Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Математическая кунсткамера /кое-что из истории геометрии/

Наклейки для поощрения "Смайлики 2".
Набор для поощрения на самоклеящейся бумаге. Формат 95х160 мм.
19 руб
Раздел: Наклейки для оценивания, поощрения
Фонарь желаний бумажный, оранжевый.
В комплекте: фонарик, горелка. Оформление упаковки - 100% полностью на русском языке. Форма купола "перевёрнутая груша" как у
87 руб
Раздел: Небесные фонарики
Совок большой.
Длина 21,5 см. Расцветка в ассортименте, без возможности выбора.
21 руб
Раздел: Совки

Позвольте пригласить вас на прогулку по математической кунсткамере, где собраны некоторые экспонаты, которые столь же отличаются от знакомых со школьных или вузовских времен математических образов, как ихтиозавры или какие нибудь трицератопсы от современных животных. Джин выходит из бутылки. Необычной является уже сама функция Дирихле, о которой говорилось выше. Ведь на самом маленьком отрезке оси абсцисс бесконечно много и рациональных и иррациональных чисел. Но функция Дирихле для рациональных чисел равна единице, а для иррациональных – нулю. Поэтому когда x пробегает ось абсцисс, то значение функции все время прыгает от 0 к 1 и обратно. Построить график этой функции совершенно невозможно, потому что эта функция во всех точках разрывна. Но и среди непрерывных функций есть функции с неожиданными свойствами. Например, может ли непрерывная функция иметь на конечном отрезке бесконечно много максимумов и минимумов? На первый взгляд это совершенно невозможно. Ведь функция должна успеть опуститься из точки максимума в точку минимума и т. д. Как же ей сделать все это на конечном отрезке? Тем не менее оказалось, что такие странные функции существуют, причем построить их совсем нетрудно. Построим такую функцию на отрезке . Для этого разделим отрезок пополам и построим на левой половине равносторонний треугольник. Теперь разделим оставшуюся правую половину снова на две равные части и на части построим второй равносторонний треугольник. Выполним описанную операцию бесконечно много раз. У нас получится «горная цепь», состоящая из бесконечного числа вершин, постепенно опускающаяся к точке 1 0 1 Рис. 12(рис. 12). Примем полученную ломанную за график функции f(x). Тогда функция будет определена в каждой точке отрезка , за исключением крайней правой точки 1. В этой точке положим f(1)=0. Так как при приближении к точке 1 высоты вершин стремятся к нулю, полученная нами функция непрерывна во всех точках отрезка . А число максимумов и минимумов на этом отрезке бесконечно велико! Математику XVIII в., чтобы построить такую странную функцию, понадобилось бы долго комбинировать различные функции, прежде чем он догадался бы, что функция { x cos(?/x), если x?0 F(x)= { 0, если x=0 имеет бесконечно много максимумов и минимумов на отрезке . Но функции с бесконечным числом максимумов и минимумов были лишь началом неприятностей, ожидавших математиков. Джинн только начал выходить из бутылки. “Мокрые точки”. У функции, которую мы построили в предыдущем пункте, есть лишь одна точка, около которой бесконечно много максимумов и минимумов, а именно точка 1. Сейчас мы построим другую функцию, у которой таких точек будет куда больше. Предположим, что на отрезок оси абсцисс падает сверху дождь. Для защиты от дождя поступим следующим образом. Разделим отрезок на три равные части и возведем над средней частью палатку в форме равностороннего треугольника. Она защитит от дождя все точки средней части (кроме концов этой части, то есть точек 1/3 и 2/3). Теперь каждую из оставшихся двух частей снова разделим на три равные части и защитим средние части палатками той же формы ( но втрое меньшего размера).

