Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Кватернионы

Ручка "Помада".
Шариковая ручка в виде тюбика помады. Расцветка корпуса в ассортименте, без возможности выбора!
25 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь".
Коврик "Пекарь", сделанный из силикона, поможет Вам готовить вкусную и красивую выпечку. Благодаря материалу коврика, выпечка не
202 руб
Раздел: Коврики силиконовые для выпечки
Фонарь садовый «Тюльпан».
Дачные фонари на солнечных батареях были сделаны с использованием технологии аккумулирования солнечной энергии. Уличные светильники для
106 руб
Раздел: Уличное освещение

Как сделать из точек числа? Если речь идет о точках на прямой – это просто. Выбрав начало отсчета и масштаб с направлением, можно получить из прямой числовую ось и тем самым превратить каждую точку в действительное число – ее координату. С точками на плоскости сложнее. Выбираем две оси и начало отсчета. Для каждой точки плоскости сопоставляем ее координаты (x; y). Эта пара будет называться дуплетом. Чтобы сделать дуплет числом, нужно научиться “складывать” и “умножать” их в соответствии со свойствами сложения и умножения. Дуплеты складываются как векторы – покоординатно: (x; y) (x’; y’) = (x x’; y y’). (1)Для умножения существует иная формула: (x; y) (x’; y’) = (xx’ - yy’; xy’ x’y). (2)Умножение и сложение (1), (2) дуплетов подчиняются привычным свойствам сложения и умножения. Следовательно, множество дуплетов с операциями (1), (2) можно считать полноценным числовым множеством. На самом деле дуплеты – это комплексные числа. Их записывают так: x yi, где i –мнимая единица (дуплет (0; 1)). Ее квадрат равен . Это позволяет извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Но встает проблема превращения точек пространства в числа. Здесь снова введем систему координат и запишем точки в виде набора уже трех координат (x; y; z). Эти так называемые триплеты тоже складываются покоординатно: (x; y; z) (x’; y’; z’) = (x x’; y y’; z z’). (3)Триплеты можно будет считать числами, если научиться их умножать, обладая, вместе со свойствами сложения, обычными способами умножения этих операций. В 1833 г. умножением триплетов занимался ирландский математик У. Р. Гамильтон (1805 – 1865). О нем мы расскажем особо. Уильям Роуан Гамильтон Гамильтон был человеком многосторонне развитым. В четырнадцать лет владел девятью языками, в 1824 г. опубликовал в трудах Королевской Ирландской Академии работу, посвященную геометрической оптике, в 1828 г. получил звание королевского астронома Ирландии. К 1833 г. Гамильтон занимал пост директора обсерватории в Денсинке и был известен работами по оптике и аналитической механики. Он предсказал эффект двойной конической рефракции в двуосных кристаллах. В течение долгих десяти лет Гамильтон безуспешно пытался придумать правило умножения триплетов. Векторное произведение Задача поначалу казалась несложной. Складывать векторы следовало по формуле (3). Оставалось найти формулу умножения, подобную формуле (2). Но Гамильтон безуспешно пытался подбирать формулы для умножения триплетов. В то время было известно правило векторного произведения: векторным произведением называется вектор, перпендикулярный плоскости, проходящей через векторы имеющий направление, определяемое правилом “правой руки”, и длину ?. Если для данных векторов заданы координаты в прямоугольной системе координат: (4)Но операция векторного произведения не годилась Гамильтону, поскольку она не имеет обратной. Например, если ) между векторами равен нулю. Значит, длина векторного произведения нулевой. Но несмотря на неудачи, Гамильтон пытался решить поставленную перед собой задачу. Но эта задача не могла быть решена (объяснение следует ниже). Но труд не пропал даром.

