Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами

Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый.
Изготовлены из влагостойкого и грязестойкого материала, сохраняющего свои свойства в любых погодных условиях. Легкость крепления позволяет
66 руб
Раздел: Прочее
Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов
Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки

Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Саратовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет им. Н.Г.Чернышевского Кафедра математического анализа ИССЛЕДОВАНИЕ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ ДИПЛОМНАЯ РАБОТА студентки 524 группы механико-математического факультета Чуркиной Любови Васильевны Научный руководитель к.ф.-м.н, доцент Тимофеев В. Г. Заведующий кафедрой доктор ф.-м.н., профессор Прохоров Д.В. г.Саратов-1996 г. Оглавление. Наименование Стр. Введение 3 §1. Некоторые вспомогательные определения 7 §2. Простейшие свойства модулей нерперывности 20 §3. Обобщение теоремы Джексона 24 §4. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна 27 §5. Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, 30 аппроксимирующих заданную функцию §6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и Ш. 34 Валле-Пуссена §7. Основная теорема 44 §8. Решение задач 47 Литература 50 Введение Дипломная работа посвящена исследованию наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. В ней даются необходимые и достаточные условия для того, чтобы наилучшие приближения имели заданный (степенной) порядок убывания. Дипломная работа носит реферативный характер и состоит из “Введения” и восьми параграфов. В настоящей работе мы рассматриваем следующие задачи: При каких ограничениях на непрерывную функцию F(u) (-1 Ј u Ј 1) её наилучшие приближения E обыкновенными многочленами имеют заданный порядок j ( -1 )? При каких ограничениях на непрерывную периодическую функцию f (x) её наилучшее приближение E тригонометрическими полиномами имеют заданный порядок j ( -1 )? Подстановка u=cos(x) сводит задачу 1 к задаче 2. Достаточно, следовательно, рассматривать лишь задачу 2. Мы ограничимся случаем, когда j(d) О a , для некоторого a , где j(d) - функция сравнения р-го порядка и для 0< da, и достаточно, чтобы для некоторого натурального k>a Изложим теперь кратко содержание каждого из параграфов работы. В §1 даётся ряд вспомогательных определений, которые понадобятся в дальнейшей работе. В §2 выводятся основные свойства модулей непрерывности высших порядков. Почти все эти свойства используются в дальнейшем тексте. §3 посвящен обобщению теоремы Джексона. Как известно, Джексон доказал следующую теорему: если f имеет непрерывную r-ую производную f (r) , то Таким образом, теорема Джексона дает оценку сверху для наилучших приближений, если известны дифференциальные свойства аппроксимируемой функции. В 1947 г. появилась работа С.Н.Бернштейна . Одна из теорем этой работы содержит в качестве следствия такое предложение: пусть ( ) В §4 формулируется доказанное в работе С.Б.Стечкина обобщение известного неравенства С.Н.Бернштейна для производных от тригонометрического полинома. Мы приводим затем ряд следствий из нашего неравенства ( ). Они играют существенную роль при доказательстве теорем §5. В §5 рассматривается следующая задача. Пусть тригонометрический полином , близок в равномерной метрике к заданной функции f или последовательность полиномов { } достаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию f.

