Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Правильные многогранники

Совок большой.
Длина 21,5 см. Расцветка в ассортименте, без возможности выбора.
21 руб
Раздел: Совки
Наклейки для поощрения "Смайлики 2".
Набор для поощрения на самоклеящейся бумаге. Формат 95х160 мм.
19 руб
Раздел: Наклейки для оценивания, поощрения
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники

Определение правильного многогранника. Определение. Многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники; 3) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер; 4) все его двугранные равны. Примером правильного многогранника является куб: он является выпуклым многогранником, все его грани – равные квадраты, в каждой вершине сходятся три ребра, и все двугранные углы куба прямые. Правильный тетраэдр также является правильным многогранником. Возникает вопрос: сколько существует различных типов правильных многогранников? Пять типов правильных многогранников. Рассмотрим произвольный правильный многогранник М, у которого В вершин, Р ребер и Г граней. По теореме Эйлера для этого многогранника выполняется равенство: В - Р Г = 2. (1) Пусть каждая грань данного многогранника содержит m ребер (сторон), и в каждой вершине сходятся ребер. Очевидно, . (2) Так как у многогранника В вершин, и каждой из которых сходятся ребер, то получаем ребер. Но любое ребро соединяет две вершины многогранника, поэтому в произведение каждое ребро войдет дважды. Значит у многогранника имеется В = . (3) Далее, в каждой грани многогранника М содержится m ребер, а число граней равно Г. Так как каждое ребро принадлежит двум смежным граням, то число различных ребер многогранника равно . (4) Из (1), (3), (4) получаем Из неравенств 3 следует, что гранями правильного многогранника могут быть либо правильные треугольники, либо правильные четырехугольники, либо правильные пятиугольники. Причем в случаях m = = 4; m = 4, = 5; m = 5, = 4; m = = 5 приходим к противоречию с условием . Поэтому остаются возможными пять случаев: 1) m = = 3; 2) m = 4, = 3; 3) m = 3, = 4; 4) m = 5, = 3; 5) m = 3, = 5. Рассмотрим каждый из этих случаев, используя соотношения (5), (4) и (3). 1) m = = 3 (каждая грань многогранника – правильный треугольник. Это – известный нам правильный тетраэдр («тетраэдр» означает четырехгранник). 2) m = 4, = 3 (каждая грань квадрат, и в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем 6. Получаем правильный шестигранник, у которого каждая грань – квадрат. Этот многогранник называется правильным гексаэдром и является кубом («гексаэдр» -- шестигранник), любой параллелепипед – гексаэдр. 3) m = 3, = 4 (каждая грань –правильный треугольник, в каждой вершине сходятся четыре ребра). Имеем =8. Получаем правильный восьмигранник, у которого каждая грань – правильный треугольник. Этот многогранник называется правильным октаэдром («октаэдр» -- восьмигранник). 4) m = 5, = 3 (каждая грань – правильный пятиугольник, в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем: = 12. Получаем правильный двенадцатигранник, у которого каждая грань – правильный пятиугольник. Этот многогранник называется правильным додекаэдром («додекаэдр» -- двенадцатигранник). 5) m = 3, = 5 (каждая грань – правильный треугольник, в каждой вершине сходятся пять ребер). Имеем = 20. Получаем правильный двадцатигранник. Этот многогранник называется правильным икосаэдром («икосаэдр» - двадцатигранник). Таким образом, мы получили следующую теорему.

