Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Алгебраические числа

Ручка "Помада".
Шариковая ручка в виде тюбика помады. Расцветка корпуса в ассортименте, без возможности выбора!
25 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Забавная пачка денег "100 долларов".
Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь внимательней, и Вы увидите
60 руб
Раздел: Прочее
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный.
Оригинальный светильник-ночник-проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фанариков); 2) Три
350 руб
Раздел: Ночники

Содержание.1. Введение 2 2. I. Краткий исторический очерк 3 3. II. Поле алгебраических чисел 4 4. 2.1. Понятие числового поля 4 5. 2.2. Алгебраическое число 5 6. 2.3. Поле алгебраических чисел 11 7. III. Рациональные приближения алгебраических чисел 14 8. 3.1 Теорема Лиувиля 14 9. 3.2 Трансцендентные числа Лиувиля 16 10. Заключение 18 Курсовая по алгебре Тема: «Алгебраические числа» Введение. Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности. Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел. Если рассматривать корни многочленов: f(x)=x a1x -1 a с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда этот многочлен имеет степень =1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел. I. Краткий исторический очерк. Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы К. Гаусса (1777-1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида a bi, где a и b – обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел. Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера (1810- 1893) и Дирихле (1805-1859) и развита затем Кронекером (1823-1891), Дедекиндом (1831-1916) и Е.И. Золотаревым (1847-1878). Работы Лиувилля (1809-1882) и Эрмита (1822-1901) явились основой трансцендентных чисел. Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота. В последнее время все большее внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел. Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном вычете. К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, а так же работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм. II. Поле алгебраических чисел. 2.1 Понятие числового поля Естественный и важный подход к выделению и изучению тех или иных множеств чисел связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или иных действий. Определение 1: Мы говорим, что некоторое множество чисел М замкнуто относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел их М, для которых определен результат данного действия над ним, число, является этим результатом, всегда принадлежащим М.

Пример: 1) Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения, т.к. (a, b( (( (a b) ( . В отношении умножения множество так же замкнуто. Но оно не является замкнутым относительно вычитания и деления. Действительно: 5, 7 ( , но 5-7=-2 ( , 3, 2( , но 3:2=1,5 ( 2) Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. 3) Множество чисел вида 2к, к( , замкнуто относительно умножения и деления. 2к(2l=2k l 2к:2l=2k-l В связи с замкнутостью действий на множестве выделились классы числовых множеств. Рассмотрим один их классов, называемых полем. Определение 2: Множество чисел М, содержащие не менее двух чисел, называется числовым полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления. Последнее означает, что для любых a, b (M, должно иметь место a b, a- b, a b (M. Так же для любого a(M и любого b(0 из М, должно выполняться a:b(M. Пример: Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются: 1) поле всех рациональных чисел; 2) поле всех вещественных чисел; 3) поле всех комплексных чисел. Что касается множества всех целых чисел, то оно не является числовым полем, ибо не замкнуто относительно деления. Существует бесконечно много числовых полей. Нас, в данном случае интересует поле алгебраических чисел. 2.2 Определение алгебраического числа. Существуют различные признаки, по которым их общего множества Z выделяю те или иные подмножества, подвергаемые специальному изучению. С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется выделение классов чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат тому или иному классу чисел. Определение 3: Число Z называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами: a x a -1x -1 a1x a0=0 (a0, a1, ,a (Z; a (0), т.е. выполняется: a z a -1z -1 a1z a0=0 Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными. В определении алгебраического числа можно допустить, чтобы коэффициенты a0, a1, ,a -1, a были любыми рациональными числами, поскольку, умножив левую и правую части уравнения на целое число, являющиеся общим кратным знаменателем всех коэффициентов, мы получили уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет наше число. К алгебраическим числам принадлежат, в частности, и все рациональные числа. Действительно, рациональное число z= (p, q( ) очевидно является корнем уравнения: qx-p=0. Также всякое значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим числом. Действительно, число z= (p, q( ) является корнем уравнения: qx -p=0. Существуют и другие алгебраические числа, нежели указанное выше. Пример: 1) Чиcло z= является алгебраическим. Действительно, возводя в квадрат обе части равенства, определяющего число z, получим: z2=2 2. Возводя в квадрат обе части этого равенства, получим: z4-10z2 25=24. Отсюда следует, что число z является корнем следующего уравнения: x4-10x2 1=0 2) Всякое число z=a bi, у которого компоненты a и b – рациональные числа, являются алгебраическими.