Рис. 13 У нас получится линия, изображенная на рис. 13. На третьем шаге процесса мы построим еще четыре палатки, потом еще восемь и т. д. Возникает вопрос: все ли точки отрезка защищены получившейся пилообразной линией или остались точки, которые дождь намочит? Некоторые из таких “мокрых” точек указать легко – ими являются концы защищаемых отрезков (то есть такие, ка 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9 и т. д.). Все эти точки остаются без защиты при возведении соответствующей палатки, а последующие палатки их тоже не защищают. Легко видеть, что таких концов будет бесконечное, но счетное множество. Колючая линия. На протяжении многих столетий математики имели дело лишь с линиями, почти в каждой точке которых можно было провести касательную. Если и встречались исключения, то только в нескольких точках. В этих точках линия как бы ломалась, и потому их называли точками излома. В течение долгого времени никто из математиков не верил, что может существовать непрерывная линия, целиком состоящая из зубцов, изломов и колючек. Велико было изумление, когда удалось построить такую линию, более того, функцию, график которой был такой колючей изгородью. Первым это сделал Больцано. Но его работа осталась неопубликованной, и впервые такой пример опубликовал Вейерштрасс. Однако пример Вейерштрасса очень трудно изложить – он основан на теории тригонометрических рядов. Пример же Больцано напоминает линии, которые мы строили раньше. Вот этот пример с небольшими изменениями. Разделим отрезок на четыре равные части и над двумя средними частями построим равнобедренный треугольник (рис. 16, а). Получившаяся линия является графиком некоторой функции, которую обозначим через y=f 1(x).а б 0 1 0 1в0 1 Рис. 16 Разделим теперь каждую из четырех частей еще на четыре равные части и в соответствии с этим построим еще четыре равнобедренных прямоугольных треугольника (рис. 16, б). Мы получим график второй функции y=f 2(x). Если сложить эти две функции, то график суммы y=f 1(x) y=f 2(x) будет иметь вид, изображенный на рис. 16, в. Видно, что получившаяся линия имеет уже больше изломов и эти изломы гуще расположены. На следующем шаге мы снова разделим каждую часть еще на четыре части, построим 16 равнобедренных прямоугольных треугольников и прибавим соответствующую функцию y=f 3(x) к функции y=f 1(x) y=f 2(x). Продолжая этот процесс, мы будем получать все более и более изломанные линии. В пределе получится линия, у которой излом в каждой точке и ни в одной точке к ней нельзя провести касательную. Похожий пример линии, нигде не имеющей касательной построил голландский ученый Ван-дерВарден. Он взял равносторонний треугольник, разделил каждую его сторону на три равные части и на средних частях построил новые равносторонние треугольники, смотрящие наружу. У него получилась звезда. Теперь каждую из двенадцати сторон этой звезды он разделил еще на три части и снова на каждой из средних частей построил правильный треугольник. Получилась еще более колючая линия, в каждой точке которой есть излом, колючка. Рис. 17 Рис. 18 Математики построили много непрерывных функций, графики которых не имели касательной ни в одной точке, и начали изучать их свойства.

