Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм.
Качественные Японские крючки с лопаткой. Крючки с поводками – готовы к ловле. Высшего качества, исключительно острые японские крючки,
58 руб
Раздел: Размер от №1 до №10
Совок №5.
Длина совка: 22 см. Цвет в ассортименте, без возможности выбора.
18 руб
Раздел: Совки
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый.
Изготовлены из влагостойкого и грязестойкого материала, сохраняющего свои свойства в любых погодных условиях. Легкость крепления позволяет
66 руб
Раздел: Прочее

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Донской Государственный Технический Университет кафедра “Высшей математики” Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами доклад по математике Выполнил Груздев Владимир Викторович студент группы У-1-47 Руководитель Братищев Александр Васильевич г.Ростов-на-Дону 2000 г. Доклад посвящен теме, которой,по мнению автора, в курсе дифференциального исчисления уделено недостаточное внимание, "СЛДУ с периодическими коэффициентами". Приведены основные определения, теоремы, на основе которых можно искать решения (периодические) подобных систем. Рассмотрены несколько примеров на тему. Содержание.1. Однородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами . . .4 2. Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. 6 Примечания . .7 Примеры . .8 Однородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений ? = F( )z (- ( < < (), (1) где F( ) — непрерывная периодическая матрица с периодом (: F( () = F( ). Пусть z1( ), , z ( ) — фундаментальная система решений для системы уравнений (1), определяемая начальными условиями zj(0) = ej (j = 1, , ), (2) где ej = {(j1, , (j } (см. примечание 1). Поскольку матрица F( ) периодическая, функции z1( (), , z ( () также образуют фундаментальную систему решений. Таким образом каждая из функций zj( () будет линейной комбинацией zk( ) (k = 1, , ) с постоянными коэффициентами (см. примечание 2), поэтому где сjk (j, k = 1, , ) — постоянные. Последние соотношения можно записать в виде Z( () = Z( )C, (3) где Z( ) — фундаментальная матрица решений zj( ) (j = 1, , ), а С = (сjk) — постоянная матрица. В силу (1) и (2) матрица Z( ) удовлетворяет условиям ? = F( )Z, Z(0) = E. Полагая в равенстве (3) = 0, получим Z(() = C. Таким образом, Z( () = Z( )Z((). (4) Матрица Z(() называется матрицей монодромии системы уравнений (1). Очевидно (Z(()( ( 0. Собственные значения матрицы Z(() называются мультипликаторами системы уравнений (1). Отметим, что если матрица F( ) действительная, то матрица монодромии также действительная, однако мультипликаторы будут, вообще говоря, комплексными числами. Теорема 1. Для того чтобы комплексное число ( было мультипликатором системы уравнений (1), необходимо и достаточно, чтобы существовало такое нетривиальное решение (( ) системы (1), для которого (( () = ((( ). (5) Доказательство. Пусть ( — мультипликатор системы уравнений (1), тогда существует такой вектор z0 ( 0, что Z(()z0 = (z0. Рассмотрим следующее нетривиальное решение системы уравнений (1): (( ) = Z( )z0. В силу (4) (( () = Z( ()z0 = Z( )Z(()z0 = Z( )(z0 = (Z( )z0 = ((( ). Необходимость условия сформулированного в теореме, доказана. Докажем достаточность. Из соотношения (5) при = 0 получим ((() = (((0). (6) В силу теоремы единственности (( ) = Z( ) ((0), (7) причем ((0) ( 0, так как в противном случае решение (( ) было бы тривиальным. Из равенства (7) в силу (6) следует то, что Z(()((0) = ((() = (((0).

