Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка
Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов
Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки

Содержание Введение 1 1. Теоретическая часть 1 1.1. Метод Гаусса 1 1.2. Метод Зейделя 4 1.3. Сравнение прямых и итерационных методов 6 2. Практическая часть 7 2.1 Программа решения системы линейных уравнений по методу Гаусса 7 2.2 Программа решения системы линейных уравнений по методу Зейделя 10 Введение Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма. Одна из трудностей практического решения систем большой размерности связанна с ограниченностью оперативной памяти ЭВМ. Хотя обьем оперативной памяти вновь создаваемых вычислительных машин растет очень быстро, тем не менее, еще быстрее возрастают потребности практики в решении задач все большей размерности. В значительной степени ограничения на размерность решаемых систем можно снять, если использовать для хранения матрицы внешние запоминающие устройства. Однако в этом случае многократно возрастают как затраты машинного времени, так и сложность соответствующих алгоритмов. Поэтому при создании вычислительных алгоритмов линейной алгебры большое внимание уделяют способам компактного размещения элементов матриц в памяти ЭВМ. К счастью, приложения очень часто приводят к матрицам, в которых число ненулевых элементов много меньше общего чила элементов матрицы. Такие матрицы принято называть разреженными. Одним из основных источников разреженных матриц являются математические модели технических устройств, состоящих из большого числа элементов, связи между которыми локальны. Простейшие примеры таких устройств – сложные строительные конструкции и большие электрические цепи. Известны примеры решенных в последние годы задач, где число неизвестных достигало сотен тысяч. Естественно, это было бы невозможно, если бы соответствующие матрицы не являлись разреженными (матрица системы из 100 тыс. уравнений в формате двойной точности заняла бы около 75 Гбайт). 1. Теоретическая часть 1.1. Метод Гаусса Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет. Вычисления с помощью метода Гаусса заключаются в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода. 1.1.1. Схема единственного деления. Рассмотрим сначала простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления. Прямой ход состоит из ( 1 шагов исключения. 1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x1 из уравнений с номерами i = 2, 3, , .

Предположим, что коэффициент a11 ( 0. Будем называть его главным элементом 1-го шага. Найдем величины qi1 = ai1/a11 (i = 2, 3, , ),называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, , -го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q21, q31, , q 1. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему a11x1 a12x2 a13x3 a1 x = b1 , a22(1)x2 a23(1)x3 a2 (1)x = b2(1) , a32(1)x2 a33(1)x3 a3 (1)x = b3(1) , . . . . . . . . . . . . . . . a 2(1)x2 a 3(1)x3 a (1)x = b (1) .в которой aij(1) и bij(1) вычисляются по формулам aij(1) = aij - qi1a1j , bi(1) = bi - qi1b1. 2-й шаг. Целью этого шага является ислючение неизвестного x2 из уравнений с номерами i = 3, 4, , . Пусть a22(1) ? 0, где a22(1) – коэффициент, называемый главным (или ведущим) элементом 2-го шага. Вычислим множители 2-го шагаqi2 = ai2(1) / a22(1) (i = 3, 4, , )и вычтем последовательно из третьего, четвертого, , -го уравнения системы второе уравнение, умноженное соответственно на q32, q42, , qm2. В результате получим систему a11x1 a12x2 a13x3 a1 x = b1 , a22(1)x2 a23(1)x3 a2 (1) = b2(1) , a33(2)x3 a3 (2)x = b3(2) , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3(2)x3 a (2)x = b (2) . Здесь коэффициенты aij(2) и bij(2) вычисляются по формулам aij(2) = aij(1) – qi2a2j(1) , bi(2) = bi(1) – qi2b2(1). Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-й шаг. k-й шаг. В предположении, что главный (ведущий) элемент k-го шага akk(k–1) отличен от нуля, вычислим множители k-го шага qik = aik(k–1) / akk(k–1) (i = k 1, , )и вычтем последовательно из (k 1)-го, , -го уравнений полученной на предыдущем шаге системы k-e уравнение, умноженное соответственно на qk 1,k, qk 2,k, , q k. После ( - 1)-го шага исключения получим систему уравнений a11x1 a12x2 a13x3 a1 x = b1 , a22(1)x2 a23(1)x3 a2 (1)x = b2(1) , a33(2)x3 a3 (2)x = b3(2) , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ( –1)x = b ( –1) .матрица A( -1) которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются. Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим x . Подставляя найденное значение x в предпоследнее уравнение, получим x –1. Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим x –1, x –2, , x1. Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам x = b ( –1) / a ( –1), xk = (b (k–1) – ak,k 1(k–1)xk 1 – – ak (k–1)x ) / akk(k–1), (k = – 1, , 1). Необходимость выбора главных элементов. Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы akk(k–1). Поэтому если один из главных элементов оказывыется равным нулю, то схема единственного деления не может быть реализована. Здравый смысл подсказывает, что и в ситуации, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности. 1.1.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора). Описание метода. На k-м шаге прямого хода коэффициенты уравнений системы с номерами i = k 1, , преобразуются по формуламaij(k) = aij(k–1) - qikakj , bi(k) = bi(k–1) - qikbk(k–1) , i = k 1, , .И