Докажем это. , получаем: . Следовательно, я является корнем уравнения: все коэффициенты которого целые числа. В дальнейшем мы будем рассматривать только действительные алгебраические числа, не оговаривая этого каждый раз. Из f(x)=0 следует f(z)((x)=0, где в качестве ((x) можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом для любого алгебраического числа z, из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени. Определение 4: Число называется степенью алгебраического числа z, если z есть корень некоторого многочлена -ой степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно не равного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем , корнем которого является z. Если корень многочлена -ой степени с целыми рациональными коэффициентами z не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени меньшей чем , то z не может быть корнем и тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени меньшей чем , т.е. z – алгебраическое число степени . Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени. Любая квадратическая иррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а 4-й степени биквадратическими иррациональностями. Пример: 1) - алгебраическое число 3-й степени, т.е. кубическая иррациональность. Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x3-2=0 и не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами. Определение 5: Если алгебраическое число -й степени z является корнем многочлена f(x)=x b1x -1 b ( (1) (1) с рациональными коэффициентами, то f(x) называется минимальным многочленом для z. Таким образом, минимальным многочленом для z называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равном единице, корнем которого является z. Если вместо многочлена (1) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени , корнем которого является z, то многочлен (1) может быть получен из него делением всех коэффициентов на старший член. Пример: 1) Минимальным многочленом для является x3-2, так как корень этого многочлена не является корнем какого-либо многочлена степени с рациональными коэффициентами. Теорема 1: Если f(x) минимальный многочлен алгебраического числа z и f(x) многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что F(z)=0, то f(x) делитель F(x), т.е. F(x)=f(x)g(x), где g(x) также многочлен с рациональными коэффициентами. Доказательство: Согласно известной теореме алгебры F(x) можно представить в виде: F(x)=f(x)g(x) r(x) где g(x) и к(ч) – многочлены с рациональными коэффициентами, причем степень r(x) меньше степени f(x). Поскольку F(x)=0 и f(z)=0, то придавая x значение z, получаем r(z)=0; z – корень многочлена r(x) с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем у минимального для z многочлена, т.е

Пирогова в России и др. Решающую роль в развитии хирургии сыграло введение наркоза, асептики, антисептики. В 19-20 вв. происходит нарастающая дифференциация хирургии с образованием многих самостоятельных научно-практических дисциплин (анестезиология, нейрохирургия, урология и др.). ХИРЦЕБРУХ (Hirzebruch) Фридрих (р. 1928) - немецкий математик, иностранный член РАН (1991; иностранный член АН СССР с 1988). Труды по алгебраической геометрии, алгебраической топологии, комплексному анализу. ХИТАРОВ Николай Иванович (1903-85) - геолог и геохимик, член-корреспондент АН СССР (1964). Труды по экспериментальным исследованиям глубинных процессов. ХИТАТИ - город в Японии, на о. Хонсю. 202 тыс. жителей (1992). Центр горнопромышленного района. Цветная металлургия, машиностроение, химическая промышленность. "ХИТАТИ" ("Хитачи") - японская электротехническая компания по производству промышленного и бытового оборудования. Основана в 1910. Объем продаж 22,7 млрд. долл., чистая прибыль 680 млн. долл., число занятых 164 тыс. человек (кон. 1980-х гг.)

1. Требования, предъявляющиеся к терминам, научным понятиям и деффинициям. Критерии выбора темы научно - исследовательской работы

2. Научно-исследовательская работа студентов и пути ее совершенствования

3. Алгебраические числа

4. Основные направления научно-исследовательской работы в российском рекламном бизнесе

5. Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы

6. Договор на выполнение научно-исследовательских работ
7. Научно-исследовательская работа студентов
8. Научно-исследовательская работа школьников в РБ

9. Методика проведения школьной исследовательской работы

10. Оформление научно-исследовательской работы. Общие требования

11. Расчетно-графическая работа по специальным главам математики

12. Число как основное понятие математики

13. Разработка методического пособия для самостоятельной работы студентов по теме: "Газовые законы" (MS Word`97)

14. Проект социологического иследования на тему "Изменение отношения жителей Москвы к работе милиции в 1990 - 2000 гг."

15. Билеты по математике для устного экзамена и задачи по теме

16. Роль, место и значение исследовательской деятельности в работе менеджера

Защита от включения конфорок плиты, 4 штуки, прозрачный.
Защита на колпачки газовой плиты. Рукоятки не должны превышать 50 мм в диаметре, а расстояние между ними не меньше 67 мм.
605 руб
Раздел: Безопасность ребенка
Горка детская малая, арт. 11050.
Горка детская малая состоит из лесенки и желоба для скатывания. Горка очень устойчивая, изготовлена из яркого, прочного, нетоксичного
2067 руб
Раздел: Горки
Жироудалитель UNiCUM "Гризли. Мята", 500 мл.
Новая формула удаления жира без запаха химии. В основу формулы легли лучшие разработки российских и израильскихученых. Главными
328 руб
Раздел: Для плит, духовок