Таким образом, ((0) — собственный вектор матрицы Z(?), а ? — мультипликатор системы уравнений (1). Теорема доказана. Из доказанной теоремы непосредственно вытекает Следствие. Линейная однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное решение с периодом ? в том и только в том случае, когда один из ее мультипликаторов равен единице. Замечания. 1. Имеет место Теорема Флоке. Фундаментальная матрица Z( ) допускает следующее представление: Z( ) = Ф( )eA , где Ф( ) — периодическая матрица с периодом ?, а А — постоянная матрица. 2. Легко видеть, что матрица Ф( ) удовлетворяет следующему условию: откуда непосредственно следует, что замена переменных z = Ф( )y переводит систему уравнений (1) в систему уравнений с постоянными коэффициентами (см. примечание 3)Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Рассмотрим система дифференциальных уравнений ? = F( )z g( ) (- ( < < (), (8) где F( ) — непрерывная периодическая матрица с периодом ?, g( ) — непрерывная периодическая вектор-функция с периодом ?. Нас будут интересовать периодические решения этой системы уравнений с периодом ?. Теорема 2. Пусть однородная система уравнений (1) (соответствующая неоднородной системе (8)) не имеет нетривиальных периодических решений с периодом ? (то есть все ее мультипликаторы отличны от единицы). Тогда система уравнений (8) имеет единственное периодическое решение с периодом ?. Доказательство. Любое решение системы уравнений (8) может быть представлено в виде (9)где Z( ) — фундаментальная матрица системы уравнений (1). Выберем фундаментальную матрицу Z( ) так, чтобы было Z(0) = E. В этом случае формула (9) примет вид (при 0 = 0) (10) Потребуем, чтобы решение z( ) имело период ?: z( ?) = z( ). (11) В частности, при = 0 z(?) = z(0). (12) Оказывается, что если для некоторого решения z( ) выполнено условие (12), то оно имеет период ?. В самом деле, z( ?) и z( ) — два решения системы уравнений (8), удовлетворяющие в силу (12) одному и тому же начальному условию при = 0. В силу теоремы единственности эти решения тождественно совпадают, то есть имеет место соотношение (11). Таким образом, условие того, что решение z( ) имеет период ?, можно записать в виде (12). В силу формулы (10) соотношение (12) примет вид (13)По условию теоремы, все мультипликаторы системы (1) отличны от единицы. Поэтому (Z(() - E( ( 0 (характеристическое уравнение (Z(() - ?E( = 0 не имеет корня ? = 1) и система уравнений (13) однозначно разрешима отностильно z0. Теорема доказана. Замечание. В случае, когда однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ?, линейная неоднородная система уравнений (8) может или вообще не иметь периодических решений с периодом ? (если система уравнений (13) несовместна), или иметь несколько линейно независимых периодических решений с периодом ? (если система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений). Примечания:1. (j1 = {1;0; ;0}, , (j = {0;0; ;1}. 2. Любое решение x( ) однородной системы уравнений есть линейная комбинация решений фундаментальной системы решений x1( ), ,x ( ).

3. Все выводы получаются следующим образом:из ? = F( )Z и Z( ) = Ф( )eA следует то, что, подставляя второе выражение в первое, получимПримеры: Теперь рассмотрим несколько примеров на применение рассмотренных в докладе теорем и следствий к ним:Пример 1: Показать, что линейное уравнение второго порядкагде f( ) — непрерывная периодическая функция с периодом ?, имеет единственное периодическое решение с периодом ?, если Решение.Сведем дифференциальное уравнение к системе и применем теорему 2:1. Имеем2. Для применения теоремы 2 нам необходимо составить матрицу монодромии однородной системы и все собственные значения этой матрицы должны быть отличны от единицы; для начала найдем фундаментальную матрицу для однородной системы, соответствующей неоднородной системе ( ):3. Находим мультипликаторы однородной системы:Итак, если все мультипликаторы системы уравнений ( ) отличны от единицы.Таким образом, выполнены все условия теоремы 2. Из этого следует, что система ( ),а значит и исходное дифференциальное уравнение, имеет единственное периодическое решение с периодом ?.Задача решена. Пример 2: Показать, что линейное уравнение второго порядка при a?2?k/? (k(R) имеет единственное периодическое решение с периодом ? (см. пример 1); при a=(2?/? не имеет периодических решений с периодом ?, а при a=2?k/? (k — любое целое число, не равное (1 и 0) все его решения — периодические с периодом ?. Решение.Очевидно, что здесь необходимо воспользоваться теоремой 2 и замечанием к ней. Решение данного примера необходимо разбить на 3 части (для каждого из условий). Поскольку при нахождении матрицы монодромии в предыдущем примере мы свободный член исходного дифференциального уравнения не использовали и учитывая одинаковые правые части дифференциальных уравнений обоих примеров, можно будет сразу воспользоваться некоторыми выкладками примера 1.Итак, матрица монодромии имеет следующий вид:1. Как мы установили в примере 1, любое линейное уравнение вида при указанных ограничениях действительно имеет единственное периодическое решение с периодом ?.2-3.[a=(2?/?; a=2?k/? (k — любое целое число, не равное (1 и 0)] При данных значениях а однородная система ( ) из 1-го примера имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ?, тогда в соответствии с замечанием к теореме 2 линейная неоднородная система уравнений, соответствующая заданному дифференциальному уравнению , может или вообще не иметь периодических решений с периодом ? (для случая 2 необходимо установить несовместность системы уравнений (13)), или иметь несколько периодических решений с периодом ? (для случая 3 необходимо установить, что система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений). Сначала мы будем случаи 2 и 3 рассматривать совместно: Система уравнений (13):Неоднородная система, соответствующая заданному дифференциальному уравнению:Далее решать систему будем отдельно для каждого заданного значения а:если в системе ( ) справа будет получена нулевая матрица, то она имеет множество решений, если нет – не имеет их вообще. 2. Подставляем в систему ( )a=(2?/?:3. Подставляем в систему ( )a=2?k/? (k — любое целое число, не равное (1 и 0): Таким образом,система (13') имеет бесконечное множество решений для данных значений а ( исходное дифференциальное уравнение имеет несколько линейно независимых периодических решений с периодом ?.З

