков

59. Постановка задачи линейного программирования и двойственная задача линейного программирования.

60. Транспортные сети. Задача о максимальном потоке в сети

61. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

62. Решение задач на построение сечений многогранников

63. Применение фильтра Калмана в задаче идентификации отказов двигателей стабилизации космического аппарата

64. Обратная задача обеспечения требуемого закона движения

Компрессор автомобильный DC-20.
Автокомпрессор — это электрическое устройство, предназначенное для накачивания шин на колесах. В отличие от механического насоса, при
1581 руб
Раздел: Насосы, компрессоры автомобильные
Горка детская (большая).
Предназначена для игры на свежем воздухе или в игровой комнате. Игрушка выполнена из качественного материала. Цвета яркие и
5278 руб
Раздел: Горки
Набор детской складной мебели "Маленькая принцесса".
Комплект складной. Подходит для кормления, игр и обучения. Поверхность столешницы ламинированная с нанесением ярких познавательных
1795 руб
Раздел: Наборы детской мебели

65. Графы. решение практических задач с использованием графов (С++)

66. Теория вероятности решение задач по теории вероятности

67. Несколько способов решения одной геометрической задачи

68. Клиника и лечение трихомониаза у мужчин (Доклад)

69. Задачи по терапии

70. Задачи и принципы лечебного питания
71. Почерковедческая экспертиза: предмет, объекты, задачи, подготовка материалов
72. Дознание. Его виды (Доклад)

73. Изучение и разработка очистки стоков от ионов тяжелых металлов (Доклад)

74. Чернобыльская авария (Доклад)

75. Учебно-воспитательная деятельность учителя. Личностные качества учителя (Доклад)

76. Цели и задачи педагогики

77. Педагогические взгляды Белинского и их связь с задачами литературы

78. Процесс становление власти в России (Доклад)

79. Ангола после обретения независимости (Доклад)

80. Гана до обретения независимости (Доклад)

Карточки Первого Года "Достижения" (16 карточек).
Карточки Первого Года жизни ребенка "Достижения" – совершенно новый способ наблюдать, как растет и меняется малыш от месяца к
352 руб
Раздел: Прочее
Наклейки на стену "Космос", светящиеся в темноте (62 штуки).
Удивительный набор "Космос" от Djeco представляет собой 62 фосфоресцентные пластиковые наклейки для декора комнаты. Наклейки
879 руб
Раздел: Интерьерные наклейки
Овощечистка "Mayer & Boch".
Овощечистка - это удобный инструмент, с помощью которого удобно чистить овощи и фрукты как с тонкой, так и со слишком толстой кожурой.
308 руб
Раздел: Овощечистки, рыбочистки

81. Гражданское общество и либерализм (Доклад)

82. Получение, использование цемента и его продуктов (Доклад)

83. Возможности радиолокационного тренажера NMS-90 и его использование для решения задач расхождения судов в условиях ограниченной видимости

84. Механизмы Высокотемпературного Радационного Охрупчивания (Доклад)

85. Клиническая психология: предмет, задачи, виды диагностики

86. Предмет и задачи психологии как науки
87. 6 задач по теории электрических цепей
88. Эниология как паранаука (Доклад)

89. Картофель (как важная кормовая и техническая культура) (Доклад)

90. Социологическое исследование на тему "Вредные привычки среди молодежи" (Доклад)

91. Концепции "Я" у Ч.Кули и Дж.Мида (Доклад)

92. Предмет и задачи курса социологии

93. Устройство глаза человека (Доклад) (WinWord 98)

94. Решение обратной задачи вихретокового контроля

95. Задачи (с решениями) по сопромату

96. О вреде курения и алкоголизма (Доклад)

Беговел Tech Team "Big 10", цвет: серый (2018 г).
Детский беговел с платформой и надувными колесами. Ориентирован на малышей до 5 лет. Беговел - это маленький велосипед без педалей,
3000 руб
Раздел: Беговелы
Пирамида "Радуга", 29 см.
Пирамидка - замечательный тренажер для развития мелкой моторики и координации движений. Играя, ребенок знакомится с разными цветами,
320 руб
Раздел: Пластиковые
Набор чернографитовых карандашей "Graphic", 12 штук.
Набор чернографитовых карандашей содержит 12 заточенных карандашей различной твердости (5B-5H). Карандаши изготовлены из лучших пород
360 руб
Раздел: Чернографитные

97. Что такое лечебное голодание (Доклад)

98. Врачебный контроль, его цели и задачи

99. В.Б. Кирьянов "Задача равновесия"


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.