Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Решение уравнений в целых числах

Ручка "Шприц", желтая.
Необычная ручка в виде шприца. Состоит из пластикового корпуса с нанесением мерной шкалы. Внутри находится жидкость желтого цвета,
31 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Фонарь желаний бумажный, оранжевый.
В комплекте: фонарик, горелка. Оформление упаковки - 100% полностью на русском языке. Форма купола "перевёрнутая груша" как у
87 руб
Раздел: Небесные фонарики
Забавная пачка "5000 дублей".
Юмор – настоящее богатство! Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь
60 руб
Раздел: Прочее

СОДЕРЖАНИЕ: Уравнения с одним неизвестным Уравнения первой степени с двумя неизвестными Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными Общий случай уравнения второй степени с двумя неизвестными Р А З Р А Б О Т К А П Р О Г Р А М М Программа №1 (уравнения с одним неизвестным) ВВЕДЕНИЕ Мой курсовой проект посвящен одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решению уравнений в целых числах. Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел. Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах, но даже и более простая задача установления существования конечного или бесконечного множества таких решений. В своем проекте я постаралась изложить некоторые основные результаты, полученные в теории; решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в нем, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты. 1. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ Рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным и - целые числа. Ясно, что решение этого уравнения будет целым числом только в том случае, когда . Таким образом, уравнение (1) не всегда разрешимо в целых числах; так, например, из двух уравнений , а второе в целых числах неразрешимо. С тем же обстоятельством мы встречаемся и в случае уравнений, степень которых выше первой: квадратное уравнение ; уравнение в целых числах неразрешимо, так как его корни ,иррациональны. Вопрос о нахождении целых корней уравнения -ой степени с целыми коэффициентами (2) решается легко. Действительно, пусть , делится без остатка; следовательно, каждый целый корень уравнения (2) является делителем свободного члена уравнения. Для нахождения целых решений уравнения надо выбрать те из делителей , которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. Так, например, из чисел 1, -1, 2 и -2, представляющих собой все делители свободного члена уравнения , только -1 является корнем. Следовательно это уравнение, имеет единственный целый корень . Тем же методом легко показать, что уравнение в целых числах неразрешимо. Значительно больший интерес представляет решение в целых числах уравнении с многими неизвестными. 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными - целые числа, отличные от нуля, а - произвольное целое. Будем считать, что коэффициенты не имеют общих делителей, кроме единицы. Действительно, если общий наибольший делитель этих коэффициентов отличен от единицы, то справедливы равенства и может иметь целые решения только в том случае, когда . Таким образом, в случае - все коэффициенты уравнения (3) должны делиться нацело на , придем к уравнению взаимно просты.

Рассмотрим сначала случай, когда . (3' ) Решая это уравнение относительно будет принимать целые значения в том и только в том случае, когда без остатка. Но всякое целое , где . Подставим это значение , и мы получаем формулы, содержащие все целые решения уравнения (3'): . Перейдем теперь к случаю . Покажем, прежде всего, что для нахождения всех целых решений уравнения (3) достаточно найти какое-нибудь одно его решение, т. е. найти такие целые числа, Т е о р е м а I. Пусть а и b взаимно просты и , (3) Тогда формулы дают все решения уравнения (3). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть - произвольное решение уравнения (3). Тогда из равенств . Так как взаимно просты, то имеет вид , и получаем . Таким образом доказано, что всякое решение имеет вид (4). Остается еще проверить, что всякая пара чисел , будет решением уравнения (3). Чтобы провести та кую проверку, подставим величины , но так как , т.е. - решение уравнения (3), чем теорема полностью доказана. Итак, если известно одно решение уравнения , то все остальные решения найдутся из арифметических прогрессий, общие члены которых имеют вид: . 3аметим, что в случае, когда , могут быть получены из только что выведенных формул , что можно сделать, так как значения являются, очевидно, решением уравнения , Как же найти какое-нибудь одно решение . Начнем с примера. Пусть дано уравнение Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных. Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби заменим равной ей дробью . Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью Повторяя те же рассуждения для дроби . Выделяя целую часть неправильной дроби Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби . Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда . Из сопоставления полученного равенства с уравнением будет решением этого уравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях . Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепкую дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были проведены выше. Для доказательства этого предположения будут нужны некоторые свойства цепных дробей. Рассмотрим несократимую дробь остаток от деления а на b. Тогда получим: - остаток от деления ; точно так же , называются неполными частными. Приведенный выше процесс образования неполных частных называется алгоритмом Евклида. Остатки от деления , (5) т. е. образуют ряд убывающих неотрицательных чисел. Так как количество неотрицательных целых чисел, не превосходящих b, не может быть бесконечным, то на некотором шаге процесс образования неполных частных оборвется из-за обращения в ноль очередного остатка r. Пусть - последний отличный от нуля остаток в ряде (5); тогда и алгоритм Евклида для чисел a и b примет вид (6) Перепишем полученные равенства в виде в первой строке этих равенств соответствующим значением из второй строки значение - выражением из третьей, строки и т.

