Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Устойчивость систем дифференциальных уравнений

Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь".
Коврик "Пекарь", сделанный из силикона, поможет Вам готовить вкусную и красивую выпечку. Благодаря материалу коврика, выпечка не
202 руб
Раздел: Коврики силиконовые для выпечки
Забавная пачка "5000 дублей".
Юмор – настоящее богатство! Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь
60 руб
Раздел: Прочее
Фонарь садовый «Тюльпан».
Дачные фонари на солнечных батареях были сделаны с использованием технологии аккумулирования солнечной энергии. Уличные светильники для
106 руб
Раздел: Уличное освещение

Устойчивость систем дифференциальных уравнений Курсовая работа по дисциплине  "Специальные разделы математики" Выполнил студент Новичков А. А., группа: 450 Севмашвтуз - Филиал СПбГМТУ Кафедра №2 Введение. Решения большинства дифференциальных уравнений и их систем не выражаются через элементарные функции, и в этих случаях при решении конкретных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе тем часто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а особенности решений: поведение отдельных решений при изменении параметров систем, взаимное поведение решений при различных начальных данных, является ли решение периодическим, как меняется общее поведение системы при изменении параметров. Все эти вопросы изучает качественная теория дифференциальных уравнений. Одним из основных вопросов этой теории является вопрос об устойчивости решения, или движения системы, если ее трактовать как модель физической системы. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то есть будут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений. Этот вопрос был подробно исследован А. М. Ляпуновым. Основу теории Ляпунова составляет выяснение поведения решений при асимптотическом стремлении расстояния между решениями к нулю. В данной курсовой работе излагаются основы теории Ляпунова устойчивости непрерывных гладких решений систем дифференциальных уравнений первого порядка, а именно: в главе 1 излагаются основные определения, необходимые для изучения устойчивости; в главе 2 дается понятие устойчивости решений систем в общем виде и по первому приближению; в главе 3 излагаются основы второго метода Ляпунова. 1. Свойства систем дифференциальных уравнений. 1.1. Основные определения. Пусть  — непрерывные в области G ( 1)-мерного пространства скалярные функции. Определение. Совокупность уравнений           (1) называется нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка. Ее можно записать в матричной форме, если положить                Определение. Решением системы (1) на интервале (a, b) называется совокупность функций , непрерывно дифференцируемых на этом интервале, если при всех : ; Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение  системы, определенное в окрестности точки , которое удовлетворяет начальным условиям   , , где  — заданная точка из области G. Решение задачи Коши существует и единственно, если все функции в правых частях уравнений системы (1) непрерывно дифференцируемы по всем  в окрестности точки . Каждому решению системы (1) сопоставляется 2 геометрических объекта: интегральная кривая и траектория. Определение. Если  — решение системы (1) на промежутке (a, b), то множество точек (x, ), , ( 1)-мерного пространства называется интегральной кривой решения, а множество точек (), , -мерного пространства называется траекторией решения. Заметим, что из существования и единственности решения задачи Коши интегральные кривые не могут пересекаться или иметь общих точек, однако траектории могут пересекаться без нарушения единственности, так как начальная точка определяется 1 координатой.

В частности траектория может совпадать с точкой (положение равновесия). Система (1) называется автономной, если в правые части уравнений не входит явно независимая переменная. Система (1) называется линейной, если она имеет вид: , или в матричной форме              (1') где  , . Фундаментальной матрицей линейной однородной системы называется матричная функция ( ), определитель которой отличен от нуля и столбцы которой являются решениями системы: . С помощью фундаментальной матрицы ( ) общее решение системы можно записать в виде . Фундаментальная матрица, обладающая свойством , называется нормированной при . Если  — нормированная при  фундаментальная матрица, то частное решение системы записывается в виде , где  — начальное при  значение решения. 1.2. Траектории автономных систем. Будем рассматривать автономную систему в векторной форме:          (2) где функция f(x) определена в . Автономные системы обладают тем свойством, что если  — решение уравнения (2), то , , также решение уравнения (2). Отсюда в частности следует, что решение  можно записать в виде . В геометрической интерпретации эта запись означает, что если две траектории уравнения (2) имеют общую точку, то они совпадают. При этом можно заметить, что траектория вполне определяется начальной точкой , поэтому можно везде считать . Пусть  — положение равновесия, т. е. . Для того чтобы точка  была положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы . Предположим теперь, что траектория решения  не является положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют , такие, что . Так как  — не положение равновесия, то . Поэтому можно считать, что  при . Обозначим  и покажем, что  — -периодическая функция. Действительно, функция  является решением уравнения (2) при , причем . В силу единственности  и  совпадают при всех . Применяя аналогичное рассуждение к решению , получим, что  определено при  и функции  и  совпадают при этих . Таким образом, можно продолжить  на все , при этом должно выполняться тождество , то есть  — периодическая функция с наименьшим периодом. Траектория такого решения является замкнутой кривой. Из приведенного вытекает следующий результат: Каждая траектория автономного уравнения (2) принадлежит одному из следующих трех типов: положение равновесия; замкнутая траектория, которой соответствует периодическое решение с положительным наименьшим периодом; траектория без самопересечения, которой соответствует непериодическое решение. 1.3. Предельные множества траекторий. Определение. Точка  называется -предельной точкой траектории , , если существует последовательность  такая, что  при . Множество  всех -предельных точек траектории называется ее -предельным множеством. Аналогично для траектории  при  определяется понятие -предельной точки как предела , а также -предельного множества. Определение. Траектория  называется положительно (отрицательно) устойчивой по Лагранжу (обозн.  ()), если существует компакт  такой, что  при всех  (), при которых  определена. Иными словами, если траектория всегда остается в некоторой ограниченной области фазового пространства.