Теорема. Существует пять различных ( с точностью до подобия) типов правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр (куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и правильный икосаэдр. К этому заключению можно прийти несколько иначе. Действительно, если грань правильного многогранника – правильный треугольник, и в одной вершине сходятся k ребер, т.е. все плоский углы выпуклого k-гранного угла равны . Следовательно, натуральное число k может принимать значения: 3;4;5. при этом Г = . На основании теоремы Эйлера имеем: В ( 6 – k ) = 12. Тогда при k = 3 получаем: В = 4, Г = 4 , Р = 6 (правильный тетраэдр); при k = 4 получаем: В = 6, Г = 8, Р = 12 (правильный октаэдр); при k = 5 получаем: В = 12, Г = 20, Р = 30 (правильный икосаэдр). Если грань правильного многогранника – правильный четырехугольник , то . Этому условию соответствует единственное натуральное число k = 3. Тогда: Г = . Значит, В = 8, Г = 6, Р = 12 – мы получаем куб (правильный гексаэдр). Если гранью правильного многогранника является правильный пятиугольник, то . Этому условию соответствует тоже только k = 3 и Г = . Аналогично предыдущим вычислениям получаем: и В = 20, Г = 12, Р = 30 (правильный додекаэдр). Начиная с правильных шестиугольников, предположительно являющихся гранями правильного многогранника, плоские углы становятся не меньше , и уже k = 3 их сумма становится не менее , что невозможно. Следовательно, существует всего пять видов правильных многогранников. На рисунках изображены разверстки каждого из пяти правильных многогранников. Правильный тетраэдр Правильный гексаэдр Правильный додекаэдр Некоторые свойства правильных многогранников приведены в следующей таблице. Вид грани Плоский Вид Сумма В Р Г Название угол многогранног плоских многогранника при о углов при вершине угла при вершине вершине Правильный 4 6 4 Правильный треугольник тетраэдр Правильный 6 12 8 Правильный треугольник октаэдр Правильный 12 30 20 Правильный треугольник икосаэдр Квадрат 8 12 6 Правильный гексаэдр (куб) Правильный ё 20 30 12 Правильный додекаэдр пятиугольни к У каждого из правильных многогранников, помимо уже указанных, нас чаще всего будут интересовать: 1. Величина его двугранного угла при ребре (при длине ребра a). 2. Площадь его полной поверхности (при длине ребра a). 3. Его объем (при длине ребра a). 4. Радиус описанной около него сферы (при длине ребра a). 5. Радиус вписанной в него сферы (при длине ребра a). 6. Радиус сферы, касающихся всех его ребер (при длине ребра a). Наиболее просто решается вопрос о вычислении площади полной поверхности правильного многогранника; она равна Г, где Г – количество граней правильного многогранника, а = , что дает нам возможность записать в радикалах: c g . Учитывая это составляем таблицы: а) для площади грани правильного многогранника Вид грани Длина Длина апофемы грани Площадь грани стороны Правильный a 0,5 треугольник Квадрат a 0,5a пятиугольник б) для площади полной поверхности правильного многогранника Вид Вид граней Количество Площадь полной поверхности многогранника граней Правильный Правильный 4 тетраэдр треугольник Правильный Правильный 8 октаэдр треугольник Правильный Правильный 20 икосаэдр треугольник Правильный Квадрат 6 6a гексаэдр (куб) Правильный Правильный 12 додекаэдр пятиугольник Теперь перейдем к вычислению величины двугранного угла правильного многогранника при его ребре.

Для правильного тетраэдра и куба вы легко найдете величину этого угла. В правильном додекаэдре все плоские углы его граней равны , поэтому, применив теорему косинусов для трехгранных углов к любому трехгранному углу данного додекаэдра при его вершине, получим: cos. На изображенном правильном октаэдре ABCDMF вы можете убедиться, что двугранный угол . M F Для нахождения величины двугранного угла при ребре правильного икосаэдра можно рассмотреть трехгранный угол ABCD при вершине А: его плоские углы ВАС и CAD равный , а третий плоский угол BAD, против которого лежит двугранный угол B(AC)D = (BCDMF – правильный пятиугольник). По теореме косинусов для трехгранного угла ABCD имеем: , откуда при ребре икосаэдра равен Итак, получаем следующую таблицу величин двугранных углов при ребрах правильных многогранников. Вид многогранника Величина двугранного угла при ребре Правильный тетраэдр Правильный гексаэдр (куб) Правильный икосаэдр Прежде чем находить объем того или иного правильного многогранника, сначала проведем рассуждения о том, как можно найти объем правильных многогранников в общем виде. Попытайтесь сначала доказать, что если центр каждой грани любого правильного многогранника провести прямую, перпендикулярную плоскости этой грани, то все проведенные прямые пересекутся в некоторой одной точке О, удаленной от всех граней данного многогранника на одно и тоже расстояние, которое обозначим r. Точка О окажется центром сферы, вписанной в данный многогранник, а r – ее радиусом. Соединив полученную точку О со всеми вершинами данного многогранника, мы разобьем его на Г равных между собой пирамид (Г—число граней правильного многогранника): основаниями образованных пирамид равны r. Тогда объем данного многогранника равен сумме объемов всех этих пирамид. Так как многогранник правильный, то его объем V можно найти по формуле: (1) Остается найти длину радиуса r. Для этого, соединив точку О с серединой К ребра многогранника, попробуйте убедиться, что наклонная КО к грани многогранника, содержащей ребро, составляет с плоскостью этой грани угол, равный половине величины двугранного угла при этом ребре многогранника; проекция же наклонной КО на плоскость этой грани принадлежит ее апофеме и равна радиусу вписанной в нее окружности. Тогда (2)где p—полупериметр грани. Тогда из (1) и (2) получаем общую для всех правильных многогранников формулу вычисления их объемов: . Эта формула совершенно не нужна для нахождения объемов куба, правильных тетраэдра и октаэдра, но позволяет довольно легко находить объемы правильных икосаэдра и додекаэдра. Вид многогранника Объем многогранника Правильный тетраэдр Правильный икосаэдр Министерство образования РФ г. Янаул по геометрии на тему «Правильные многогранники». Выполнил: Хабибьянов Д.Р. Проверила: Нургаянова Т.С. 2004 год.----------------------- CADB