В 1843 г. Гамильтон вдруг решил, что для определения умножения нужно рассматривать не триплеты (тройки чисел), а четверки, или кватернионы. Вот история их создания. Случай на Брогемском мосту В одном из писем к своему сыну Гамильтон писал: “Это был 16-й день октября, который случился в понедельник, в день заседания Совета Королевской Ирландской Академии, где я должен был председательствовать. Я направлялся туда с твоей матерью вдоль Королевского канала; и, хотя она говорила мне какие-то отдельные фразы, я их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-то творилось. Неожиданно как будто бы замкнулся электрический контур; блеснула искра, предвещающая многие длительные годы определенно направленной мысли и труда, моего – если доведется, или труда других, если мне будет даровано достаточно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем открытии. Я оказался не в состоянии удержаться от желания высечь ножом на мягком камне Брогемского моста фундаментальную формулу о символах i, j, k, ,содержащую решение проблемы, но, конечно, эта запись с тех пор стерлась. Однако более прочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за этот день, где засвидетельствовано, что я попросил и получил разрешение на доклад о кватернионах на первом заседании сессии, который и был прочитан соответственно в Понедельник 13-го следующего месяца – ноября”.Определение кватернионов Кватернионы – это четверки действительных чисел (x; y; u; v), которые удобно записывать в виде q = x yi uj vk, где i, j, k – новые числа, являющиеся аналогом мнимой единицы в комплексных числах. Требуется, чтобы числа i, j, k удовлетворяли следующим соотношениям: (6)которые удобно записать в виде “таблицы умножения”. x i j k i -1 k j j -k -1 i k -j -i -1 По определению операции сложения и умножения кватернионов производятся по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов с учетом правил (5) – (6). Согласно этому определению, если (7)Это, разумеется, привычное нам “покоординатное” сложение. Далее, произведение кватернионов Длинная, но совершенно автоматическая проверка показывает, что умножение кватернионов обладает сочетательным свойством:Естественно считать, что действительные и комплексные числа являются частным случаем кватернионов. Так, действительное число x – это кватернион видаКомплексное число z = x yi представляется как кватернион У операции сложения кватернионов, очевидно, имеется обратная операция –вычитание. Именно, разность двух кватернионов , то разность кватернионов – это нулевой кватернион.Деление кватернионов Перейдем теперь к операции деления кватернионов, обратной к операции умножения. Вообще, что мы понимаем под частным от деления числа a на число b, не равное нулю? Это такое число c, чтоbc = a. (10)Так определяется частное от деления для действительных и комплексных чисел. К сожалению, для кватерниона применить непосредственно это определение мы не можем. Для того чтобы формула (10) “корректно” определяла частное, нужно, чтобы произведение не зависело от порядка сомножителей. В противном случае наряду с частным определенным формулой (10), существует вполне равноправное “левое” частное” с’, определяемое формулойc’b = a,которое может отличаться от “правого частного” c из (10).

Вот здесь, кроме необходимости выйти за пределы трехмерного пространства, Гамильтону пришлось принести еще одну жертву. Оказывается, определенные им новые числа – кватернионы – потеряли еще одно привычное качество: произведение кватернионов зависит от порядка сомножителей. Действительно, уже в формулах (6) при изменении порядка сомножителей произведение меняет знак. Таким образом, можно говорить лишь о “делении справа” и “делении слева”. Как реально найти, скажем, “левое частное” от деления кватерниона ? Обозначим искомое частное через q = x yi uj vk. Тогда, используя правило умножения для кватернионов и определение левого частного, получим следующее равенство кватернионов: Полученное равенство равносильно системе четырех линейных уравнений с переменными x, y, u, v: Аналогичным образом находится “правое частное” от деления . Рассмотрим частный случай, когда делимое равно единице. В этом случае частное от деления (и “слева” и “справа”) равно одному и тому же кватерниону. Тогда “правое частное” от деления кватерниона ,а “левое частное” от деления кватерниона Практически частное от деления двух кватернионов ищется другим путем. Для этого нам потребуютсяСкалярные и векторные кватернионы Так же как комплексные числа разлагаются в сумму своей действительной и мнимой частей, кватернион тоже можно разложить в сумму q = x (yi uj vk). Первое слагаемое в этом разложении называется скалярной частью кватерниона, а второе – векторной частью. Скалярная часть х – это просто действительное число, а векторная часть может быть изображена вектором r = yi uj vk в трехмерном пространстве, где i, j, k мы теперь рассматриваем как единичные вектора прямоугольной системы координат. Таким образом, каждый кватернион q представляется в виде суммы q = x r, где x – скалярная часть кватерниона q, а r – векторная часть. Если r = 0, то q = x и кватернион q называется скалярным кватернионом. Если же x = 0, то q = r и q называется векторным кватернионом. При сложении кватернионов независимо складываются их скалярные и векторные части. При умножении дело обстоит сложнее. Если – скалярные кватернионы, то их произведение тоже скалярный кватернион. В случае, когда = r – векторный кватернион, произведение является векторным кватернионом, и операция умножения совпадает с умножением вектора r в пространстве на действительное число x. И, наконец, если оба кватерниона векторные, тоКак видно из последней формулы, скалярная часть произведения векторов с обратным знаком. Векторная же часть – это наш старый знакомый – векторное произведение , записанное в координатах. Объединяя все рассмотренные случаи, получим общую формулу для умножения кватернионов. Если А как же триплеты? Почему же Гамильтону не удалось найти способа умножения триплетов? Раньше уже было отмечено, что эту задачу решить нельзя. Доказано, что попросту не существует способа умножения точек пространства, удовлетворяющего нашим требованиям (ассоциативности, дистрибутивности относительно покоординатного сложения, возможности деления на ненулевые элементы). Сейчас, к тому же, известны все случаи, когда можно вести такое умножение.

