Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Аркфункции

Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный.
Оригинальный светильник-ночник-проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фанариков); 2) Три
350 руб
Раздел: Ночники
Горшок торфяной для цветов.
Рекомендуются для выращивания крупной рассады различных овощных и цветочных, а также для укоренения саженцев декоративных, плодовых и
8 руб
Раздел: Горшки, ящики для рассады
Совок №5.
Длина совка: 22 см.
19 руб
Раздел: Совки

Аркфункции Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции. Пример №1. Исследовать функции arcsi (1/x) и arccos(1/y) и построить их графики. Решение: Рассмотрим 1-ю функцию y y  y = arcsi (1/x) π/2 -π/2 Д(f): 1/x ≤ 1 ,   x ≥ 1 , ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; ∞ ) y x Функция нечетная ( f(x) убывает на пр. ) y Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є , но из условия cosec(y)=x следует si (y)=1/x, откуда π y=arcsi (1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x) Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; ∞ ) Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2). π/2 Решение: Д(f): -1 0 f(x) возрастает на пр. 1 x Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x). Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2 f(z) убывает на пр. от π2 до 0. Пример №4. Исследовать функцию y=arc g(1/(x2-1)) Решение: Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; ∞ ) Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках: y [ 0 ; 1 ) и ( 1 ; ∞ ) π/2 X 0 &l ; x &l ; 1 &l ; x &l ; ∞ 1 -1 u=1/(x2-1) -1 ↘ ∞ - ∞ ↘ 0 0 x y=arc g(u) - π/4 ↘ π/2 - π/2 ↘ 0 -π/4 -π/2 Тригонометрические операции над аркфункциями Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически  одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение. В силу определения аркфункций: si (arcsi (x)) = x ,     cos(arccos(x)) = x (справедливо только для x є ) g(arc g(x)) = x ,    c g(arcc g(x)) = x (справедливо при любых x ) Графическое различие между функциями, заданными формулами:                     y=x    и   y=si (arcsi (x)) Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями. Аргумент функция arcsi (x) arccos(x) arc g(x) arcc g(x) si si (arcsi (x))=x cos x g x 1 / x c g 1 / x x Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже: Т.к. cos2x si 2x = 1 и φ = arcsi (x) Перед радикалом следует взять знак “ ”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный. Значит, имеем Из тождества следует:   Имеем Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул. Пример №1. Преобразовать выражение Решение: Применяем формулу , имеем: Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств: Пример №3. Пользуясь . Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества: Пример №5. Положив в формулах , и , получим: ,  Пример №6. Преобразуем Положив в формуле ,  Получим: Перед радикалами взят знак “ ”, т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная. Соотношения между аркфункциями Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг. Теорема.

При всех допустимых х имеют место тождества: arccos(x) arcsi (x) -1 1 y x Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов). Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности. Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2). Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный si α и заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), следовательно Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса: А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса: Так, например: Аналогично: Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней). Выражение через арктангенс. Пусть , тогда Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный  и расположена в интервале (-π/2; π/2). Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2). Следовательно,        (1) (в интервале ( -1 : 1 ) Выражение через арксинус. Т.к. ,  то     (2) в интервале Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество        (3) Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например, Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции. Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку. Так, например, дуга  не может быть значением арксинуса. В этом случае Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях. Выражение арксинуса через арккосинус. Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае , а для функции имеем: так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т.е. число неотрицательное. Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:  Х>0      X&l ;0 При отрицательных значениях Х имеем Х&l ;0, а при положительных X>0, и Таким образом, имеем окончательно: если ,  (4)      , если График функции -1 1 Область определения есть сегмент ; согласно равенству (4),  закон соответствия можно выразить следующим образом:   , если , если Аналогично установим, что при имеем: , если же , то Таким образом:  , если     (5)  , если Выражение арктангенса через арккосинус.

Из соотношения  при имеем: Если же х&l ;0, то Итак,  , если      (6)  , если Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то При   имеем: Итак,  , если     (7)  , если Выражение арктангенса через арккотангенс.  , если х>0      (8)  ,если x&l ;0 При x>0 равенство (8) легко установить; если же x&l ;0, то . Выражение арксинуса через арккотангенс.  , если     (9)  , если Выражение арккотангенса через арксинус.  , если 0&l ;x     (10)  , если х&l ;0 Выражение арккотангенса через арктангенс.  , если x>0      (11)  , если x&l ;0 Примеры: Пример №1. Исследовать функцию Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим: Y y= 0 , если x>0 -π , если x&l ;0 На чертеже изображен график данной функции Пример №2. Исследовать функцию Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4). Т.к. , то получаем , откуда:  на сегменте Пример №3. Исследовать функцию Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4). Приняв во внимание равенство  , если  , если получим: y = 0 ,   если  , если Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями. При преобразовании выражений вида следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений: Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен si x;  и Областью определения функции  служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х. Так, например, при х=π/6 имеем: но при х=5π/6 В силу периодичности синуса функция arcsi x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте величиной 2π. Если значение х принадлежит сегменту то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла. Если значение х принадлежит сегменту , то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту ; и, так как , то имеем  y=π-х; в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту , то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим: y=х-2π Если значение х принадлежит сегменту , то y=-π-х Если значение х принадлежит сегменту , то y=х 2π Вообще, если , то y=х-2πk и если , то y=(π-х) 2πk График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев. Рассмотрим функцию Согласно определению арккосинуса, имеем: cos y = cos x, где Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π.

1. Аркфункции


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.