Как связаны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами ? Если , образуется из f посредством регулярного метода суммирования рядов Фурье, то ответ тривиален: для того чтобы равномерно относительно . (fОHk). Оказывается, что этот результат сохраняется и для полиномов наилучшего приближения: для того, чтобы равномерно относительно . Отметим еще один результат параграфа: для того чтобы . §6 посвящён “обратным теоремам” теории приближения. Известно предложение: пусть , b=a-r, то f имеет нерперывную производную . Случай целого a рассмотрен Зигмундом. В этом случае . Нетрудно показать, что эти два предложения эквивалентны следующему: пусть 00 таких, что (1.4’) Лемма 1. При любых натуральных j и k справедливо равенство (1.5) Доказательство. Действительно, так как при любом натуральном k Лемма доказана. Лемма 2. При любых натуральных k и верна формула: (1.6) Доказательство. Воспользуемся индукцией по k. При k=1 тождество (1.6) проверяется непосредственно: . Предполагая его справедливость при k-1 (kі2), получим Лемма доказана. Определение 5. Если измеримая периода (b-a) функция f(x)ОLq (Lq-класс всех вещественных измеримых на функции f(x)), то под её интегральным модулем гладкости порядка kі1 понимают функцию (1.7) Доказательство. В самом деле, и так далее. Лемма доказана. Определение 6. Если функция f(x) ограничена на , то под её модулем гладкости порядка kі1 понимают функцию и в случае, когда k=1, представляющую собой модуль непрерывности. Свойства модулей гладкости: есть функция, монотонно возрастающая; есть функция непрерывная; При любом натуральном имеет место ( точное) неравенство (1.8’) 5) Если функция f(x) имеет всюду на непрерывные производные до (r-1)-го порядка, и при этом (r-1)-я производная (1.9) Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того, что 2) Свойство 2) доказывается точно так же, как и для случая обычного модуля непрерывности. 3) Предполагая для определённости, что d>d’, получим Этим непрерывность функции wk(d) доказана. 4) Используя равенство лемму 2 §1, имеем Этим неравенство (1.8) доказано. Неравенство (1.8’) следует из монотонности функции wk( ) и неравенства (1.8). 5) Используя равенства лемму 1 и лемму 3 §1, получим Определение 7. Пусть k-натуральное число. Будем говорить, что функция есть модуль непрерывности k-го порядка функции f, если -конечная разность функции f k-го порядка с шагом h: Среди модулей непрерывности всех порядков особенно важное значение имеют случаи k=1 и k=2. Случай k=1 является классическим; вместо и называть эту функцию модулем непрерывности; функцию мы будем называть модулем гладкости. Определение 8. Зададим натуральное число k. Будем говорить, что функция -есть функция сравнения k-го порядка, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) не убывает, 3) Нетрудно показать, что если f є 0, то есть функция сравнения k- го порядка (см. Лемму 5 §2). Определение 9. Зафиксируем натуральное число k и функцию сравнения k- го порядка . Будем говорить, что функция f принадлежит к классу , если найдётся константа С10>0 такая, что будем писать просто Hka. Если для последовательности функций {f } ( =1,2,.)

где С10 не зависит от , то будем писать: равномерно относительно . Понятие классов является естественным обобщением классов Липшица и классов функций, имеющих ограниченную k-ю производную. Определение 10. Зафиксируем число a>0 и обозначим через p наименьшее натуральное число, не меньше чем a (p=- принадлежит к классу , если она 1) есть функция сравнения p-го порядка и 2) удовлетворяет условию: существует константа С11>0 такая, что для Условие 2) является небольшим ослаблением условия « не убывает». Функции класса a будут играть основную роль во всём дальнейшем изложении. Определение 11. Будем говорить, что функция , если найдутся две положительные константы С12 и С13 такие, что для всех , для которых определены функции . При выполнении этих условий будем писать . Определение 12. Ядром Дирихле -го порядка называется функция (1.10) Это ядро является тригонометрическим полиномом порядка и при этом (1.10’) Определение 13. Ядром Фейера -го порядка называется функция (1.11) Ядро Фейера F ( ) является средним арифметическим первых ядер Дирихле, и значит, является тригонометрическим полиномом порядка ( -1). Так что имеют место равенства (1.11’’) где Dk( )-ядра Дирихле. Определение 14. Ядром Джексона -го порядка называется функция (1.12) Свойства ядер Джексона. а) При каждом ядро J ( ) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2 -2 вида в) Доказательство. а) Учитывая, что для ядер F ( ) Фейера имеют место равенства где jk(k=1,2,.,2 -2) -некоторые числа, и в частности, в силу ортогональности тригонометрической системы функций найдем Этим свойство а) доказано. б) Это равенство следует из равенства, полученного для j0. в) Так как ( ), то г) Совершенно аналогично случаю в) получим Что и требовалось доказать. Определение 15. Ядром типа Джексона порядка называется функция (1.13’) Ядра типа Джексона обладают следующими свойствами: а) б) При фиксированном натуральном k и произвольном ядро J ,k( ) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка k( -1) в) 2k-1, т.е. существуют постоянные С14>0 и С15>0, такие, что при всех =1,2,3,. будет д) При любом натуральном Доказательство свойств ядер типа Джексона. а) Это свойство вытекает из равенств определения б) Это свойство следует из 1-го неравенства определения и из того, что в силу равенств (1.11) и (1.11‘’) будет - некоторые целые числа. в) Учитывая неравенства ( ), будем иметь (1.15‘) г) Это неравенство вытекает из первого равенства определения и неравенства (1.15‘) д) Действительно, с одной стороны, в силу неравенств (1.15‘) и ( ) (1.16) где A-co s , а с другой стороны, учитывая соотношение (1.15), неравенств ( ) и из неравенства si Ј , при всех і0 ( ), имеем (1.16‘) A1-co s . Неравенства (1.16) и (1.16‘) равносильны условию, что и требовалось доказать. §2. Простейшие свойства модулей нерперывности. Этот параграф носит вспомогательный характер. Здесь устанавливается несколько простейших свойств модуля нерперывности высших порядков. Все рассматриваемые здесь функции f1, f2, . - непрерывны. ЛЕММА 1. Для любого натурального k и любого dі0 Лемма доказана.