Тогда в Пергаме родилась (или была восстановлена) древняя технология выработки из шкур телят, коз и баранов особого материала для изготовления книг пергамента. Простое удаление шерсти с вымоченной в известковой воде шкуры, соскабливание сединительной ткани до эпидермиса, последующая полировка и сушка представляли собой особую консервацию кожи без предварительного выдубливания химическими средствами. Волосяная сторона оставалась несколько шероховатой и имела желтоватый цвет, мясная же была белой и гладкой. Свеженаписанный текст можно было стереть, старый только соскоблить. Так называемый "Пергамский кодекс" представлял собой пачки сложенных вчетверо листов (кватернион), шерстяная сторона к шерстяной, мясная к мясной. В пергамских рукописях впервые появляются иллюстрации. Всего в Пергам-ской библиотеке хранилось свыше двухсот тысяч свитков! Затерянная "либерея" Более ста лет Пергамская библиотека конкурировала с Александрийской, но в 31Pг. до н.Pэ. Влюбленный Марк Антоний решил подарить Пергамскую библиотеку своей обожаемой Клеопатре, и все бесценные рукописи вывезли в Александрию

1. Геометрическая оптика

2. Применение рисуночных методик при работе в группе с подростками зависимыми от психоактивных веществ

3. Геометрическая оптика

4. "Инкарнация" кватернионов

5. ПРИМЕНЕНИЕ "ПУЛЬМОСАНА – 2" ПРИ ЛЕЧЕНИИ ТЕЛЯТ БОЛЬНЫХ БРОНХОПНЕВМОНИЕЙ ( ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА )

6. Некоторые аспекты работы адвоката по делам, связанным с применением норм об исковой давности
7. Теория эффективных фондовых инвестиций и ее применение (раздел дипломной работы)
8. Принцип работы лазера и его применение

9. Работы по атмосферной оптике во время полных солнечных затмений

10. Состав и содержание бухгалтерской (финансовой) отчётности и её применение в анализе и оценке результатов работы предприятий (организаций, фирм)

11. Применение новых технологий при проведении ремонтно-изоляционных работ

12. Инвертор. Принцип работы, разновидность, область применения

13. Применение элементов терапии творческим самовыражением в работе практического психолога с детьми подросткового и юношеского возраста

14. Геометрическая и физическая оптика

15. Деревянные конструкции (лабораторные работы)

16. Производство отделочных работ

Поильник Lubby "Mini Twist" с трубочкой, 250 мл.
Мягкая силиконовая трубочка поильника "Mini Twist" не поранит нежные десна малыша. Оптимальная длина трубочки позволяет выпить
372 руб
Раздел: Поильники, непроливайки
Багетная рама "Sandra" (серебряный), 40х50 см.
Багетные рамы предназначены для оформления картин, вышивок и фотографий. Оформленное изделие всегда становится более выразительным и
791 руб
Раздел: Размер 40x50
Стол детский Little Angel "Я расту" (цвет: салатовый).
Размер стола: 56х56х50 см. Материал: пластик. Цвет: салатовый.
1476 руб
Раздел: Столики

17. Штукатурные работы с основами охраны труда

18. Производство работ по возведению жилого кирпичного здания

19. Общие виды работ, выполняемых на воздушных судах

20. Структура и алгоритмы работы спутниковых радионавигационных систем

21. Практическое применение космонавтики

22. Роль микроэлементов в обменных процессах растений и на накоплении ими биологически активных веществ (Реферат (обзор литературы) () WinWord 97)
23. Отчёт по лабараторным работам по биологии за 1 семестр
24. Пути и способы повышения устойчивости работы РЭА