Встречаются организмы с вариабельной реакцией на О. б. Г. ОКРАСКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ специальные приемы окраски, позволяющие различать микроорганизмы сходной формы, размеров, но относящиеся к различным видам. Напр., окраска по Граму. ОКРАШИВАНИЕ способ подготовки образца для исследования под микроскопом, усиливающий контрастность изображения. Заключается в использовании красителей, окрашивающих клетки или их определенные структуры (селективное О.). ОКРАШИВАНИЕ ВИТАЛЬНОЕ прижизненное окрашивание клеток микроорганизмов (обычно анилиновыми красителями) для изучения морфологии, подвижности. ОКРАШИВАНИЕ НЕГАТИВНОЕ способ окрашивания, при котором приобретает цвет и делается непрозрачным фон, но не сам образец (клетки). ОКРАШИВАНИЕ ПО ФЁЛЬГЕНУ метод выявления ДНК в клетке бактерий, заключающийся в удалении из нее РНК и последующем окрашивании ее фуксинсерной кислотой или основным красителем Гимза. ОКСИБИОНТЫ то же, что и аэробы. ОКТАЭДР одна из форм структурной организации вирусов (бактериофагов), вирионы которых представляют собой правильный многогранник с 8 гранями и 6 вершинами

1. Правильные многогранники или тела Платона

2. Правильные и полуправильные многогранники

3. Панельное представление многогранников

4. Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов

5. Симметрии многогранника системы независимости

6. Линейные симметрии многогранника паросочетанийи автоморфизмы графа
7. Сечение многогранников
8. Методика изучения объемов многогранников в курсе стереометрии

9. Новые и сверхновые звезды (Доклад)

10. Обитатели подводного мира (Доклад)

11. Факторы вызывающие мутацию (Доклад)

12. Мерзлотные явления в земной коре (кpиолитология) (. Иpкутская область. Доклад)

13. Особенности озёр России (Доклад)

14. Греция (Доклад)

15. Коста-Рика (Доклад)

16. Озеро Байкал (Доклад)

Светильник LED "Снеговик" (цвет: серебристый, 15 см).
Такой абажур станет отличным дополнением интерьера комнаты во время волшебных новогодних праздников. Его можно поставить на полку или же
426 руб
Раздел: Необычные светильники
Экспресс-скульптор "Эврика", средний.
Настоящее искусство в Ваших руках! Экспресс-скульптор - это не только стимулятор творческих способностей, но и точечный
943 руб
Раздел: Антистрессы
Велосипед Jetem "Lexus Trike Next Generation" (цвет: красный).
Jetem Lexus Trike Next Generation — это детский велосипед с ручкой-толкателем для родителя. Одна из лучших моделей по соотношению
2488 руб
Раздел: Трехколесные

17. Саудовская Аравия (Доклад)