17. Самостоятельная работа учащихся с учебником в процессе изучения темы "Электрические явления"

18. Методика преподавание темы Обыкновенные дроби в школьном курсе математики

19. Основы планирования и управления программами научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ (НИОКР)

20. Международная экономика (кон.раб N3 по теме Организация и планирование научно-исследовательской и

21. Расчетно-графическая работа по высшей математике

22. Множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поля
23. Расходы по научно-исследовательским и опытно-конструкторским работам
24. Реализация класса для работы с комплексными числами

25. Активизация внеурочной работы по математике в средней школе

26. Методика преподавания темы: "Формы множественного и единственного числа имени существительного в английском языке. Артикль"

27. Развитие математических способностей учащихся в процессе внеклассной работы по математике в начальной школе

28. Самостоятельная работа учащихся на уроках математики

29. Урок–исследование как составная часть формирования исследовательского типа мышления учащихся и средство получения новых прочных знаний по математике

30. Деревянные конструкции (лабораторные работы)

31. Разработка основных разделов проекта производства работ

32. Кровельные работы

Подставка для ванны "Мишка", антискользящая, цвет: белый.
Подставка для ног предназначена для того, чтобы помочь малышу самостоятельно садиться на унитаз или пользоваться умывальником. Небольшой
353 руб
Раздел: Подставки под ноги
Логическая игра Bondibon "Замок загадок".
Построить красивый рыцарский замок – это мечта любого мальчишки! А если постройка замка – это не только интересная игра, но и
1585 руб
Раздел: Игры логические
Средство для прочистки канализационных труб "Потхан", 600 грамм.
Кондиционированное высокоэффективное средство для удаление засоров и неприятных запахов в канализационных трубах. Гранулированное. Вес: 600 грамм.
609 руб
Раздел: Для сантехники

33. Реактивные двигатели, устройство, принцип работы

34. Оценка безотказной работы технической аппаратуры (задачи)

35. Принцип работы и назначение телескопа

36. How "DNA" testing works Анализ "ДНК" как проверяющие работы)

37. Сообщение на тему: Суксцессия

38. Пути и способы повышения устойчивости работы РЭА
39. Организация боевых действий подразделений войск ПВО СВ (Методические указания к самостоятельной работе студентов под руководством преподавателя по тактико-специальной подготовке)
40. Воспитательная работа с личным составом в период подготовки к воинской службе (Виховна робота з особовим складом у період підготовки до несення служби військ)

41. Обеспечение работы с/х предприятия в условиях радиактивного заражения (WinWord)

42. Применение ЭВМ для повышения эффективности работы штаба ГО РАТАП

43. Спасательные и неотложные аварийно-восстановительные работы в очагах поражения

44. Контрольные вопросы для самопроверки (темы: "Предмет и задачи экономической географии" и другие)

45. Отчет о производственной практике менеджера сервисной службы компании (производство топографо-геодезических работ)

46. Концепция современного естествознания на тему "симметрия кристаллов"

47. Совершенствование организации работы отдела контроля за поступлением налогов с физических лиц

48. Исключительные права на средства индивидуализации товаров, работ, услуг и их производителей

Развивающая настольная игра "Кругозорник".
1,5 года разработчики трудились над созданием "Кругозорника": изучали учебные программы по окружающему миру, прорисовывали сотни
952 руб
Раздел: Карточные игры
Набор "Водный мир №4" (в коробке).
"Водный мир №4" содержит много элементов для игры с водой: 2 водяных мельницы, водяной насос, которым можно накачать водичку в
1417 руб
Раздел: Игровые и разнопредметные наборы
Карандаши цветные "Progresso", 12 цветов.
Бездревесные цветные карандаши "Progresso" имеют прочное лаковое покрытие, легко затачиваются с помощью обычной карандашной
339 руб
Раздел: 7-12 цветов

49. Контрольная работа по всеобщей истории государства и права

50. Международная организация труда- создание, структура, задачи и организация её работы

51. Статус депутатов местных Советов и формы их работы

52. Контрольная работа по Римскому праву

53. Прием и порядок переведения работника на другую работу

54. Трудовой договор (контракт) в системе трудовых правоотношений и кадровая работа на предприятиях
55. Особенности рассмотрения в судах трудовых споров о восстановлении на работе
56. Контрольная работа по экологическому праву

57. How "DNA" testing works Анализ "ДНК" как проверяющие работы)

58. Контрольная работа по Английскому языку

59. Темы английского для экзамена

60. Контрольная работа по английскому языку (Тюмень)

61. Экзаменационные темы по немецкому языку

62. Темы по английскому языку (English topics)

63. Принципы работы редактора над статьями в энциклопедическом издании (на примере детских энциклопедий издательства "Дорлинг Киндерсли")