25. Мсб /БТР/ в наступлении на подготовленную оборону противника /ФРГ/ с ходу во втором эшелоне полка в условиях применения противником СДМ

26. Применение лазеров в военном деле

27. Спасательные и неотложные аварийно-восстановительные работы

28. Организация и проведение спасательных работ в чрезвычайных ситуациях

29. Обеспечение работы с/х предприятия в условиях радиактивного заражения (WinWord)

30. Спасательные и неотложные аварийно-восстановительные работы в очагах поражения

31. Великобритания (расширенный вариант реферата 9490)

32. Итоги работы портов: Одесса, Ильичёвск, Николаев, Мариуполь и Херсон за 2003 год

Беговел "Funny Wheels Basic" (цвет: желтый).
Беговел - это современный аналог детского велосипеда без педалей для самых маленьких любителей спорта. Удобный и простой в
2550 руб
Раздел: Беговелы
Фоторамка на 4 фотографии С34-009 "Alparaisa", 55,5x18 см (белый).
Размеры рамки: 55,5x18x1 cм. Размеры фото: - 10х15 см, 2 штуки, - 15х10 см, 2 штуки. Фоторамка-коллаж для 4-х фотографий. Материал:
475 руб
Раздел: Мультирамки
Кран башенный.
Тяжелые колеса из ПВХ играют роль инерционного движителя. Стрела поворачивается, трос наматывается на барабан с трещоткой, человечек
499 руб
Раздел: Подъёмные краны, автокраны

33. Буровые работы

34. Совершенствование организации работы отдела контроля за поступлением налогов с физических лиц

35. Механизм применения антимонопольных законов

36. Исключительные права на средства индивидуализации товаров, работ, услуг и их производителей

37. Применение норм права

38. Реферат о Пугачеве
39. Контрольная работа по муниципальному праву Вариант 2
40. Содержание и порядок применения единого налога на вмененный доход для субъектов малого предпринимательства

41. Контрольная работа по Римскому праву

42. Порядок увольнения с работы и его оформление

43. Прием на постоянное место работы

44. Лабораторные работы по охране труда в Угольной промышленности

45. Контрольная работа по курсу экологического права

46. How "DNA" testing works Анализ "ДНК" как проверяющие работы)

47. Особенности работы с антонимамми в школе

48. Диапазон голоса и работа над ним

Мультиплеер с проектором "Спокойной ночи, малыши!".
"Спокойной ночи, малыши!" от компании "Азбукварик" - это музыкальная игрушка из серии "Мультиплеер с
330 руб
Раздел: Смартфоны, мультиплееры
Грамота "С гербом и флагом", вертикальная, 200 штук (количество томов: 200).
Размер: 210x297 мм. Материал: бумага мелованная, плотностью 140 г/м2. В упаковке: 200 штук.
1024 руб
Раздел: Грамоты без текста
Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение", размер: 5/XL (11-25 кг), 48 штук.
Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение" сделаны по японской технологии в сотрудничестве с японской корпорацией WATASHI
801 руб
Раздел: Более 11 кг

49. Теория книговедения в работах М.Щелкунова

50. "О культуре" по работе Н.А. Бердяева "Философия неравенства" (Windows)

51. Несколько рефератов по культурологии

52. О развитии навыков работы над полифонией

53. Начальный этап работы над музыкальным произведением

54. Реферат по научной монографии А.Н. Троицкого «Александр I и Наполеон» Москва, «Высшая школа»1994 г.
55. Работа Н.А. Бердяева "Смысл истории"
56. Программные средства и приёмы работы на компьютере

57. Проект учета пользовательских счетов для интернет-провайдеров на базе OS FreeBSD с применением программы "Billing ISP"

58. Работа маршрутизаторов в компьютерной сети

59. Применение ЭВМ в жизнедеятельности человека

60. Информационные потоки в ЭВМ. Алгоритм работы процессора

61. Определение эффективности применения информационной технологии

62. Применение ЭВМ в управлении производством

63. Принцип работы CD-ROM

64. Организация и применение микропроцессорных систем обработки данных и управления

