Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Ряд Фурье

Горшок торфяной для цветов.
Рекомендуются для выращивания крупной рассады различных овощных и цветочных, а также для укоренения саженцев декоративных, плодовых и
7 руб
Раздел: Горшки, ящики для рассады
Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов
Совок №5.
Длина совка: 22 см. Цвет в ассортименте, без возможности выбора.
18 руб
Раздел: Совки

ГЛАВА 1 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ   Основные сведения Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции. Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции: 1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т. 2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax) имеет период . 3) Если f(x) - периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .   Тригонометрический ряд. Ряд Фурье Если f(x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд: (1) ,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам: , где =1,2, . . . Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициентами ряда Фурье. Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке. ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной). ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).   Ряды Фурье для четных и нечетных функций Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) . Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы: = = = 0 , где =1,2, . . . Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так: Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x). Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы: , где =1,2, . . . Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так: Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то , где , , , Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на , то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на ; далее периодически продолжив на ( =2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье. Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке и периодически продолжить, либо доопределить на и периодически продолжить.

  Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций Последовательность функций непрерывных на отрезке , называется ортогональной системой функции на отрезке , если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке , если выполняется условие Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке . Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке по ортогональной системе называется ряд: коэффициенты которого определяются равенством: =1,2,. Если ортогональная система функций на отрезке ортонормированная, то в этом случаи где =1,2,. Пусть теперь f(x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке . Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке по ортогональной системе называется ряд: , Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку . В этом случае говорят что f(x) на отрезке разлагается в ряд по ортогональной системе (1).   Комплексная форма ряда Фурье Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если определяется равенством , где Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул: ( =1,2, . . .)   Задача о колебании струны Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости. При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u(x, ) , характеризующая положение струны в каждый момент времени , удовлетворяет уравнению (1) , где а - положительное число. Наша з а д а ч а - найти функцию u(x, ) , график которой дает форму струны в любой момент времени , т. е. найти решение уравнения (1) при граничных: (2) и начальных условиях: (3) Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u(x, )0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u(x, )=X(x) ( ), (4) , где , . Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает: Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений: Используя это условие X(0)=0, X(l)=0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи. a) Пусть Тогда X”=0 и его общее решение запишется так: откуда и ,что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль. б) Пусть . Тогда решив уравнение получим , и, подчинив, найдем, что в) Если то Уравнения имеют корни : получим: где -произвольные постоянные. Из начального условия найдем: откуда , т. е. ( =1,2,.) ( =1,2,.). Учитывая это, можно записать: ( =1,2,.). и, следовательно , ( =1,2,.), но так как A и B разные для различных значений то имеем , ( =1,2,.), где и произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).

Итак, подчиним функцию u(x, ) начальным условиям, т. е. подберем и так , чтобы выполнялись условия Эти равенства являются соответственно разложениями функций и на отрезки в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой где ( =1,2,.)   Интеграл Фурье   Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье. Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно: 1) абсолютной интегрируемости на (т.е. интеграл сходится) 2) на любом конечном отрезке функция была бы кусочно-гладкой 3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x) Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида: , где , . Интеграл Фурье для четной и нечетной функции Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье. Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем: (3) Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так: , где a(u) определяется равенством (3). Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x) : (4) и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид: , где b(u) определяется равенством (4).   Комплексная форма интеграла Фурье , (5) где . Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x). Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим: , где правая часть формулы называется двойным интегралом Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:   Формулы дискретного преобразования Фурье Обратное преобразование Фурье. где =1,2,. , k=1,2,. Дискретным преобразованием Фурье - называется -мерный вектор при этом, . ГЛАВА 2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ     Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье Исходные данные : (Рис. 1)   Функция периодическая с периодом .( f(x )=f(x) ) Функция имеет на промежутке конечное число точек разрыва первого рода. Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине , где -точки разрыва.   Рис. 1   Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье. 1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале . 2) F(x) - кусочно-монотонна. Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна.       Представление функции рядом Фурье. Из разложения видим, что при нечетном принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда =1. Поэтому формулу для можно записать в виде: ( так как ). Отдельно рассмотрим случай когда =1: . Подставим найденные коэффициенты в получим: и вообще . Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:   1-ая гармоника ,   2-ая гармоника ,                 3-ая гармоника ,       4-ая гармоника ,                     5-ая гармоника ,     и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник.

