Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

Фонарь садовый «Тюльпан».
Дачные фонари на солнечных батареях были сделаны с использованием технологии аккумулирования солнечной энергии. Уличные светильники для
106 руб
Раздел: Уличное освещение
Забавная пачка денег "100 долларов".
Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь внимательней, и Вы увидите
60 руб
Раздел: Прочее
Фонарь желаний бумажный, оранжевый.
В комплекте: фонарик, горелка. Оформление упаковки - 100% полностью на русском языке. Форма купола "перевёрнутая груша" как у
87 руб
Раздел: Небесные фонарики

Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева КУРСОВАЯ РАБОТА студента 2-го курса: Полякова Е.В. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ Днепропетровск 2000г. 1. Общая постановка и анализ задачи. 1.1. Введение. Требуется найти определенный интеграл  I = по квадратурной формуле Чебышева. Рассмотрим, что представляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью вычислить приближенно интеграл. Известно, что определенный интеграл функции  типа  численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис.1). Рис. 1. Криволинейная трапеция. Если f(x) непрерывна на отрезке , и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по, известной всем, формуле Ньютона - Лейбница = F(b) - F(a)  где  F’(x) = f(x)  Однако во многих случаях F(x) не может быть найдена, или первообразная получается очень сложной для вычисления. Кроме того, функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование.  Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям подинтегральной функции f(x) в некоторых точках ( узлах ) отрезка .  Численное определение однократного интеграла называется механической квадратурой, а соответствующие формулы численного интегрирования - квадратурными .  Заменяя подинтегральную функцию каким-либо интерполционным многочленом, мы получим квадратурные формулы вида       где  xk - выбранные узлы интерполяции;  Ak - коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но  не от вида функции (k=0,1,2,., ).  R - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы.  Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения. При расчете к ней добавляются еще различные погрешности округления. Разобьем отрезок интегрирования на равных частей системой точек  xi= xo i.h; ( i = 0,1,2,., )  xo= a; x = b;  h= (b-a)/ ;  и вычислим подинтегральную функцию в полученных узлах  yi= f(xi) ; ( i = 0,1,2,., ) 1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа Пусть для y=f(x) известны в 1 точках X0,X1,X2.X промежутка соответствующие значения f(xi)=yi (i=0,1,2. ). Требуется приближенно найти По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа. Заменим f(x) полиномом L (x). Тогда    где R (f) – ошибка квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись выражением для L (x), получаем приближенную квадратурную формулу:  Для вычисления коэффициентов Аi заметим что: 1.коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x); 2.для полинома степени последняя формула точная. Пологая y=xK (k=0,1,2., ), получим линейную систему из 1 уравнений:   где   (k=0,1,., ), из которой можно определить коэффициенты А0,А1,.,А . Определитель системы есть определитель Вандермонда    Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома Лагранжа L (x) является излишним.

Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С.М. Никольским. Теперь рассмотрим несколько простейших квадратурных формул : 1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников. Заменим дугу АВ стягивающей ее хордой, получим прямолинейную трапецию аАВb, площадь которой примем за приближенное значение интеграла B y  0 a b x  рис 1.3.1 Криволинейная трапеция Рис. 1.3.2. Метод трапеций. Рис. 1.3.3. Метод средних прямоугольников. По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей — для метода трапеций: , для метода средних прямоугольников: . 1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула) Пусть =2m есть четное число и yi=f(xi) (i=0,1,2. ) - значения функции y=f(x) для равноотстоящих точек а=x0,x1, . ,x =b с шагом    Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку длины 2h и введя обозначения s1=y1 y2 . y2m-1 s2=y2 y4 . y2m получим обобщенную формулу Симпсона:   Остаточный член формулы Симпсона в общем виде:   где xk I (x2к-2,x2к) 1.5. Квадратурная формула Чебышева Рассмотрим квадратурную формулу вида:   функцию f(x) будем исать в виде когда f(x) многочлен вида f(x)=ao a1x . a x . Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах f(x1)=a0 a1x1 a2x12 a3x13 . a x1 f(x2)=a0 a1x2 a2x22 a3x23 . a x2 f(x3)=a0 a1x3 a2x32 a3x33 . a x3 . . . . . . . . . . . . . . . . f(x )=a0 a1x a2x 2 a3x 3 . a x получим формулу Чебышева.     Значения х1,х2,.,х для различных приведены в таблице 3. Таблица 3 – Значения х1,х2,.,х для различных .    I   i    i   i 2 1;2 ± 0,577350  6 1;6 ± 0,866247 3 1;3 ± 0,707107 2;5 ± 0,422519 2 0 3;4 ± 0,266635 4 1;4 ± 0,794654  7 1;7 ± 0,883862 2;3 ± 0,187592 2;6 ± 0,529657 5 1;5 ± 0,832498 3;5 ± 0,321912 2;4 ± 0,374541 4  0 3  0 2. Решение контрольного примера   где a=0 ; b= ; при =5; f(x) = si (x);  i  xi yi 1  0,131489  0,131118 2  0,490985  0,471494 3  0,785  0,706825 4  0,509015 0,487317 5  0,868511 0,763367 x1= p/4 p/4 1=p/4 p/4(-0,832498)=0,131489 x2= p/4 p/4 2=p/4 p/4(-0,374341)=0,490985 x3= p/4 p/4 3=p/4 p/4 0=0,785 x4=1- x2=1-0,490985 = 0,509015 x5=1- x1=1-0,131489=0,868511 y1=si (x1) = si (0,131489)=0,131118 y2=si (x2) = si (0,490985)=0,471494 y3=si (x3) = si (0,785)=0,706825 y4=si (x4) = si (0,509015)=0,487317 y5=si (x5) = si (0,868511)=0,763367 I = = =p/10 2,560121=0,8038779. 3. Описание программы I egral. pas. Алгоритм. Процедура VVOD - заполняет массив, содержащий в себе аргументы xi Процедура FORM - используя массив, содержащий аргументы xi заполняет массив yi Процедура CHEB - используя массивы xi и yi, высчитывает по квадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла. Процедура ABL - это подпрограмма, осуществляющая вывод таблицы узлов (аргумент - функция) При запуске программы нужно ввести границы интегрирования.

После ввода границ интегрирования используется процедура VVOD, а затем высчитывается и выводиться на экран шаг табулирования функции h. После этого используем процедуры FORM и CHEB . Получив результат, выводим таблицу ( процедура ABL ) и интеграл.  4. Заключение и выводы. Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное. Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же очень важно то, какой будет взят шаг интегрирования. Хотя численные методы и не дают очень точного значения интеграла, но они очень важны, так как не всегда можно решить задачу интегрирования аналитическим способом. Листинг программы. Программа написана на языке ubro Pascal 7.0 для MS-DOS. Ниже приведен ее листинг: program i egral; uses cr ; co s =5; k=-0.832498; l=-0.374541; z=0.0; ype aa=array of real; var x,y:aa;  a,b,h,ich:real; { заполнение х-сов в массив х } procedure vvod(var a,b:real;var c:aa); var i:i eger;   :aa; Begi :=k; for i:=1 o -1 do c:=1 - c } procedure form(var x:aa; var y:aa); var i:i eger; Begi for i:=1 o do y); {функция} e d;  { процедура для расчета интеграла по квадратурной формуле Чебышева } procedure cheb(var y:aa;var ich:real); var i:i eger; Begi ich:=0; for i:=1 o do ich:=ich y h; e d; { процедура вывода таблицы} procedure abl; var i:i eger; Begi wri el (' '); wri el (' i x y '); wri el (' '); wri el (' 1 ',k:9:6,' ',x:9:6,' '); wri el (' 2 ',l:9:6,' ',x:9:6,' '); wri el (' 3 ',z:9:6,' ',x:9:6,' '); wri el (' 4 ',l:9:6,' ',x:9:6,' '); wri el (' 5 ',k:9:6,' ',x:9:6,' '); wri el (' '); e d; Begi clrscr; wri el (' П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я'); wri el (' О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г ОИ Н Т Е Г Р А Л А '); wri el ; wri el ('Введите границы интегрирования a,b:'); readl (a,b); vvod(a,b,x); h:=(b-a)/ ; wri el ('h=',h:9:6); form(x,y); cheb(y,ich); abl; wri el ('I=',ich:8:6); e d. Вывод результата :    П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я  О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г ОИ Н Т Е Г Р А Л А  Введите границы интегрирования a,b:  0 1.5708  h= 0.314160     i x y     1 -0.832498 0.131556 0.131177   2 -0.374541 0.491235 0.471716   3 0.000000 0.785400 0.707108   4 -0.374541 0.508765 0.487099   5 -0.832498 0.868444 0.763325    I=0.804383 Список литературы: 1. Ракитин Т.А., Первушин В.А. “Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic“ 2. Крылов В.И. “Приближенные вычисления интегралов“ - М. : Физмат. 3. Демидович и Марон “Основы вычислительной математики“ 4. Копченова и Марон “Вычислительная математика в примерах и задачах” 5. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. Минск.: 1989 г.  6. Зуев Е.А. Язык программирования urbo Pascal. М.1992 г.  7. Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль. М. 1988 г.