Эти свойства совсем не походили на свойства “добропорядочных” гладких функций, с которыми они до тех пор имели дело. Поэтому математики, воспитанные в классических традициях, с изумлением смотрели на новые функции. Более того, виднейший представитель классического математического анализа Шарль Эрмит так писал своему другу, голландскому математику Стилтьесу. “Я с ужасом отворачиваюсь от этой достойной сожаления язвы непрерывных функций, не имеющих производной ни в одной точке” ( то есть, как мы их называли, всюду колючих линий). В физике встречаются линии, очень напоминающие колючие линии Ван-дер- Вардена и других. Это – траектории частиц, совершающих под ударами молекул броуновское движение. Французский ученый Ж. Перрен сделал зарисовки движения таких частиц. Он наблюдал их положения через каждые полминуты и соединял полученные точки прямолинейными отрезками. В результате у него получились запутанные ломанные, вроде изображенных на рис. 18. Но не следует думать, что в действительности между отдельными наблюдениями частица двигалась по прямой. Если бы Перрен наблюдал ее не через полминуты, а через полсекунды, то каждый прямолинейный отрезок пришлось бы заменить ломаной, столь же сложной, как и ломанные на рис. 18. И чем меньше были бы промежутки между наблюдениями, тем сложнее и “колючее” становилась бы ломаная. Американский математик Н. Винер показал, что движение броуновской частицы, настолько малой, что ее инерцией можно пренебречь, совершается по линии, нигде не имеющей касательной. Как делают статуи. Про многих знаменитых скульпторов рассказывают, что на вопрос, как удается делать столь замечательные статуи, следовал ответ: “Я беру глыбу мрамора и отсекаю от нее все лишнее”. В разных книгах это можно прочитать о Микеланджело, о Торвальдсене, о Родене. Тем же самым способом можно получить любую ограниченную плоскую геометрическую фигуру: надо взять какой-нибудь квадрат, в котором она лежит, а потом отсечь все лишнее. Однако отсекать надо не сразу, а постепенно, на каждом шагу отбрасывая кусочек, имеющий форму круга. При этом сам круг выбрасывается, а его граница – окружность – остается в фигуре. На первый взгляд кажется, что так можно получить лишь фигуры такого вида, ка на рис. 23. Но все дело в том, что отбрасывают не один и не два круга, а бесконечное, точнее говоря, счетное множество кругов. Таким путем можно получить любую фигуру. Чтобы убедиться в этом достаточно принять во внимание, что множество кругов, у которых рациональны и радиус и обе координаты центра, счетное. А теперь чтобы получить любую фигуру, достаточно взять содержащий ее квадрат (глыбу мрамора) и обросить все круги указанного выше вида, которые не содержат ни одной точки нужной нам фигуры. Если же выбрасывать круги не из квадрата, а из всей плоскости, то описанным приемом можно получить и неограниченные фигуры Рис. 23 А все таки их можно измерить. Над тем, что такое площадь фигуры, математики задумывались еще до открытия неквадрируемых областей. До этого на протяжении многих тысячелетий ученые пользовались понытиями длины, площади, объема, не подвергая их строгому критическому анализу.

Здесь возникает вопрос о необходимости появления новой математики. Р-адические числа и т. п. Это тема отдельного разговора. Однако, учитывая то, что они имеют прямое отношение к живому веществу и раку, кое-что мы считаем необходимым затронуть. Гильберта, в соответствии с математическими вкусами того времени, волновал вопрос о «независимости» его аксиом: нельзя ли сократить его систему аксиом, выведя какую-то аксиому из остальных. То есть он хотел в геометрии вывести несводимый закон... В своей книге Гильберт подробно исследует этот вопрос, в частности, показывая, что аксиома Архимеда от остальных аксиом независима. Для этого он строит «модель» геометрии, в которой все аксиомы, кроме аксиомы Архимеда, выполнены, а сама аксиома Архимеда – нет. Эту модель он и называет «неархимедовой геометрией». Грубо говоря, модель состоит в том, что в качестве координат точек берутся не действительные числа, но элементы некоторого «неархимедовски упорядоченного поля». Надо подчеркнуть, что Гильберта интересовал именно вопрос о независимостиаксиомы Архимеда, а не свойства неархимедовой геометрии как таковой

1. Семь чудес света - древний мир, средние века и наше время (история цивилизации, реферат)

2. История природы и история человечества

3. История болезни - Акушерство (история родов)

4. История болезни - Акушерство (история родов)

5. История развития начертательной геометрии

6. История геометрии
7. Курс лекций по истории Отечества - основа для докладов и выступлений
8. Росписи Успенского собора Княгинина монастыря XVII века в г. Владимире. История создания памятника.

9. История появления реактивной авиации

10. История авиации

11. Роль микроэлементов в обменных процессах растений и на накоплении ими биологически активных веществ (Реферат (обзор литературы) () WinWord 97)

12. История развития пистолета

13. История развития и выдающиеся конструкторы российского оружия

14. История российской гражданской обороны

15. Конспект истории великих географических открытий

16. История города Пермь

Настольная игра "Каркассон. Королевский подарок".
Размеренная жизнь феодальных владений в окрестностях Каркассона привлекает множество людей со всех уголков Франции. В городах ведётся
1990 руб
Раздел: Классические игры
Детская горка, цвет: зелёный/красный, скат 140 см.
Для активного летнего отдыха вам пригодится пластиковая горка Долони. Горка изготовлена из яркого пластика и украсит любую детскую комнату
2200 руб
Раздел: Горки
Шкатулка декоративная для ювелирных украшений "Вокруг света", 18,5x13,5x7,5 см.
Шкатулка декоративная для ювелирных украшений. Размер: 18,5x13,5x7,5 см. Материал: МДФ, комбинированные материалы. В ассортименте, без
873 руб
Раздел: Шкатулки для украшений