Рассматриваются также другие виды С. Например, С. по мере: для любого e  > 0 мера множества тех точек, для которых , стремится к нулю с возрастанием n', слабая С.:   для любой функции j(x) с интегрируемым квадратом (например, последовательность функций sinx, sin2x,..., sinnx,... слабо сходится к нулю на отрезке [—p, p], так как для любой функции j(х) с интегрируемым квадратом коэффициенты  ряда Фурье стремятся к нулю).   Указанные выше и многие другие понятия С. последовательности функций систематически изучаются в функциональном анализе, где рассматриваются различные линейные пространства с заданной нормой (расстоянием до нуля) — так называемые банаховы пространства. В таких пространствах можно ввести понятия С. функционалов, операторов и т. д., определяя для них соответствующим образом норму. Наряду со С. по норме (так называемой сильной С.), в банаховых пространствах рассматривается слабая С., определяемая условием  для всех линейных функционалов; введённая выше слабая С. функций соответствует рассмотрению нормы

1. Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов

2. Представление функции рядом Фурье

3. Синонимия немецкого языка. Синонимический ряд и тематическая группа

4. Литература как вид искусства. Место литературы в ряду других искусств

5. Радиация рядом с нами

6. Реакции электрофильного замещения в ароматическом ряду
7. Прогнозирование временных рядов
8. Представление об экономической теории. Ее место в ряду экономических наук

9. Анализ Фурье

10. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

11. Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора

12. Использование тестовой панели «GastroPanel» при скрининге, диагностике и профилактике ряда заболеваний

13. Верхние торговые ряды на Красной площади в Москве

14. Непредельные, или ненасыщенные, углеводороды ряда этилена (алкены, или олефины)

15. Политические воззрения А. Сен-Симона, Ш. Фурье, Р. Оуэна

16. «Юмор и остроумие сплошь и рядом приносят нам успех в делах»

Комплект постельного белья Perina "Ника" (цвет: бежевый, 7 предметов).
Комплект постельного белья Perina «Ника» обладает изысканным, утонченным и даже благородным дизайном. Он способен стать подлинным
5356 руб
Раздел: Комплекты в кроватку
Пенал школьный "Pixie Crew" с силиконовой панелью для картинок (розовый, цветной горох).
Повседневные вещи кажутся скучными и однотонными, а тебе хочется выглядеть стильно и быть не как все? "Pixie Crew" сделает твою
1096 руб
Раздел: Без наполнения
Рюкзак для средней школы "Рассвет", 46x34x18 см.
Рюкзак для средней школы. 2 основных отделения, 4 дополнительных кармана. Формоустойчивая спинка. Ремни регулировки объема. Материал:
978 руб
Раздел: Без наполнения

17. Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов

18. Жан Батист Жозеф Фурье

19. Анализ денежных потоков на базе отчета о движении денежных средств (опыт ряда европейских стран)

20. Фурье (Fourier), Жан Батист Жозеф

21. Ассоциативный ряд со значением home/дом: Психолингвистический эксперимент

22. Охотный ряд
23. Что сокрыто за нотным рядом?
24. Ряд вугреподібні (Anguilliformes)

25. Программная реализация разложения временного процесса в тригонометрический ряд

26. Дифференцирование, интегрирование, вычисление пределов, сумм, рядов функций и математических выражений в системе Maple

27. Вариационные ряды

28. История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по порождаемому временному ряду

29. Ряди динаміки. Зведені індекси собівартості та фізичного обсягу виробництва

30. Оценивание смещения статистики взаимной спектральной плотности многомерного временного ряда

31. Использование метода стандартизации при оценке здоровья населения и показателей работы учреждений здравоохранения. Динамические ряды

32. Отравления растениями, содержащими алкалоиды тропанового ряда и сердечные гликозиды

Противень глубокий "Mayer & Boch", мраморная крошка, 30,9 см.
Противень MAYER&BOCH изготовлен из высококачественной углеродистой стали с антипригарным мраморным покрытием. Толщина изделия составляет 4
348 руб
Раздел: Противни
Стульчик-сумка для кормления и путешествий с пеленальной площадкой.
Этот портативный аксессуар сделает жизнь мамы и малыша гораздо мобильнее. Сумка легко и быстро трансформируется в удобный стульчик со
799 руб
Раздел: Стульчики для кормления
Рюкзак "Max Steel", 42x29x15 см.
Материал: полиэстер, 600 ден. Размер: 42x29x15 см. Уплотненная спинка, широкие мягкие регулируемые лямки, 1 отделение, 2 боковых кармана,
671 руб
Раздел: Без наполнения