д., получим разложение Выражения, получающиеся из цепной дроби при отбрасывании всех ее звеньев, начиная с некоторого звена, назовем подходящими дробями. Первая: подходящая дробь получится при отбрасывании всех звеньев, начиная с получается отбрасыванием всех звеньев, начиная с и т. д. В силу способа образования подходящих дробей возникают очевидные неравенства: в виде , и найдем закон образования числителей и знаменателей подходящих дробей, Преобразуем первые подходящие дроби ; Отсюда получаем: . Применяя индукцию, докажем, что соотношения того же вида . Действительно, пусть равенства (7) выполняются для некоторого . Из определения подходящих дробей непосредственно следует, что при замене в выражении . Согласно индукционному предположению . Отсюда, так как . Таким образом, из выполнения равенств (7) для некоторого равенства (7) - выполняется и, следовательно, их справедливость установлена для всех . Покажем теперь, что разность соседних подходящих дробей . (8) Действительно, . Пользуясь формулами (7), преобразуем числитель полученной дроби: . Выражение, стоящее в скобках, получается из исходного заменой . Повторяя такие же преобразования для получающихся выражений, получим, очевидно, цепь равенств: в цепную дробь имеет совпадает с получим , . Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, получим Отсюда следует, что пара чисел , (11) является решением уравнения (10) и согласно теореме все решения этого уравнения имеют вид Полученный результат полностью решает вопрос о нахождении всех целочисленных решений уравнения первой степени с двумя неизвестными. Перейдем теперь к рассмотрению некоторых уравнений второй степени. 3. ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ П р и м е р I. Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными: (12) Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников, т. е. прямоугольных треугольников, у которых и катеты выражаются целыми числами. Обозначим через : , и уравнение (12) примет вид и, значит, . Теперь уравнение (12) можно записать в виде . Мы пришли к уравнению того же вида, что и исходное, причем теперь величины не имеют общих делителей, кроме 1. Таким образом, при решении уравнения (12) можно ограничиться случаем, когда . Тогда хотя бы одна из величин ) будет нечетной. Перенося ; общий наибольший делитель выражений и взаимно просты. Подставляя в (13) значения и не имеют общих делителей, то полученное равенство возможно только в том случае, когда . Но тогда из равенств (14). Сложение этих равенств дает: . (16) Вычитая второе из равенств (14) из первого, получим из (15) получаем, что также нечетны. Более того, следовало бы, что величины , что противоречит предположению об их взаимной простоте. Числа связаны с взаимно простыми числами и в силу этого сами взаимно просты; , что ясно из равенств (14). Подставляя в равенства (15) - (17) , (18) дающие при нечетных взаимно простых все свободные от общих делителей тройки целых положительных чисел , удовлетворяющие уравнению (12). Простой подстановкой в уравнение (12) легко проверить, что при любых числа (18) удовлетворяют этому уравнению.

Исследования и статьи по истории Северного Причерноморья античной эпохи, М. — Л., 1953, с. 82—115; Гайдукевич В. Ф., Еще раз о восстании Савмака, «Вестник древней истории», 1962, №1. Диофантовы приближения Диофа'нтовы приближе'ния, часть теории чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами, или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств с действительными коэффициентами. Д. п. названы по имени древнегреческого математика Диофанта, который занимался задачей решения алгебраических уравнений в целых числах — так называемых диофантовых уравнений. Методы теории Д. п. основаны на применении непрерывных дробей, Фарея рядов и Дирихле принципа.   Задача о приближении одного числа рациональными дробями решается с помощью всех этих трёх методов и особенно с применением непрерывных дробей. Приближение действительного числа a подходящими дробями pklqk разложения a в непрерывную дробь характеризуется неравенством |a — pk/qk| < 1/qk2; с другой стороны, если несократимая дробь a/b удовлетворяет неравенству |a — а/b | < 1/2b2, то она является подходящей дробью разложения a в непрерывную дробь

1. Целая и дробная части действительного числа

2. Жизнь без целей или жизнь ради целей?

3. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

4. Разработка программного обеспечения решения нелинейных уравнений

5. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

6. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя
7. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
8. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

9. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

10. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом

11. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами

12. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

13. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

14. Применение графиков в решении уравнений

15. Решение смешанной задачи для уравнения

16. Методы решения уравнений в странах древнего мира

Шинковка "ШК-4".
Доска-шинковка для капусты деревянная, 3 ножа. Длина 50 см. Ширина 21,5 см.
442 руб
Раздел: Тёрки, мультитёрки
Дождевик Bambola для колясок, универсальный.
Элегантный, экологичный дождевик и на классическую коляску-люльку и на прогулочную коляску, подходит и для колясок с ручкой сзади
550 руб
Раздел: Дождевики, чехлы для колясок
Кружка "Котик черный".
Смешная щурящаяся мордочка кота и его маленькие ушки - вот, что делает эту кружку такой неотразимо милой! Округлая, сужающаяся кверху
367 руб
Раздел: Кружки

17. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

18. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

19. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

20. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

21. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

22. Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций
23. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)
24. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

25. Применение свойств функций для решения уравнений

26. Волновое уравнение не имеет единственного решения

27. Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах

28. Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией

29. Решение нелинейных уравнений

30. Применение графиков в решении уравнений

31. Методы решения уравнений, содержащих параметр

32. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

Подставка под кухонные приборы "Лавандовый букет".
Подставка предназначена для хранения столовых приборов. Очень практичная и функциональная подставка займет достойное место на вашей кухне
319 руб
Раздел: Подставки для столовых приборов
Набор чернографитных карандашей для правшей STABILO EASYgraph, 2 штуки.
Первые трехгранные чернографитные карандаши, специально разработанные для левшей и для правшей. Твердость - HB. Карандаши позволяют
347 руб
Раздел: Чернографитные
Фломастеры. CARIOCA, 36 цветов.
Количество цветов: 36. Толщина корпуса: стандартная. Длина корпуса с колпачком: 146 мм. Форма корпуса: круглая. Тип наконечника:
379 руб
Раздел: Более 24 цветов

33. Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

34. Численное решение модельного уравнения

35. Феноменологическое обоснование формы линейного элемента шварцшильдова решения уравнений гравитационного поля ОТО

36. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

37. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса

38. Разработка программного обеспечения для решения уравнений с одной переменной методом Ньютона (касательных)
39. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона
40. Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD

41. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

42. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

43. Решение системы линейных уравнений

44. Решение уравнений средствами Excel

45. Численное решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

46. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка

47. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений

48. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка

Автомобильный ароматизатор Deliss "Romance", аромат жасмина, ванили, ежевики.
Комплект для крепления на дефлектор автомобиля, состоящий из прибора и сменного блока ароматизатора.Жидкостный ароматизатор воздуха для
355 руб
Раздел: Прочее
Шинковка "ШК-4".
Доска-шинковка для капусты деревянная, 3 ножа. Длина 50 см. Ширина 21,5 см.
442 руб
Раздел: Тёрки, мультитёрки
Дождевик Bambola для колясок, универсальный.
Элегантный, экологичный дождевик и на классическую коляску-люльку и на прогулочную коляску, подходит и для колясок с ручкой сзади
550 руб
Раздел: Дождевики, чехлы для колясок

49. Графическое решение уравнений

50. Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2

51. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

52. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

53. Решение алгебраического уравнения n-ой степени

54. Решение дифференциальных уравнений
55. Решение иррациональных уравнений
56. Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами

57. Решение параболических уравнений

58. Решение систем дифференциальных уравнений

59. Решение уравнений в конечных разностях

60. Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора

61. Методы решения алгебраических уравнений

62. Методы решения систем линейных уравнений

63. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

64. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Набор смываемых мини-фломастеров, 16 шт.
Набор из 16 смываемых мини-фломастеров Crayola – идеальный комплект, который послужит развитию творческих способностей и фантазии,
589 руб
Раздел: 13-24 цвета
Одеяло летнее "Medium Soft", 140x205 см.
Одеяло Medium Soft Летнее Merino Wool 1,5 сп. Чехол - 100% микрофайбер. Наполнитель - овечья шерсть 100 гр/кв.м. Упаковка - фирменная
556 руб
Раздел: Одеяла
Форма для выпечки "Имбирный домик".
Красивая подача десерта приносит не меньшее удовольствие, чем его безупречный вкус! Миниатюрный кекс "Имбирный домик",
303 руб
Раздел: Товары с новогодним дизайном

65. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

66. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы

67. Биотехнология. Вклад в решение глобальных проблем человечества

68. Индия. Проблемы и пути их решения

69. Расходы бюджетной системы на социальные цели

70. Основания для пересмотра по вновь открывшимся обстоятельствам решений судов по гражданским делам
71. Характер решений Конституционного Суда Российской Федерации
72. Принятие управленческих решений

73. Проблемы и пути их решения в области налоговой политики государства в связи со вступлением в ВТО (на примере Армении)

74. Цели, задачи и структура Федерального закона № 122-ФЗ

75. Решение задач по курсу "семейное право"

76. Цель и ценность права. Гражданское общество и государство

77. Роль социального партнерства в решении проблем охраны труда

78. Культура, природа, человек. Проблемы и пути их решения

79. Николай II. Время трудных решений

80. Решение транспортной задачи методом потенциалов

Универсальная вкладка для дорожных горшков (голубой).
Вкладка для дорожных горшков подойдет для любого дорожного горшка, она хорошо ложится на сиденье, обеспечивая комфорт и удобство в
664 руб
Раздел: Прочие
Глобус физический, диаметр 210 мм.
Диаметр: 210 мм. Масштаб:1: 60000000. Материал подставки: пластик. Цвет подставки: чёрный. Размер коробки: 216х216х246 мм. Шар выполнен из
362 руб
Раздел: Глобусы
Подарочная расчёска для волос "Дашенька".
Стильная детская расчёска дарит радость и комфорт. Этот практичный аксессуар по достоинству оценят как маленькие модницы, так юные
372 руб
Раздел: Расчески, щетки для волос

81. Управление системой "Интеллектуальный дом" через Интернет. Аппаратно-программные решения внутренней сети

82. Sportster Voice 28.8 Инсталляция & Проблемы и решения

83. Состав и функционирование ИС построенной по принципу "клиент-сервер" для численного обоснования решений

84. Формирование структуры электронного учебника и решение задач на ней

85. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)

86. Операции многократной точности (операции с длинными числами)
87. Системы принятия решений, оптимизация в Excel и базы данных Access
88. Система поддержки принятия маркетинговых решений в торговом предприятии на основе методов Data Mining

89. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)

90. Корень n-ой степени и его свойства. Иррациональные уравнения. Степень с рациональными показателем

91. Использование численных методов для решения дифуpов (2-го порядка) (, демонстрация применения интерполяции в среде MATHCAD-а)

92. Дифференцированные уравнения

93. Теория игр и принятие решений

94. Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

95. Метод последовательных уступок (Теория принятия решений)

96. Иррациональные уравнения

Набор диких животных.
В наборе: 12 фигурок диких животных. Средний размер: 10 см. Возраст: 3 лет. Фигурки в наборе представлены в ассортименте, без возможности выбора.
461 руб
Раздел: Дикие животные
Настольная игра "Волшебник Изумрудного города".
Семейная игра для 2-6 игроков. Участники помогают Элли и ее друзьям добраться до Изумрудного города, для этого они выполняют разные
1490 руб
Раздел: Классические игры
Глобус Земли, физико-политический, с подсветкой, 320 мм, арт. К013200101.
Глобус Земли физико-политический, с подсветкой, работает от сети. Диаметр: 320 мм. На пластиковой подставке. Не рельефный. Цвет подставки
1331 руб
Раздел: Глобусы

97. Методы решения систем линейных неравенств

98. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

99. Комплексные числа


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.