18. Таиланд (Доклад)

19. Урбанизация и заселенность территории (Доклад)

20. Экономическое развитие Западносибирского региона (Доклад)

21. Особенности проведения документальной проверки правильности исчисления и уплаты в бюджет налога на прибыль

22. Мусульманское право (Доклад)
23. Доклад: Страны мира во второй половине XX века. Франция.
24. Типы государства (Доклад)

25. Александр Трифонович Твардовский (Доклад)

26. Устные высказывания и их особенности (беседа, лекция, доклад, диспут, дискуссия)

27. Биография Джеральда Даррелла (Доклад)

28. Иван Сергеевич Тургенев. Жизнь и творчество (Доклад)

29. Национально-освободительная война сирийского и ливанских народов в 1919-1927 гг. (Доклад)

30. Ярлыки ордынских ханов русским митрополитам (Доклад)

31. Кибернетика (Доклад)

32. Хромосомные болезни (Доклад)

Пенал "Махаоны" (розовый).
Этот аксессуар поможет содержать в порядке нужные мелочи и будет поднимать настроение! Размер: 21x8x8 см.
394 руб
Раздел: Без наполнения
Набор для проведения раскопок "Dino Excavation. Динозавры" (Стегозавр и Тираннозавр).
Набор "Стегозавр и Тираннозавр" из серии Dino Excavation создан специально для детей, интересующихся палеонтологией. В комплекте
355 руб
Раздел: Археологические опыты
Электронный звуковой плакат "Космос", артикул PL-13-SPACE.
Электронный звуковой плакат в увлекательной и доступной форме расскажет ребенку о космосе и космических объектах на русском и английском
794 руб
Раздел: Электронные и звуковые плакаты

33. Дознание. Его виды (Доклад)

34. Изучение и разработка очистки стоков от ионов тяжелых металлов (Доклад)

35. Чернобыльская авария (Доклад)

36. Учебно-воспитательная деятельность учителя. Личностные качества учителя (Доклад)

37. Процесс становление власти в России (Доклад)

38. Ангола после обретения независимости (Доклад)
39. Гана до обретения независимости (Доклад)
40. Гражданское общество и либерализм (Доклад)

41. Механизмы Высокотемпературного Радационного Охрупчивания (Доклад)

42. Акустоэлектроника (Доклад)

43. Богоматерь Донская /ГТГ/ Интерпретация темы Богоматери Елеусы (Доклад)

44. Социологическое исследование на тему "Вредные привычки среди молодежи" (Доклад)

45. Концепции "Я" у Ч.Кули и Дж.Мида (Доклад)

46. Этническая специфика (Доклад)

47. Устройство глаза человека (Доклад) (WinWord 98)

48. Дианетика современная наука душевного здоровья (Доклад)

Карандаши цветные Faber-Castell "Grip", 12 цветов.
Эргономичная треугольная форма корпуса карандаша "Grip" обеспечивает правильный захват карандаша тремя пальцами. Массажные
627 руб
Раздел: 7-12 цветов
Сушилка для белья Vileda "Мультифлекс".
Компактная (занимает мало места, удобно размещать даже в небольшом помещении). Очень устойчивая. С защитным покрытием от воздействий
5739 руб
Раздел: Сушилки напольные
Мягкий пол "Ассорти", универсальный, 60x60 см, 1.44 кв.м.
Размер 1 листа: 60x60 см. Площадь4 листов: 1.44 кв.м. Состав: 1 красный лист, 1 желтый лист, 1 зеленый лист, 1 синий лист.
1080 руб
Раздел: Прочие

49. Правильное оказание первой медицинской помощи

50. Физиогномика (отрывок из работ Аристотеля) ([Доклад])

51. Философия, религия и наука и их соотношения в философском знании (Доклад)

52. Роберт Оуэн - социалист-утопист (Доклад)

53. Зарождение философской традиции (Доклад)

54. Крахмал (Доклад)
55. Нефть (Доклад)
56. Банковская система СССР (Доклад)

57. Кредитные ресурсы коммерческого банка (Доклад)

58. Инвестиционные банки (Доклад)

59. Товарная биржа (Доклад)

60. Безналичные расчеты (Доклад)