нтуитивно ясно, что во избежание сильного роста коэффициентов системы и связанных с этим ошибок нельзя допускать появления больших множителей qik. В методе Гаусса с выбором главного элементоа по столбцу гарантируется, что qik ? 1 для всех k = 1, 2, , – 1 и i = k 1, , . Отличие этого варианта метода Гаусса от схемы единственного деления заключается в том, что на k-м шаге исключения в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент aikk при неизвестной xk в уравнениях с номерами i = k 1, , . Затем соответствующее выбранному коэффициенту уравнение с номером ik меняют местами с k-м уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента akk(k-1). После этой перестановки исключение неизвестного xk производят, как в схеме единственного деления. 1.1.3. Метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице (схема полного выбора). В этой схеме допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных. На 1-м шаге мтода среди элементов aij определяют максимальный по модулю элемент ai1j1. Первое уравнение системы и уравнение с номером i1 меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного xi1 из всех уравнений, кроме первого. На k-м шаге метода среди коэффициентов aij(k–1) при неизвестных в уравнениях системы с номерами i = k, , выбирают максимальный по модулю коэффициент aikjk(k-1). Затем k-е уравнение и уравнение, содержащее найденный коэффициент, меняют местами и исключают неизвестное xjk из уравнений с номерами i = k 1, , . На этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке: xj , xj –1, , xj1. 1.2. Метод Зейделя 1.2.1. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений Ax = b с квадратной невырожденной матрицей A, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду x = Bx c.Здесь B – квадратная матрица с элементами bij (i, j = 1, 2, , ), c – вектор-столбец с элементами cij (i = 1, 2, , ). В развернутой форме записи система имеет следующий вид: x1 = b11x1 b12x2 b13x3 b1 x c1 x2 = b21x1 b22x2 b23x3 b2 x c2 . . . . . . . . . . . . . . . . . x = b 1x1 b 2x2 b 3x3 b x c Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций, не является простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы. Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в следующем. Из первого уравнения системы выразим неизвестное x1: x1 = a11–1 (b1 – a12x2 – a13x3 – – a1 x ),из второго уравнения – неизвестное x2: x2 = a21–1 (b2 – a22x2 – a23x3 – – a2 x ),и т. д. В результате получим систему x1 = b12x2 b13x3 b1, –1x –1 b1 x c1 , x2 = b21x1 b23x3 b2, –1x –1 b2 x c2 , x3 = b31x1 b32x2 b3, –1x –1 b3 x c3 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x = b 1x1 b 2x2 b 3x3 b , –1x –1 c ,в которой на главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы. Остальные элементы выражаются по формулам bij = –aij / aii, ci = bi / aii (i, j = 1, 2, , , j ? i) Конечно, для возможности выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы A были ненулевыми.

Этим объясняется то, что, вообще говоря, решение систем из n уравнений 1-го порядка с n неизвестными функциями зависит от n параметров.   Для приведённых выше конкретных примеров Д. у. их общее решение удаётся выразить при помощи элементарных функций. Типы Д. у., допускающие такого рода решение, детально изучаются. Часто придерживаются более общей точки зрения, считая Д. у. «решённым», если искомая зависимость между переменными (и входящими в общее решение параметрами c1, c2, ...) может быть выражена при помощи элементарных функций и одной или нескольких операций взятия неопределённого интеграла («решение выражено в квадратурах»).   Большой общностью обладают способы нахождения решений при помощи разложения их в степенные ряды. Например, если правые части уравнений (а) в окрестности точки (t0, x10, x20, ..., xn0) голоморфны (см. Аналитические функции), то решение соответствующей начальной задачи выражается функциями xi (t), разлагающимися в степенные ряды:   коэффициенты которых можно найти последовательным дифференцированием правых частей Д. у. (а) и сопоставлением коэффициентов при одинаковых степенях в левых и правых частях этих уравнений.   Из специальных типов Д. у. особенно хорошо разработана теория линейных Д. у. и систем линейных Д. у. (см

1. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса

2. Численное решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

3. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

4. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

5. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

6. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами
7. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка
8. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

9. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)

10. Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

11. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

12. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

13. Методы решения алгебраических уравнений

14. Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки

15. Метод последовательных уступок (Теория принятия решений)

16. Метод Гаусса

Давайте вместе поиграем. Игры с логическими блоками Дьенеша.
Это яркое красочное пособие поможет организовать занятия с набором блоков для детей старшего дошкольного возраста. Комплект поможет
326 руб
Раздел: Прочие
Каталка "Пальма" с ручкой.
593 руб
Раздел: На палочке
Электроминикар Tokids "Bubble truck", цвет синий.
Помимо того, что игрушка очень красива и выразительна, помимо того, что она обучает вашего ребенка управлять хоть и маленьким, но все же
1261 руб
Раздел: Электромобили

17. Решение системы нелинейных уравнений

18. Метод Гаусса с выбором главной переменной

19. Классификация методов разработки и принятия управленческих решений

20. Разработка программы решения системы линейных уравнений

21. Численное интегрирование методом Гаусса

22. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений
23. Методы и анализ нелинейного режима работы системы ЧАП. Метод фазовой плоскости
24. Матрицы, Метод Гаусса