Использование этого способа позволяет получить более точные результаты вычисления влияния факторов по сравнению со способами цепной подстановки, абсолютных и относительных разниц и избежать неоднозначной оценки влияния: в данном случае результаты не зависят от местоположения факторов в модели, а дополнительный прирост результативного показателя, возникающий из-за взаимодействия факторов, распределяется между ними поровну. Для распределения дополнительного прироста недостаточно взять его часть, соответствующую количеству факторов, т.Pк. факторы могут действовать в разных направлениях. Поэтому изменение результативного показателя измеряется на бесконечно малых отрезках времени, т.Pе. производится суммирование приращения результата, определяемого как частные произведения, умноженные на приращения факторов на бесконечно малых промежутках. Операция вычисления определенного интеграла решается с помощью ПЭВМ и сводится к построению подынтегральных выражений, которые зависят от вида функции или модели факторной системы

1. Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла

2. О вычислении коэффициентов и узлов одной квадратурной формулы

3. Разработка программы расчета определенного интеграла по формуле Буля по схеме двойного пересчета с заданной точностью

4. Основные формулы тригонометрии. Таблица частных случаев для тригонометрических функций. Таблица углов sin, cos, tg, ctg

5. Формулы по алгебре, тригонометрии, электродинамике (Шпаргалка)

6. Формулы и шпоры 10-11 кл. (информатика, геометрия, тригонометрия ...) (Шпаргалка)
7. Формулы по алгебре
8. Тригонометрические формулы на начало 10-го класса

9. Формулы по математике (11 кл.)

10. Формула Алексея Юрьевича Виноградова для начала вычислений по методу прогонки Годунова для краевых условий любой сложности

11. Технология аэродинамической трубы для болидов Формулы 1

12. Шпаргалка по формулам "Макроэкономика"

13. Особенная стать и формула России

14. Комбинаторные формулы

15. Формулы (математика)

16. Все формулы по математике в школе

Качели детские подвесные "Вятушка".
Подвесные качели "Вятушка" станут необходимым атрибутом активного отдыха. Качели имеют цельный, жесткий трубчатый каркас с
557 руб
Раздел: Качели
Набор эмалированных кастрюль "Mayer & Boch" (3 предмета).
Набор эмалированных кастрюль с крышками из термостойкого стекла. Кастрюли - 3 штуки, стеклянные крышки - 3 штуки. Материал: углеродистая
844 руб
Раздел: Наборы кастрюль
Асборн - карточки. Дорисуй, найди, раскрась.
В этом наборе вы найдёте 50 многоразовых двусторонних карточек с яркими добрыми картинками животных, а также фломастер на водной основе.
389 руб
Раздел: Прочие