Будем называть сценированием систему мыследеятельности, содержащую: • онтологию сценирования, то есть сценарную модель; • целеполагание (мотивацию) сценирования; • рамки сценирования; • технику сценирования; • пространство сценирования, заданное в форме матрицы сценариев; • рефлексию сценирования; • восстановление рамки проектности. В настоящее время рассматривается два основных подхода к онтологии сценирования: динамический (исторический) и калибровочный (мета-исторический). Исторический подход не содержит никаких онтологических предположений о природе времени и о философии истории. Поскольку этот подход был разработан в середине XIX столетия, первоначально он использовался в рамках позитивистских представлений об историческом процессе. В историческом подходе сценарий рассматривается как динамическая модель социосистемы, построенная рекуррентным образом; иными словами, речь идет о модели, использующей дискретное понятие шага развития вместо привычного сведения Реальности к системе дифференциальных уравнений. Динамическое сценирование исторического процесса использовалось Прусским/Германским Генеральным штабом для проведения военных игр на картах

1. Уравнения регрессии. Коэффициент эластичности, корреляции, детерминации и F-критерий Фишера

2. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами

3. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

4. Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

5. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

6. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона
7. Решение системы линейных уравнений
8. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

9. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений

10. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка

11. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

12. Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными

13. Система линейных уравнений

14. Дифференциальное уравнение относительного движения механической системы

15. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

16. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

Средство для посудомоечных машин биоразлагаемое "Synergetic", концентрированное, 5 л.
Концентрированное средство для мытья всех видов посуды от любых видов загрязнений. За счет полностью натурального состава обладает 100%
849 руб
Раздел: Для посудомоечных машин
Конструктор "Кукольный домик".
Деревянный домик для маленьких кукол от компании "Большой Слон" привлечет внимание вашей малышки и не позволит ей скучать.
1155 руб
Раздел: Для мини-кукол и мини-пупсов
Игра "Торре. Сорви башню".
Игра типа «Дженга» с разноцветными брусочками и кубиком. Мы усложнили Вашу задачу, покрасив в разные цвета брусочки ставшей уже привычной
666 руб
Раздел: Игры на ловкость

17. Механические колебания в дифференциальных уравнениях

18. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

19. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

20. Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия

21. Лабораторные работы по ЭММ (системы уравнений межотраслевого баланса; оптимизационная модель межотраслевого баланса)

22. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка
23. Дифференциальные уравнения
24. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

25. Способы решения систем линейных уравнений

26. Устойчивость систем дифференциальных уравнений

27. Линейные уравнения и неравенства

28. Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия

29. Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией

30. Линейные диофантовы уравнения

31. Дифференциальные уравнения I и II порядка

32. Частные случаи дифференциальных уравнений

Бумага чертежная, А2, 594x420 мм, 100 листов.
Плотность: 200 г/м2, ГОСТ 597-73.
1687 руб
Раздел: Папки для акварелей, рисования
Микроскоп для смартфона "Kakadu".
Микроскоп для смартфона прекрасное дополнения для Вашего гаджета. Увеличение в 30 раз! Подходит практически ко всем смартфонам (толщина
383 руб
Раздел: Прочее
Деревянная игрушка "Набор для обучения".
Отличная игрушка для малыша. Способствует развитию мелкой моторики, логического мышления, координации движений.
749 руб
Раздел: Счетные наборы, веера

33. Феноменологическое обоснование формы линейного элемента шварцшильдова решения уравнений гравитационного поля ОТО

34. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений

35. Разработка программы для решения систем линейных уравнений

36. Решение линейных интегральных уравнений

37. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)

38. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка
39. Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем
40. Асимптотика решений дифференциальных уравнений

41. Дифференциальные уравнения

42. Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями

43. Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных

44. Решение дифференциального уравнения первого порядка

45. Решение дифференциальных уравнений

46. Решение систем дифференциальных уравнений

47. Методы решения систем линейных уравнений

48. Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Набор для уборки Vileda "Easy Wring. Turbo", швабра+ведро с педальным отжимом.
Набор Vileda "Easy Wring. Turbo" состоит из плоской швабры с телескопической ручкой и ведра с педальным отжимом. Подходит для
3699 руб
Раздел: Швабры и наборы
Брелок для поиска ключей.
Брелок для поиска ключей - просто находка для тех, кто часто теряет ключи либо какие-нибудь вещи в доме. Просто прикрепите брелок к
315 руб
Раздел: Пластиковые брелоки
Ножницы "Pigeon" для детских ногтей.
Детские ножницы для ноготков самых маленьких Pigeon - их маленькие, тонкие закругленные лезвия позволяют без опаски подстригать ноготки
709 руб
Раздел: Маникюрные наборы детские