61. Типы экономических кризисов: "Длинные волны Кондратьева" (Доклад)

62. Адам Смит (Доклад)

63. Введение в маркетинг (Доклад)

64. Информационная сущность рекламы (Доклад)

Развивающая настольная игра "Кругозорник".
1,5 года разработчики трудились над созданием "Кругозорника": изучали учебные программы по окружающему миру, прорисовывали сотни
952 руб
Раздел: Карточные игры
Набор "Водный мир №4" (в коробке).
"Водный мир №4" содержит много элементов для игры с водой: 2 водяных мельницы, водяной насос, которым можно накачать водичку в
1417 руб
Раздел: Игровые и разнопредметные наборы
Карандаши цветные "Progresso", 12 цветов.
Бездревесные цветные карандаши "Progresso" имеют прочное лаковое покрытие, легко затачиваются с помощью обычной карандашной
339 руб
Раздел: 7-12 цветов

65. Аукционные торги (Доклад)

66. Предпосылки создания и будущее новой европейской валюты - евро (Доклад)

67. "Мягкие" составляющие конкурентоспособности (Доклад)

68. Структура управления организацией, ориентированная на решение стратегических проблем (Доклад)

69. Перекрестная эластичность спроса и его эластичность по доходу (Доклад)

70. Издержки производства и их виды (Доклад)
71. Общества с ограниченной ответственностью (Доклад)
72. Вексель в хозяйственном обороте (Доклад)

73. Ценные бумаги (Доклад)

74. Деньги и их роль в экономике (Доклад)

75. Экономическая интеграция стран СНГ (доклад)

76. Меры социальной защиты (Доклад)

77. Причины финансового кризиса в Украине (Доклад)

78. Курс лекций по истории Отечества - основа для докладов и выступлений

79. Миф и религия (Доклад)

80. Основные законы правильного мышления

Декоративная наклейка-ростомер "Ракета", арт. EZG-1001.
Размер: 40x75 см.
366 руб
Раздел: Ростомеры
Набор для составления букета из мягких игрушек "LOVE", 3 зайки.
Яркий и нестандартный подарок - букет из мягких игрушек вызовет восторг у всех, независимо от возраста и положения. К тому же, этот букет
496 руб
Раздел: Дизайнерские игрушки
Именная кружка с надписью "Любимая бабушка".
Предлагаем вашему вниманию готовое решения для подарка по любому поводу – именная кружка. Кружка изготовлена из керамики, в нежной
434 руб
Раздел: Кружки

81. Независимость событий в примере Бернштейна с правильным тетраэдром

82. Как правильно назначить цену за свою работу

83. Качественное лидерство: давайте команде правильные сигналы

84. Правильное применение удобрений

85. Как правильно заключить договор аренды

86. Развитие у ребенка понятий правильного и неправильного
87. Необходимые условия принятия правильных решений
88. Как выбрать "правильное имя" для своего брэнда

89. Правильный метод измерения мужского члена

90. План доклада по философии элейской школы

91. Проверка полноты и правильности синтетического учета по валютному счету

92. Доклад на тему «Ядерное оружие»

93. Грызуны, доклады, биология

94. Как правильно оформлять Интернет-источники, CD-ROM - источники и прочие электронные документы

95. Правильная краска для офсетной печати

96. Доклад про Intel

Настольная игра "Ответь за 5 секунд. Детская".
5 секунд на каждый вопрос. Попробуем? Назовите две вещи на букву Р! Два круглых предмета! Три способа поздороваться! Три ближайших улицы!
1490 руб
Раздел: Игры со словами
Увлекательная настольная игра "Геометрика", новая версия.
Геометрия станет одним из самых любимых предметов, если начать её изучение с «Геометрики». Это простая и увлекательная настольная игра.
392 руб
Раздел: Карточные игры
Цветные карандаши Color Peps, трехгранные, 24 цвета.
Цветные карандаши Color Peps от Maped удовлетворят все потребности детей. Треугольная форма для удобного использования. Мягкий и прочный
433 руб
Раздел: 13-24 цвета

97. CSS: правильное использование - залог успеха

98. Пушкин в Болдино (Доклад)

99. Значение правильного питания


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.