64. Сравнительный анализ портретов Ф.И Шаляпина. Работы Б.М Кустодиева и К.А Коровина

Сковорода гриль-газ, мраморное антипригарное покрытие.
Гриль-газ для приготовления мяса и рыбы без жира в домашних условиях исключительно на газовых птитах. Материал углеродистая сталь.
1153 руб
Раздел: Сковороды гриль
Копилка "Металлический сейф с ключом", красная.
Качественный металлический сейф-копилка с двумя замками (кодовый и обычный) позволит Вам скопить приличную сумму на поездку, например.
1585 руб
Раздел: Копилки
Карандаши цветные "Evolution", 24 цвета.
Количество цветов: 24. Ультрапрочные цветные карандаши, изготовленные без использования древесины. В наборе 24 ярких цвета. Цветной
694 руб
Раздел: 13-24 цвета

65. Культурологическая проблематика в работе Л.Н.Гумилева "Этногенез и биосфера Земли"

66. Рецензия на телепрограмму "Тема"

67. Математика в Элладе. Фалес Милетский

68. Комплекты тем сочинений для проведения письменного экзамена по литературе в 11х классах общеобразовательных учреждений 2001 – 2002 учебный год

69. Тема Родины в поэзии Блока

70. Тема дружбы и образы друзей в лирике Пушкина
71. Тема вольности в произведениях А.С. Пушкина
72. Мое отношение к литературе на военную тему

73. Развитие морской темы в повести К.М. Станюковича "Вокруг света на "Коршуне"" и романе Ф. Купера "Красный Корсар"

74. Творческая история рассказа Л.Н.Толстого "За что?" (документальный источник и художественные подступы к теме)

75. Тема "маленького человека" в произведениях Федора Михайловича Достоевского

76. Тема любви в литературе

77. Тема подвига советского народа в Великой Отечественной войне в литературе

78. Тема Родины в творчестве Федора Абрамова ("Пряслины")

79. Тема свободы в лирике Пушкина

80. Тема чести в произведениях русских писателей 19 века

Тёрка универсальная Nadoba "Sava", четырёхсторонняя.
Тёрка универсальная четырёхсторонняя. Универсальные терки серии Sava изготовлены из высококачественной нержавеющей стали, обладают не
469 руб
Раздел: Тёрки, мультитёрки
Перчатки одноразовые "Paclan", латексные, размер S, 100 штук.
Прочные эластичные перчатки из латекса, предназначены для полной защиты рук во время уборки, приготовления пищи. Перчатки легко
492 руб
Раздел: Перчатки
Кружка фарфоровая "FIFA 2018. Забивака. Удар!", 400 мл.
Объем: 400 мл. Материал: фарфор.
358 руб
Раздел: Кружки, посуда

81. Тема войны и нравственности в произведениях современных писателей

82. Тема родины в лирике Есенина

83. Использование кабинета для внеклассной работы по иностранному языку

84. Тема судьбы в "Старшей Эдде"

85. Тема бала в русской классической литературе

86. Историческая тема в творчестве А.С. Пушкина
87. Тема любви в лирике Маяковского
88. Как работать со секвенсором "CAKEWAIK"

89. Реферат перевода с английского языка из книги “A History of England” by Keith Feiling

90. Готфрид Лейбниц - немецкий историк, математик, физик, юрист

91. Реферат по книге Фернана Броделя

92. Математики эпохи возрождения

93. Работа с редактором Vi. Другие текстовые редакторы UNIX

94. Принципы работы системы управления параллельными процессами в локальных сетях компьютеров

95. Работа маршрутизаторов в компьютерной сети

96. Модемы: назначение, сравнительный анализ моделей, принцип работы, эксплуатация на примере конкретной модели

Дневник в комплекте с пеналом "Джинс", цвет обложки синий.
Формат: А5+ (210х160 мм). Количество листов: 48. Внутренний блок: белый офсет 70 г/м2, печать в 1 краску. Способ скрепления:
354 руб
Раздел: Для старших классов
Пазл-рамка "Где чей домик?", дерево (2 слоя).
Вкладыши в игре сложной формы и поэтому, подбирать для них места на доске, занятие не самое простое. Для начала можно не вынимать животных
380 руб
Раздел: Рамки-вкладыши
Матрас в круглую кроватку Bambola (75x75x8 см).
С первых дней жизни здоровье малыша напрямую зависит от полноценного и комфортного сна. Правильно подобранный матрас для детской кроватки
1223 руб
Раздел: Матрацы до 120 см

97. Модемы, модемные стандарты, принцип работы

98. Принцип работы CD-ROM

99. Влияние мониторов на зрение. Мониторы с электронно-лучевой трубкой (ЭЛТ) или жидкокристаллические (ЖК). Усталость глаз при работе с мониторами

100. Разработка системы управления работой коммерческой компании


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.