17. История Астраханской области

18. Геологическая история развития Австралии. Большой Водораздельный хребет

19. Периодизация истории развития административной юстиции в России

20. Билеты к экзамену по истории государства и права зарубежных стран (Шпаргалка)

21. Гражданское право в ходе истории

22. История государства и права зарубежных стран (Контрольная)
23. История государства и права зарубежных стран (Контрольная)
24. История инквизиции

25. История права и государства

26. Ответы на билеты по истории Украины

27. Контрольная работа по всеобщей истории государства и права

28. История Канады

29. История мирового развития в XX веке на примере Великобритании, США и Японии

30. История Казахстана

31. Ответы на экзаменационные вопросы по Истории Государства и Права Зарубежных стран

32. Словарь терминов (по истории зарубежных стран)

Ниблер с подкручивающейся ручкой Happy Baby "Nibbler twist" (lime).
Отличный помощник малышу. Необходим для того, чтобы ребенок мог есть любимые фрукты или овощи без риска подавиться. Подкручивающий
499 руб
Раздел: Ниблеры
Рюкзак для старших классов "Сладости", 41x32x14 см.
Рюкзак для старших классов, студентов, молодежи. 1 основное отделение, 1 дополнительный карман. Материал: водоотталкивающая ткань. Широкие
621 руб
Раздел: Без наполнения
Карандаши цветные "Jumbo. MAXI", 12 цветов.
Высококачественные карандаши. Яркая упаковка с изображениями лошадей обязательно понравится детям. Легко затачивается. Очень мягкий
374 руб
Раздел: 7-12 цветов

33. История и культура народов Огненной Земли

34. История России (шпаргалка)

35. История государства и права России

36. История государства и права России

37. История государства и права России (Контрольная)

38. История развития земельного права России
39. Ответы на экзаменационные вопросы по истории
40. Контрольная работа по всеобщей истории государства и права

41. Реферат о Пугачеве

42. История древнего Пскова

43. История названия улицы имени 13-й гвардейской дивизии

44. История Шапшугского района

45. История отечественного государства и права

46. История Плевенской эпопеи

47. История города Надыма

48. Билеты и ответы по Отечественной истории (Омск, 2003г.)

Кружка фарфоровая "FIFA 2018. World Cup Russia", 480 мл.
Объем: 480 мл. Материал: фарфор.
416 руб
Раздел: Кружки, посуда
Вешалки-плечики "Стандарт", комплект 10 штук, синие.
Вешалка-плечики металлическая, покрыта слоем ПВХ. Предназначена для бережного хранения одежды. Металличекая, покрытая слоем ПВХ. Размер:
333 руб
Раздел: Вешалки-плечики
Сахарница с ложкой "Mayer & Boch", 450 мл.
Оригинальная сахарница MAYER&BOCH выполнена из высококачественного стекла и нержавеющей стали. Данная модель отличается современным
655 руб
Раздел: Сахарницы

49. Шпора по истории (с древних времен и до наших дней)

50. История уголовного права России в советский период

51. История образования Москвы

52. История России XVI-XVIII вв.

53. Шпаргалка по истории России

54. История Рогнединского района
55. Государственные Думы России: история и современность
56. История экономики России XVII-XVIII веков

57. История экономики России XX века. 1900 – 1917 годы

58. Шпаргалки по истории политических учений

59. Краткие лекции по истории политических и правовых учений (к зачету-тестированию)

60. История политических партий

61. ООН: история создания и основные направления деятельности

62. Местное самоуправление в России: история и современное правовое регулирование