49. Анализ дифференциальных уравнений

50. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

51. Применение технологии знаково-контекстного обучения во время изложения дифференциальных уравнений

52. Дифференциальное уравнение теплопроводимости

53. Методы решения уравнений линейной регрессии

54. Широкозонная система спутниковой дифференциальной навигации (теоретический аспект)
55. Разработка программного обеспечения решения нелинейных уравнений
56. Корень n-ой степени и его свойства. Иррациональные уравнения. Степень с рациональными показателем

57. Дифференцированные уравнения

58. Решение нелинейного уравнения методом касательных

59. Синтез оптимальных уравнений

60. Иррациональные уравнения

61. Уравнение Кортевега - де Фриса, солитон, уединенная волна

62. Волновые уравнения

63. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

64. Вычисление корней нелинейного уравнения

Опора для балдахина Карапуз (с обручем).
Держатель балдахина крепится к короткой либо к длинной стороне кроватки, в зависимости от размера и формы балдахина. Чтобы накрыть
349 руб
Раздел: Балдахины, держатели
Багетная рама "Patricia" (цвет - белый + золотой), 30х40 см.
Багетные рамы предназначены для оформления картин, вышивок и фотографий. Оформленное изделие всегда становится более выразительным и
698 руб
Раздел: Размер 30x40
Пазл "Обитатели фермы", 15 деталей.
Пазлы Ларсен - это прежде всего обучающие пазлы. На яркой картинке пазла изображены животные на полянке фермы. Некоторые детали пазла
548 руб
Раздел: Пазлы (5-53 элементов)

65. Кинетическое уравнение Больцмана

66. Вывод уравнения Шредингера

67. Замечательное уравнение кинематики

68. Механические свойства элементов Периодической системы Менделеева

69. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

70. Применение графиков в решении уравнений
71. Виды тригонометрических уравнений
72. Рациональные уравнения и неравенства

73. Вычисление корней нелинейного уравнения

74. Методы решения уравнений в странах древнего мира

75. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

76. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

77. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

78. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

79. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

80. Уравнения с параметрами

Одеяло лен + хлопок, 140х205 см.
Облегченное стеганое одеяло с льняным наполнителем подарит вам прохладу в жару и тепло в холод. Льняное волокно обладает уникальными
1389 руб
Раздел: Одеяла
Стиральный порошок "PoshOne Ecobaby Delicate" для детской одежды и деликатных тканей 2,5кг.
Posh one 2500 gr (коробка с мерной ложкой 30 гр): сухой стиральный концентрированный порошок для: цветного белья. Оригинальные импортные
684 руб
Раздел: Стиральные порошки
Этажерка "Люкс-5" с сидением, 3-х ярусная.
Удобная, компактная и функциональная этажерка для обуви с ящиком «Люкс 5» выполнена из металлических трубок с антикоррозионным
1624 руб
Раздел: Полки напольные, стеллажи

81. Новое уравнение теплопроводности

82. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули

83. Решение иррациональных уравнений

84. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

85. Применение свойств функций для решения уравнений

86. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
87. Волновое уравнение не имеет единственного решения
88. Периодическая система элементов Д.И. Менделеева

89. План урока алгебры. Тема: Значения тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений.

90. Определение скорости точки по заданным уравнениям ее движения

91. Волны в упругой среде. Волновое уравнение

92. Периодическая система

93. Система периодического учета запасов и система непрерывного учета запасов

94. Изоморфизм уравнений диссипативных свойств растворов электролитов

95. Составление уравнений окислительно-восстановительных реакций

96. "Периодическая система" ритмов новейшей отечественной истории в геополитической концепции П.Н. Савицкого

Кольцеброс с корзинами и мячами.
Спортивная игра. Цель играющих - набросить кольца с установленного расстояния на один из четырех вертикальных стержней, так чтобы кольца
470 руб
Раздел: Кольцебросы, кегли
Рюкзак "Стрит", черный.
Практичный рюкзак с универсальным дизайном подойдет для тех, кто в первую очередь ценит комфорт и сохранность своих вещей. Станет надежным
330 руб
Раздел: Без наполнения
Комплект детского постельного белья 1.5 "Принцесса".
Постельное белье из бязи выполнено из высококачественного хлопка, что гарантирует крепкий и здоровый сон. Комплект не требует особого
1498 руб
Раздел: Детское, подростковое

97. Методы решения уравнений в странах древнего мира

98. Методы решения уравнений, содержащих параметр

99. Приближённые методы решения алгебраического уравнения


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.