Эти пространства являются нормированными, т. е. такими Л. п., в которых введена норма элемента х — неотрицательное число , обращающееся в нуль лишь при х = 0 и обладающее свойствами  и  (неравенство треугольника). Число  называют расстоянием между элементами х и у (см. также Метрическое пространство). В нормированном Л. п. вводятся понятия открытого шара, предельной точки множества, непрерывности функционала аналогично тому, как это делается в трёхмерном пространстве.   В конечномерном пространстве различные нормы топологически равносильны: последовательность точек, сходящихся при одной норме, сходится и при любой другой. В бесконечномерных пространствах нормы могут быть существенно различны. Например, при решении задачи П. Л. Чебышева о разыскании многочлена, наименее уклоняющегося от нуля (задачи о наилучшем приближении), надо найти такой многочлен (k — 1)-й степени Pk-i(t), чтобы     имел наименьшее значение. Вводя в пространство С[0,1] норму формулой =     эту задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти многочлен Pk-i(t), расстояние которого от функции t* было бы наименьшим

1. Реферат - Физиология (строение и функции гемоглобина)

2. Роль микроэлементов в обменных процессах растений и на накоплении ими биологически активных веществ (Реферат (обзор литературы) () WinWord 97)

3. Функции белков в организмах живых существ

4. Синапсы (строение, структура, функции)

5. Строение и функции клетки

6. Слуховой анализатор. Строение и функции сердца
7. Экономическая сказка-реферат "НДС - вражья морда" или просто "Сказка про НДС"
8. Налоги: эволюция, определения и формы. Принципы налоговой политики и функции налогов

9. Защитная функция адвокатуры как правовая традиция

10. Товарищества собственников жилья: порядок образования, функции, основания реорганизации и ликвидации товарищества

11. Функции и штаты Олонецкого губернского правления в 1825 – 1918 гг.

12. Референдум и его социальная функция

13. Задачи, система и функции органов юстиции Российской Федерации

14. Функции государства

15. Функции государства: налогообложение и взимание налогов

16. Понятие налога, налогового права, его система, их функции

Бумага чертежная, А4, 100 листов.
Плотность 200 г/м2. ГОСТ 597-73.
519 руб
Раздел: Папки для акварелей, рисования
Подарок «Вкусный Новый год».
Новый год - это волшебное время, которое особенно ждут самые маленькие. Подарочный набор «Вкусный Новый год» станет отличным решением для
350 руб
Раздел: Новогодние наборы от My-shop.ru
Набор детской складной мебели "Познайка".
Комплект складной. Сиденье детского стульчика изготовлено из материала с водоотталкивающей пропиткой. Удобный механизм складывания и
1624 руб
Раздел: Наборы детской мебели

17. Цели, задачи и функции прокуратуры Украины

18. Право: понятие, признаки, виды, функции, принципы

19. Государство: понятие, признаки, формы правления и функции

20. Функции государства

21. Происхождение права, теории происхождения права, понятие признаки, виды, функции, принципы