17. Формулы сложения вероятностей

18. Новые формулы для вычисления планковских единиц

19. Диспут и формула Кардано

20. Формула Шлетца

21. Формулы по математическому анализу

22. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
23. Формула персонального брендинга
24. Простая формула для определения коэффициента трения в смазываемых дисковых вариаторах

25. Основные понятия и формулы

26. Формула успеха

27. Формула читабельности Флеша

28. Можно ли создать формулу успешного продукта

29. Седельный тягач с колесной формулой 4*2 с разработкой дифференциала повышенного трения

30. Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла

31. Все формулы школьной физики

32. Шпаргалка по политэкономии:формулы

Корзина универсальная, 550x170x395 мм.
Материал: пластик. Размер: 550x170x395 мм. В ассортименте без возможности выбора.
390 руб
Раздел: Корзины для стеллажей
Набор для приготовления роллов "Мидори".
С набором "Мидори" Вы сможете приготовить роллы различной формы в домашних условиях. В комплект входят специальные
562 руб
Раздел: Принадлежности для суши
Настольная игра "Барабашка (Geistestesblitz)".
У вас в руках оказались фотокарточки, сделанные каким-то странным фотоаппаратом: фотографируя всего пять предметов, он постоянно путает их
1071 руб
Раздел: Внимание, память, логика

33. Формула латинского фонетического закона и ее применение

34. Mathcad: от графика к формуле, от расчета на компьютере к расчету в Интернет

35. Основные физические формулы

36. Основные формулы тригонометрии

37. Математические формулы

38. Формула любви или краткий FAQ по межличностным отношениям
39. Учет основных средств в условиях реформирования бухгалтерского учета в ООО "Формула"
40. Коллизионные нормы в международном частном праве. Основные формулы прикрепления

41. Знаходження значення функції за допомогою інтерполяційної формули Бесселя

42. Использование формул, функций и диаграмм в Excel

43. Построение ОВС для решения формулы

44. Составление формул и работа с ячейками

45. Вставка в тексты документов графических объектов и формул

46. Знаходження оберненої матриці за формулою

47. Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора

48. Формула любви: теория и методика применения

Солнцезащитная рулонная шторка для автомобиля Altabebe, арт. AL7030.
Солнцезащитная рулонная шторка для автомобиля Altabebe AL7030 - аксессуар, который защитит ребенка от ярких солнечных лучей при перевозке
660 руб
Раздел: Прочее
Статуэтка "Маленькая леди", 10 см.
Материал: фарфор. Регулярно удалять пыль или мыть тёплой водой. Товар не подлежит обязательной сертификации.
462 руб
Раздел: Миниатюры
Бумага для принтера "Svetocopy", формат А3, 500 листов.
Офисная бумага для принтера и техники SvetoCopy А3 относится к категории качества C и является самой популярной в офисном классе,
558 руб
Раздел: Формата А3 и больше

49. Химические формулы соединений

50. Краткое изложение материала статистики с формулами

51. Частотно-избирательные фильтры. Фильтр нижних частот Чебышева

52. Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

53. Математика. Интегралы

54. Вычисление двойных интегралов методом ячеек
55. Высшая математика, интегралы (шпаргалка)
56. Нахождение неопределенных интегралов

57. Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

58. Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции

59. Приближенное вычисление определенных интегралов

60. Нахождение интегралов в среде Pascal

61. Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов

62. Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

63. Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

64. Сингулярные интегралы

Кружка фарфоровая "FIFA 2018. World Cup Russia", 480 мл.
Объем: 480 мл. Материал: фарфор.
416 руб
Раздел: Кружки, посуда
Вешалки-плечики "Стандарт", комплект 10 штук, синие.
Вешалка-плечики металлическая, покрыта слоем ПВХ. Предназначена для бережного хранения одежды. Металличекая, покрытая слоем ПВХ. Размер:
333 руб
Раздел: Вешалки-плечики
Сахарница с ложкой "Mayer & Boch", 450 мл.
Оригинальная сахарница MAYER&BOCH выполнена из высококачественного стекла и нержавеющей стали. Данная модель отличается современным
655 руб
Раздел: Сахарницы


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.