Можно показать, что предельное множество устойчивой по Лагранжу траектории не пусто, компактно и связно. Траектория  называется устойчивой по Пуассону, если каждая ее точка является -предельной и -предельной, т. е. . Примером устойчивой по Пуассону траектории является состояние равновесия. Если же рассматривается траектория, отличная от неподвижной точки, то устойчивой по Пуассону она будет в том случае, если обладает свойством возвращаться в сколь угодно малую окрестность каждой своей точки бесконечное число раз. Поэтому устойчивыми по Пуассону будут циклы и квазипериодические траектории (суперпозиция двух периодических колебаний с несоизмеримыми частотами), а также более сложные траектории, возникающие в хаотических системах. Рассмотрим (без доказательств) некоторые свойства предельных множеств в случае = 2. 1. Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий. 2. Если траектория содержит по крайней мере одну свою предельную точку, то эта траектория замкнутая или представляет собой точку покоя. 3. Если траектория остается в конечной замкнутой области, не содержащей точек покоя системы, то она либо является циклом, либо спиралевидно приближается при  к некоторому циклу. 4. Пусть в некоторой окрестности замкнутой траектории  нет других замкнутых траекторий. Тогда все траектории, начинающиеся достаточно близко от , спиралевидно приближаются к  при  или при . Пример. Рассмотрим автономную систему при : Для исследования системы удобно в фазовой плоскости ввести полярные координаты. Тогда получаем следующие уравнения для определения : откуда получаем . Первое из этих уравнений легко интегрируется. Оно имеет решения  и . При  решения  монотонно убывают от  до 0, а при  решения  монотонно возрастают от  до бесконечности. Так как , то отсюда следует, что при  и  все траектории системы образуют спирали, раскручивающиеся от окружности  к бесконечно удаленной точке или к началу координат при неограниченном возрастании полярного угла. Начало координат является положением равновесия и одновременно -предельным множеством для всех траекторий, у которых . Если , то -предельное множество траектории пусто. Окружность  является замкнутой траекторией и одновременно -предельным множеством для всех траекторий, отличных от положения равновесия. 1.4. Траектории линейных систем на плоскости. Рассмотрим автономную линейную однородную систему  (3) с постоянными коэффициентами. Будем полагать = 2 и . В этом предположении система имеет единственное положение равновесия в начале координат. С помощью линейного неособого преобразования X = SY приведем систему (3) к виду , где J — жорданова форма матрицы A. В зависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи: 1)  вещественны, различны и . В этом случае . Параметрические уравнения траекторий таковы: . Координатные полуоси являются траекториями, соответствующими  или . При  и . Картина расположения траекторий при , имеющая специальное название — узел, изображена на рис. 1а. 2)  вещественны и . Полученные в случае узла формулы сохраняют силу.

KombinatЈrikus topolЈgia. Budapest: Acad. kiadЈ, 1955. I. 147. Bibliogr.: 4 ref. 113. * Периодические решения систем дифференциальных уравнений, близкие к разрывным // Докл. АН СССР. 1955. Т. 102, 5. С. 889891. Совместно с Е. Ф. Мищенко. 114. То же // Тезисы докладов механико-математического факультета [МГУ]. М.: Изд-во МГУ. 1955. С. 5. Совместно с Е. Ф. Мищенко. 115. То же // Успехи мат. наук. 1955. Т. 10, вып. 3. С. 193. Совместно с Е. Ф. Мищенко. 116. On the zeros of some elementary transcendental functions // Am. Math. Soc. Trans., Ser. 2. 1955. V. 1. P. 95110. 1956 117. Grundzuge der kombinatorischen Topologie. Berlin: Dt. Verl. Wiss., 1956. 133 S. Bibliogr.: S. 128. 118. Renzoku gunron: 1. Tokyo: Iwanami Shoten, 1956. 303 p. Idem: 2. Tokyo: Iwanami Shoten, 1956. 289 p. 119. О статистическом рассмотрении динамических систем // Андронов А. А. Собрание трудов. М., 1956. С. 142160, фиг. Библиогр.: 5 назв. Совместно с А. А. Андроновым и А. А. Виттом. 120. Грубые системы // Там же. С. 183187. Библиогр.: 4 назв. Совместно с А. А. Андроновым. 121

1. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

3. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

4. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

5. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)

6. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
7. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
8. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка

9. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

10. Система поддержки принятия маркетинговых решений в торговом предприятии на основе методов Data Mining

11. Методы решения систем линейных неравенств

12. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом

13. Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине: Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере)

14. Методы решения уравнений в странах древнего мира

15. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

16. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона

Рюкзак молодёжный "Pixie Crew" с силиконовой панелью для картинок (черный, алфавит).
Повседневные вещи кажутся скучными и однотонными, а тебе хочется выглядеть стильно и быть не как все? "Pixie Crew" сделает твою
3018 руб
Раздел: Молодежные, подростковые
Швабра с распылителем "Любаша".
Швабра с распылителем оснащена емкостью для воды и моющих средств, что значительно облегчает процесс мытья полов. Распыление происходит
1079 руб
Раздел: Швабры и наборы
Многоразовые развивающие карточки. Рисование.
Ваш малыш хочет рисовать, но пока не умеет этого делать? Помогите ребенку научиться рисовать при помощи уникальных многоразовых карточек!
344 руб
Раздел: Прочие

17. Методы решения уравнений в странах древнего мира

18. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

19. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

20. Методы решения алгебраических уравнений

21. Обеспечение финансовой устойчивости ОАО "Свет шахтёра" для решения его стратегических задач

22. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)
23. Применение статистических методов в изучении распространения различных форм и систем оплаты труда
24. Методы решения некорректно поставленных задач

25. Эвристические методы решения творческих задач

26. Кинезиология как Метод решения психологических проблем

27. Система приемов и методов достижения эффективности взаимоотношений «адресант – адресат» в современной радиожурналистике

28. Системы IVR: проблемы и решения

29. Сбалансированная Система Показателей- как метод реализации стратегии

30. Симплекс метод решения задачи линейного программирования

31. Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач

32. Методы решения логических задач

Перчатки виниловые одноразовые, размер S, 100 шт..
Виниловые одноразовые перчатки применяются во время разных видов работ: в пищевой сфере, косметологии, при уборке. Перчатки мягкие и
305 руб
Раздел: Перчатки
Дневник "My Life Story" (бежевый).
Дневник, который запечатлеет Всю историю Вашей жизни. В него Вы можете записать все, что не хотите забыть, все важные моменты Вашей жизни,
2850 руб
Раздел: Прочее
Настольная игра "Ticket to Ride: Европа".
Эта увлекательная игра предлагает захватывающее путешествие из дождливого Эдинбурга в солнечный Константинополь. В настольной игре «Ticket
2990 руб
Раздел: Классические игры

33. Сущность проблемы бездомности в России, пути и методы решения

34. Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования

35. Методы решения транспортных задач

36. Применение метода частотных диаграмм к исследованиям устойчивости систем с логическими алгоритмами управления

37. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

38. Определение предмета и метода проектирования устойчивого развития в системе Природа-Общество-Человек
39. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений
40. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

41. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса

42. Численное решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

43. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка

44. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

45. Критерии устойчивости линейных систем

46. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)

47. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

48. Решение нелинейного уравнения методом касательных

Кружка фарфоровая "FIFA 2018. Забивака. Вперед!", 380 мл.
Объем: 380 мл. Материал: фарфор.
319 руб
Раздел: Кружки, посуда
Вешалка для одежды напольная, раздвижная ТД-00012, 1450x430x1550 мм.
Длина: 145 см. Регулируемая высота: 90-155 см. Ширина: 43 см. Количество перекладин: 1. Максимальная нагрузка: 15 кг. Вешалка напольная
828 руб
Раздел: Вешалки напольные
Гель для укрепления зубов R.O.C.S. "Medical Minerals" для детей и подростков, со вкусом клубники, 45.
Благодаря определенным добавкам он формирует стабильную невидимую пленку на зубах, обеспечивает постепенное проникновение минералов в
354 руб
Раздел: Зубные пасты

49. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

50. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

51. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

52. Метод касательных решения нелинейных уравнений

53. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля

54. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
55. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
56. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