22. Гарантии прав профсоюзных объединений при осуществлении ими своих функций
23. Синтаксические функции герундия в испанском языке. Проблема атрибутивного герундия
24. Культура как социальное явление. Ее основные функции

25. Культура, ее функции, субъекты

26. Падежи: второй родительный и предложный. Функции и значения

27. Предложения с именным предикатом состояния и их коммуникативные функции

28. Реализация функций языка в ФЗ "О прокуратуре РФ"

29. Реферат перевода с английского языка из книги “A History of England” by Keith Feiling

30. Реферат по книге Фернана Броделя

31. Хэш-функции в криптосистемах

32. Мастер функций в Excel

Конструктор "Цветной", 65 деталей.
Конструктор - это игра развивающая кругозор, знакомящая с различными формами и цветами, а также развивающая воображение Вашего ребёнка.
584 руб
Раздел: Деревянные конструкторы
Настольная игра "Ответь за 5 секунд. Детская".
5 секунд на каждый вопрос. Попробуем? Назовите две вещи на букву Р! Два круглых предмета! Три способа поздороваться! Три ближайших улицы!
1490 руб
Раздел: Игры со словами
Увлекательная настольная игра "Геометрика", новая версия.
Геометрия станет одним из самых любимых предметов, если начать её изучение с «Геометрики». Это простая и увлекательная настольная игра.
392 руб
Раздел: Карточные игры

33. Основные формулы тригонометрии. Таблица частных случаев для тригонометрических функций. Таблица углов sin, cos, tg, ctg

34. Экстремумы функций многих переменных

35. Эквивалентность пяти классов функций элементарных по Кальмару

36. Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)

37. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)

38. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
39. Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов
40. Исследование элементарных функций

41. Пищеварительный тракт и его основные функции

42. Функции гемоглобина в неповрежденных эритроцитах миноги: роль мембраны эритроцитов в регуляции газового транспорта и кислотно-основного баланса

43. Мышцы: начало, место прикрепления, функция

44. О некоторых показателях опорной функции стопы у детей

45. Понятие и характер нотариальных функций

46. Экологические функции правоохранительных органов

47. Уголовно-исполнительное право в системе права, его предмет, функции и система

48. Субъект преступления ("подновлённая" версия реферата 6762)

Набор детской посуды "Тачки. Дисней", 3 предмета.
Детский набор посуды "Тачки" сочетает в себе изысканный дизайн с максимальной функциональностью. Предметы набора выполнены из
447 руб
Раздел: Наборы для кормления
Бокс с наклейками "Чемпионат мира по футболу FIFA 2018" (50 пакетиков в боксе).
Коллекция наклеек для всех любителей футбола и для тех, кто с нетерпением ждет начала главного события лета 2018 - Чемпионата мира по
2562 руб
Раздел: Канцтовары, хобби
Набор универсальных прозрачных обложек для учебников, 120 мкм, 232x455 мм, 20 штук.
Материал: ПВХ. Плотность: 120 мкм. Размер: 232х455 мм. В наборе: 20 штук. Цвет: прозрачный.
310 руб
Раздел: Обложки для книг

49. Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов

50. Партии, роль и функции в обществе

51. Синапсы (строение, структура, функции)

52. Психология труда (Обзорный реферат по психологии труда)

53. ВЕДУЩИЕ ФУНКЦИИ И СТРУКТУРА ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ

54. Что такое конфликт? Природа, типы и функции
55. Религия и её функции
56. Сущность и функции религии

57. Сущность, структура и функции семьи

58. Социология как наука. Предмет и функции социологии

59. Социальные ограничения: содержание, структура, функции

60. "Русский Тарзан" (реферат о российском пловце Александре Попове)

61. Эвристические функции законов сохранения

62. "Камю", "Сартр", "Шопенгауэр", "Ясперс", "Фромм" (Рефераты, доклады по философии)

63. Что такое философия, ее предназначение, социальные функции и роль в жизни человека