63. История государства и права ЗС

64. История страхования

Подгузники "Ушастый нянь", 3 Midi (4-9 кг), 56 штук.
Детские одноразовые подгузники «Ушастый нянь» изготовлены из особо мягких и дышащих материалов, которые нежно контактируют с
536 руб
Раздел: 6-10 кг
Светильник "Черепаха", желтый.
Интересный светильник-ночник в виде игрушки «Черепаха». Три режима работы. Батарейки АА - 3 шт. Есть возможность запитать светильник от
449 руб
Раздел: Необычные светильники
Пазл "Собака", 697 элементов.
Собака и человек вместе с глубокой древности. Собрав этот пазл, Вы получите уникальное фигурное изображение самого верного друга человека
315 руб
Раздел: Пазлы (400-999 элементов)

65. История страхового дела в России

66. The history of railways (История железных дорог)

67. История изучения англоязычного военного жаргона

68. История Германии

69. Региональная культура и история на уроках немецкого языка в средней школе

70. История развития Греко-Римской борьбы в Республике Северная Осетия-Алания
71. The History of Alaska (история Аляски)
72. История рок музыки в Великобритании

73. История открытия первобытного искусства

74. Особенности пещерного искусства. История открытия и изучения (Ляско, Коске, Шове, Гаргас и другие)

75. История развития мирового кино

76. История развития музыкальной культуры Хакасии (ее взаимодействие и взаимообогащение с русской музыкальной культурой)

77. Календарь - история и будущее

78. История культуры Древнего Востока (Египет. Месопотамия. Иран. Сирия. Финикия. Палестина)

79. Альд Пий Мануций (история развития полиграфии)

80. История театра древней Греции, Рима и средневековья

Магниты "Junior", 34 мм, белые,.
Диаметр: 34 мм. Сила: 1,3 кг. Материал: цельный ферритный магнит. Количество: 10 штук. Цвет: белый.
352 руб
Раздел: Магниты канцелярские
Бумага чертежная "Mega Engineer", А1, 5 листов, 200 г/м2.
Бумага чертежная (ватман) предназначена для всех видов чертежных и графических работ. Используется для работы карандашом, линером,
333 руб
Раздел: Прочая
Гель "Meine Liebe" для стирки цветных тканей, 800 миллилитров.
Эффективно удаляет грязь, сохраняя цвет вещей, предохраняя одежду от выцветания. Содержит натуральные смягчители, поэтому ткани становятся
315 руб
Раздел: Гели, концентраты

81. История русского календаря

82. Обзор книги К. Куманецкого "История культуры Древней Греции и Рима"

83. История развития телевидения в Беларуси

84. Очерк из истории Русской культуры советского и постсоветского периода

85. История изучения проблемы культуры, предмет культурологии

86. История костюма древности
87. История искусства древнего Китая
88. "Необыкновенная история" И.А.Гончаров

89. История украинской журналистики

90. Судьба доктора Сартанова в романе В. Вересаева "В тупике". История создания и публикации романа

91. Арбузов: биография, анализ творчества, пьеса "Иркутская история"

92. Использование художественной литературы на уроках истории

93. Проблема истории в художественных произведениях А.С. Пушкина

94. Творческая история рассказа Л.Н.Толстого "За что?" (документальный источник и художественные подступы к теме)

95. История литературы Соединенных Штатов Америки

96. Исповедальная поэма Н. А. Некрасова «Уныние» (1874): проблематика, поэтика, история восприятия

Статуэтка "Маленькая леди", 10 см.
Материал: фарфор. Регулярно удалять пыль или мыть тёплой водой. Товар не подлежит обязательной сертификации.
462 руб
Раздел: Миниатюры
Бумага для принтера "Svetocopy", формат А3, 500 листов.
Офисная бумага для принтера и техники SvetoCopy А3 относится к категории качества C и является самой популярной в офисном классе,
558 руб
Раздел: Формата А3 и больше
Игра настольная развивающая "Лесные животные".
Обучающая игра пазл-липучка состоит из 8 игровых полей, заполняя которые, ребенок изучает названия диких животных, а также их повадки.
592 руб
Раздел: Сортеры, логические игрушки

97. История зарубежной литературы

98. История творчества группы "Ария"

99. История группы "Rammstein"


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.