33. Средние величины, оценка разнообразия признака в вариационном ряду

34. Витамины пиримидинового ряда (тиамин)

35. Соціально-політичні утопісти ХІХ ст. (Сен-Сімон, Фур’є, Оуен)

36. Зависимость продолжительности жизни населения от ряда внешних факторов

37. История фирмы и модельный ряд "Сааб"

38. Аналитические показатели ряда динамики в изучении развития рынка
39. Методы анализа основной тенденции развития в рядах динамики
40. Относительные и средние величины, оценка их достоверности. Вариационные ряды. Методика анализа динамического ряда. Стандартизация

41. Построение статистический рядов

42. Прогнозирование временных рядов

43. Ряды динамики

44. Ряды динамики в анализе социально-экономического явления

45. Ряды динамки

46. Экономические учения социалистов-утопистов (А. де Сен-Симон, Ш. Фурье, Р. Оуэн)

47. Статистические показатели, ряды динамики

48. Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда

Карандаши цветные "Kores", 48 цветов, с точилкой.
Двусторонние цветные карандаши имеют насыщенные цвета. Трехгранная форма корпуса снижает усталость и придает дополнительный комфорт.
716 руб
Раздел: Более 24 цветов
Часы шахматные.
Механизм: механический кварцевый. Материал: пластик. Размеры: 18 x 11,3 x 5,6 см.
2023 руб
Раздел: Прочее
Пепельница S.Quire круглая c откидной крышкой, сталь, покрытие никель и черная краска, 67 мм.
Материал: нержавеющая сталь, покрытие никель, черная краска. Диаметр 67 мм, высота 102 мм.
350 руб
Раздел: Пепельницы

49. Эконометрика временных рядов. Эконометрический анализ инфляции

50. Анализ рядов динамики на примере организации "Салон красоты Goddess"

51. Модели прогнозирования на основе временных рядов

52. Великобритания (расширенный вариант реферата 9490)

53. Реферат о Пугачеве

54. Реферат перевода с английского языка из книги “A History of England” by Keith Feiling
55. Реферат по книге Фернана Броделя
56. Реферат по технологии приготовления пищи "Венгерская кухня"

57. Несколько рефератов по Исламу

58. "Камю", "Сартр", "Шопенгауэр", "Ясперс", "Фромм" (Рефераты, доклады по философии)

59. Реферат по информационным системам управления

60. Семь чудес света - древний мир, средние века и наше время (история цивилизации, реферат)

61. реферат

62. Обзорный реферат по творчеству Ф.И. Тютчева

63. Реферат - Социальная медицина (ЗДРАВООХРАНЕНИЕ КАК СОЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА)

64. Реферат - Физиология (строение и функции гемоглобина)

Глобус географический + политический, с подсветкой "Orion", диаметр 250 мм.
Диаметр: 250 мм. Глобус Земли на подставке с двойной картой и подсветкой. Изготовлен из высококачественного пластика. Может применяться и
2053 руб
Раздел: Глобусы
Игрушка-головоломка "Шар-Лабиринт".
«Шар-лабиринт» - это не только увлекательная, но и развивающая игра, способная улучшить пространственное мышление и внимание, привить
702 руб
Раздел: Головоломки
Настольная игра "Шакал: остров сокровищ".
Стратегическая игра, главная задача которой – найти клад на острове и доставить его на свой корабль. Секрет механики «Шакала» в том, что
1790 руб
Раздел: Классические игры

65. Реферат по менеджменту

66. Реферат монографии А.А. Смирнова Проблемы психологии памяти

67. Сборник рефератов о конфликтах

68. Реферат по экскурсоведению

69. Реферат по экологии

70. Реферат о прочитаной на немецком языке литературы
71. Реферат для выпускных экзаменов
72. Реферат по ОБЖ, Тема: СПИД

73. Реферат о США

74. Реферат по делопроизводству с вопросами: Подготовка документов к архивному хранению, Правила оформления реквизитов №№16, 19, 20, 22, Контракты (договоры)


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.