64. Социальные ограничения: содержание, структура, функции

Фоторамка на 11 фотографий С31-021 Alparaisa "Family", коричневый, 47x53,5 см.
Размеры рамки: 47x53,5 cм. Размеры фото: - 10х15 см (4 штуки), - 15х10 см (7 штук). Фоторамка-коллаж для 11-ти фотографий. Материал:
868 руб
Раздел: Мультирамки
Портфель "Attache", A4, серый.
Одно отделение.
375 руб
Раздел: Папки-портфели, папки с наполнением
Пенал-книжка для начальной школы "Ever After High", 21x14 см.
Пенал-книжка для начальной школы. 1 отделение, держатели письменных принадлежностей. Застегивается на молнию. Размер: 21х14х3 см.
303 руб
Раздел: Без наполнения

65. Социальные функции науки

66. Планирование - как основная функция управления

67. Структура и функции Банка Англии /Центрального Банка Соединенного Королевства/

68. Коммерческие банки и их функции (Контрольная)

69. Сущность банка, его функции и их развитие на современном этапе

70. Центральный банк и его функции
71. Центральный Банк РФ и его функции
72. Центральные банки и их функции

73. Формы и базовые функции кредита

74. Фондовые биржи и их функции (Контрольная)

75. Теория стоимости. Закон стоимости и его функции

76. Функции и структура валютного рынка

77. Реферат по информационным системам управления

78. Групповые конфликты. Их природа, типология и функции (Контрольная)

79. Проектирование основных составляющих процесса управления по функциям планирования, организации, мотивации и контроля для некоммерческого образовательного учреждения "Автошкола — СТМО"

80. Природа и сущность функций менеджмента

Машинка "Бибикар (Bibicar)", розовая.
Детская машинка «Бибикар» станет идеальным источником не только развлечения, но и развития для любого ребёнка, которому уже исполнилось 3
2650 руб
Раздел: Каталки
Автомобиль со звуковым сигналом "Джип-каталка с ручкой", красный.
Отличная мини-машинка белорусского производства, выполненная по лицензии испанской компании Molto — настоящая находка для энергичных
2126 руб
Раздел: Каталки
Логическая игра "IQ-ХоХо", арт. SG 444 RU.
Заполните игровое поле десятью двухсторонними деталями головоломки, располагая Х и О в определённой последовательности. Выполните все 120
525 руб
Раздел: Игры логические

81. Функции управления

82. Производство товаров и услуг как основная функция фирмы. Факторы производства

83. Анализ производственных функций

84. Функции и происхождение денег

85. Функции денег, практическое значение

86. Сущность, функции и виды денег
87. Функции и формы статистической таблицы. Основные элементы и правила построения
88. Генезис капитализма в Мексике. Реферат по истории экономики

89. Функции государства

90. Центральный банк РФ. Его функции и политика

91. Рынок его функции и структура

92. Сущность и функции денег. Закон денежного обращения. Инфляция

93. Налогообложение: история развития, принципы, функции

94. Функции денег, антиинфляционная политика государства

95. Функции и виды цен

96. Рынок: сущность, функции и структура

Кондиционер для белья "Mitsuei", с ароматом белых цветов, 2 л.
Кондиционер для белья придает невероятную мягкость вашим вещам. Идеально подходит для всех видов ткани, даже для деликатных, таких как
371 руб
Раздел: Ополаскиватели, кондиционеры
Шторка антимоскитная универсальная, с магнитными замками ТД7-009.
Размеры: 100х220 см. Препятствует проникновению насекомых. Не нарушает естественную циркуляцию воздуха. Подходит для любых типов дверных
424 руб
Раздел: Сетки противомоскитные
Альбом для коллекционирования наклеек "Чемпионат мира по футболу FIFA 2018" (35 наклейки в.
Альбом "Чемпионат мира по футболу FIFA 2018" - это место для хранения 682 коллекционных наклеек. Формат альбом: 232х270 мм. В
392 руб
Раздел: Канцтовары, хобби

97. Функции и роль денег в рыночной экономике

98. Экономические функции государства в экономике и инструменты их реализации

99. Семь чудес света - древний мир, средние века и наше время (история цивилизации, реферат)


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.