Напольный пазл "Машинки".
Способствует развитию сенсорных навыков, внимания. Материал: плотный картон. В наборе: 8 игровых фигур, 34 элемента пазла. Размер
641 руб
Раздел: Напольные пазлы
Стул детский Ника "СТУ3" складной моющийся (цвет: розовый, рисунок: сердечки).
Мягкая моющаяся обивка. Особенности: - стул складной; - предназначен для детей от 3 до 7 лет; - металлический каркас; - на ножках стула
562 руб
Раздел: Стульчики
Крышка силиконовая "Невыкипайка", 29 см (арт. TK 0081).
Приспособление предназначено для предохранения готовящихся продуктов от выкипания. Заменяет пароварку. Предотвращает беспорядок на
383 руб
Раздел: Прочее

65. Принцип работы сканера

66. Постановка лабораторной работы по теории графов

67. Масштабирование. Геометрическое моделирование

68. Расчётно-пояснительная записка к курсовой работе по ОМПТ

69. Курсовая работа по основам программирования. Игра "Паровоз"

70. Работа с Базами данных в Delphi
71. Работа с каталогами (лабораторная работа)
72. Применение самоорганизующихся карт Кохонена для классификации и анализа пространственно распределенных неполных данных по окружающей среде

73. Лабораторные работы (в ХГТУ)

74. Криптология: подстановочно-перестановочный шифр и его применение

75. Методические рекомендации и задания для лабораторных работ по дисциплине «Вычислительные системы»

76. Оптимизация плана работ по отладке программных продуктов

77. Применение компьютера в туристической деятельности

78. Работа с программой EUREKA

79. Отчет по работе с программами SysInfo, PrintFx, FontEdit, Snipper

80. Работа с таблицами в Word

Мобиль на детскую кроватку "Music Bed Bell" (свет, звук).
Погремушка станет отличным помощником, она позволит привлечь внимание ребенка. Мобиль на детскую кроватку Music Bed Bell - это отличное
1475 руб
Раздел: Мобили
Швабра отжимная "Хозяюшка Мила", KF-08.
Отжимные швабры с PVA насадками подходят для влажной уборки и мытья полов из любых материалов: ламинат, паркет, линолеум, керамическая
371 руб
Раздел: Швабры и наборы
Коврик придверный, разноцветный (40x60 см).
Коврик придверный. Основа: резина. Размеры: 400x600 мм.
328 руб
Раздел: Коврики придверные

81. Пояснительная записка к выполнению расчетной работы по дисциплине "информатика"

82. Интернет – червь I LOVE YOU (LOVE LETTER FOR YOU). Принцип работы. Меры безопасности для защиты от заражения и предотвращения деструктивных действий

83. Курсовая работа по Foxpro

84. Работа в среде EXCEL. Средства управления базами данных в EXCEL

85. Работа с текстами в Corel DRAW 10

86. Работа с таблицами Word
87. Работа с командами операционной системы MS - DOS
88. Применение метода частотных диаграмм к исследованиям устойчивости систем с логическими алгоритмами управления

89. Лабораторная работа №7 по "Основам теории систем" (Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ)

90. Лабораторная работа №4 по "Основам теории систем" (Послеоптимизационный анализ задач линейного программирования)

91. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)

92. Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

93. Использование численных методов для решения дифуpов (2-го порядка) (, демонстрация применения интерполяции в среде MATHCAD-а)

94. Теория графов и её применение

95. Лабораторные работы по экономико-математическому моделированию

96. Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)

Коврик для ванной "Kamalak Tekstil", 60x100 см (коричневый).
Ковры-паласы выполнены из полипропилена. Ковры обладают хорошими показателями теплостойкости и шумоизоляции. Являются гипоаллергенными. За
562 руб
Раздел: Коврики
Развивающая настольная игра "Хронолёт", новая версия.
Выполняя разные интересные и забавные дела, игроки будут перемещаться по игровому полю-циферблату. Задача игроков — выполнить как можно
1024 руб
Раздел: Классические игры
Качели подвесные детские.
Изготовлены из полипропилена. Для детей старше 3 лет, весом до 25 кг. Перед использованием необходимо убедиться в надежном закреплении
452 руб
Раздел: Качели, кресла-качалки, шезлонги

97. Шифросистемы с открытым ключом. Их возможности и применение.

98. Применение фильтра Калмана в задаче идентификации отказов двигателей стабилизации космического аппарата

99. Несколько способов решения одной геометрической задачи


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.