57. Способ устойчивого решения неустойчивых задач и его алгоритм

58. Циклы и устойчивость в развитии социальных систем

59. Система тестов по оценке финансовой устойчивости

60. Решение системы нелинейных уравнений

61. Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

62. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0

63. Модель устойчивой мировой системы

64. Разработка системы мероприятий по рациональному использованию пахотных земель и создание высокопродуктивных устойчивых агросистем в хозяйстве "Хайтинское", Усольского района

Комод "Girl" (четырехсекционный).
Этот комод не оставит Вас равнодушными. Яркая оригинальная расцветка комода привлечет и взрослого, и ребенка, и того, кто предпочитает
1862 руб
Раздел: Комоды, тумбы, шкафы
Керамическая кружка "World of Tanks" с 3D логотипом, 425 мл.
Керамическая кружка "World of Tanks" с 3D логотипом – настоящая находка для геймеров! Эта вместительная чашка станет Вашим
398 руб
Раздел: Кружки
Стиральный порошок Perfect 6 Solution "Перфект мульти солюшн", 3200 грамм.
Порошок стиральный "Перфект мульти солюшн" бесфосфатный для всех типов стиральных машин и ручной стирки. Стиральный порошок
712 руб
Раздел: Стиральные порошки

65. Система лесозащитных мероприятий в насаждениях с нарушенной устойчивостью (Березняки в пригороде Красноярска)

66. Построение аналоговой ЭВМ для решения дифференциального уравнения шестого порядка

67. Разработка программы для решения систем линейных уравнений

68. Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD

69. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка

70. Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем
71. Асимптотика решений дифференциальных уравнений
72. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

73. Решение дифференциальных уравнений

74. Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными

75. Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

76. Устойчивость систем автоматического управления

77. Подход Берта Хеллингера при формировании устойчивости семейной системы в период ненормативных кризисов

78. Дифференциальное уравнение относительного движения механической системы

79. Устойчивость упругих систем

80. Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений

Дневник школьный "Наушники".
Формат: А5 (215x170 мм). Количество листов: 48. Внутренний блок: тонированный офсет 70 г/м2. Материал обложки: искусственная кожа. Способ
370 руб
Раздел: Для младших классов
Шторка антимоскитная "Завитки" с магнитными замками (серая).
Размеры: 100х220 см. Препятствует проникновению насекомых. Не нарушает естественную циркуляцию воздуха. Подходит для любых типов дверных
424 руб
Раздел: Сетки противомоскитные
Органайзер автомобильный "Stels" на спинку сиденья.
Органайзер крепится за стойки подголовника на спинки передних сидений. Прочные регулируемые ремни крепления. Два маленьких сетчатых
406 руб
Раздел: Прочее

81. Пути и способы повышения устойчивости работы РЭА

82. Гражданская оборона: устойчивость лаборатории к воздействию Электромагнитного Импульса(ЭМИ)

83. Широкозонная система спутниковой дифференциальной навигации (теоретический аспект)

84. Избирательная система РФ (избирательное право, виды избирательных систем, избирательный процесс)

85. Устойчивые словесные комплексы в (немецком) публицистическом тексте

86. Управление системой "Интеллектуальный дом" через Интернет. Аппаратно-программные решения внутренней сети
87. Разработка методов определения эффективности торговых интернет систем
88. Экспертные системы. Классификация экспертных систем. Разработка простейшей экспертной системы

89. Разработка программного обеспечения решения нелинейных уравнений

90. Системы принятия решений, оптимизация в Excel и базы данных Access

91. Анализ криптостойкости методов защиты информации в операционных системах Microsoft Window 9x

92. Парольные методы защиты информации в компьютерных системах от несанкционированного доступа

93. Информатика в условиях устойчивого развития

94. Решение задач - методы спуска

95. Использование численных методов для решения дифуpов (2-го порядка) (, демонстрация применения интерполяции в среде MATHCAD-а)

96. Метод последовательных уступок (Теория принятия решений)

Соска для бутылочек Перистальтик Плюс "Pigeon" c широким горлом (с 6 месяцев), отверстие L.
Соска Wide neck с Y-образным отверстием для бутылочек PIGEON с широким горлышком. Уникальная конструкция соски позволяет воспроизводить
358 руб
Раздел: 6-18 месяцев
Обучающая игра "Сложи узор".
Обучающая игра "Сложи Узор" состоит из 16 одинаковых кубиков. Все 6 граней каждого кубика окрашены по-разному в 4 цвета. Это
513 руб
Раздел: Кубики (10 и более штук)
Мельница "Молинеро" для специй, четырёхуровневая.
Мельница «Молинеро» полностью механическая, не требует подзарядки от электросети или от батареек. Вы можете не только перемалывать, но и
620 руб
Раздел: Измельчители, приспособления для резки

97. Методы и приемы решения задач

98. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

99. Решение транспортной задачи методом потенциалов


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.