25. Методы исследования больных с заболеваниями эндокринной системы

26. Методы поиска новых идей и решений. Совершенствование методов управления в менеджменте

27. Политология - объект, предмет и основные функции, категории, методы и закономерности. Место политологии в системе социально-гуманитарных наук

28. Система банкротства в Российской Федерации. Методы прогнозирования возможного банкротства предприятия

29. Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования

30. Управление системой "Интеллектуальный дом" через Интернет. Аппаратно-программные решения внутренней сети

31. Военно-технические проблемы создания и развития современной системы управления силами ВМФ и пути их решения

32. Способы решения систем линейных уравнений

Развивающая настольная игра "Кругозорник".
1,5 года разработчики трудились над созданием "Кругозорника": изучали учебные программы по окружающему миру, прорисовывали сотни
952 руб
Раздел: Карточные игры
Набор "Водный мир №4" (в коробке).
"Водный мир №4" содержит много элементов для игры с водой: 2 водяных мельницы, водяной насос, которым можно накачать водичку в
1417 руб
Раздел: Игровые и разнопредметные наборы
Карандаши цветные "Progresso", 12 цветов.
Бездревесные цветные карандаши "Progresso" имеют прочное лаковое покрытие, легко затачиваются с помощью обычной карандашной
339 руб
Раздел: 7-12 цветов

33. Статические методы против виртуальных методов

34. Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений

35. Решение линейных интегральных уравнений

36. Радиоволновые, радиационные методы контроля РЭСИ. Методы электронной микроскопии

37. Решение алгебраического уравнения n-ой степени

38. Решение систем дифференциальных уравнений
39. Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа
40. Денежные потоки и методы их оценки. Методы оценки финансовых активов

41. Налоговые системы развитых стран и их сравнение с налоговой системой России

42. Банковская система США: от зарождения до образования Федеральной резервной системы

43. Алгебраические уравнения

44. Систематизация и обобщение знаний учащихся по теме "Алгебраические уравнения" в 9 классе

45. Система поддержки принятия маркетинговых решений в торговом предприятии на основе методов Data Mining

46. Решение нелинейного уравнения методом касательных

47. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

48. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

Машина-каталка Ламбо "Розовая Принцесса".
Ультрамодный автомобиль Ламбо - это воплощение стиля, опережающее время! Машина-каталка "Розовая Принцесса" - не просто веселая
1369 руб
Раздел: Каталки
Точилка "Божья коровка", электрическая с контейнером (2 запасных лезвия EG-5009).
Электрические точилки помогут быстро, качественно и без каких-либо усилий заточить карандаши. А яркие и необычные дизайны порадуют детей и
451 руб
Раздел: Точилки
Макси-пазлы "Ягоды", 20 элементов.
Макси-пазлы разработаны специально для маленьких детей. Крупные крепкие детали удобны для захвата детской ручкой. А красочное оформление
426 руб
Раздел: Пазлы (Maxi)

49. Метод касательных решения нелинейных уравнений

50. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля

51. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

52. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

53. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона

54. Методы решения уравнений, содержащих параметр
55. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта
56. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

57. Методы оптимизации при решении уравнений

58. Методы решения уравнений линейной регрессии

59. Решение транспортной задачи методом потенциалов

60. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)

61. Парольные методы защиты информации в компьютерных системах от несанкционированного доступа

62. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)

63. Решение задач - методы спуска

64. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

Карандаши цветные "Lyra Groove Slim", 12 цветов + точилка.
Карандаши с эргономичным захватом по всей длине. Диаметр грифеля 3,3 мм! Точилка. Уникальные карандаши с канавками! Запатентовано! Научите
540 руб
Раздел: 7-12 цветов
Набор чехлов для путешествий "Бон вояж".
В набор чехлов для путешествий входит 5 чехлов различного размера и назначения, в которые можно положить любые вещи, которые пригодятся
520 руб
Раздел: Чехлы для одежды
Письменные принадлежности "Набор первоклассника", арт. Нп4_17692.
В наборе: доска для лепки, клей-карандаш, ручка шариковая синяя - 2 штуки, карандаш черно графитный - 2 штуки, точилка, пластилин, набор
527 руб
Раздел: Наборы канцелярские

65. Методы и приемы решения задач

66. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

67. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

68. Предмет, понятие, метод и система криминологии

69. Методология и методы принятия решения

70. Сущность и методы принятия управленческих решений
71. Современные методы решения экологических проблем на предприятии (на примере ООО "Волготрансгаз" - дочерней структуры ОАО "ГАЗПРОМ")
72. Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине: Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере)

73. Решение творческих задач методом блочных альтернативных сетей: объектно-ориентированные представления

74. Совершенствование методов проектирования кораблей и обоснование проектных решений

75. Методы решения некорректно поставленных задач

76. Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

77. Методы исследования опорно-двигательной системы

78. Методы исследования опорно-двигательной системы

79. Методы принятия управленческого решения

80. Система методов управления персоналом

Игровой надувной цилиндр "Gymex".
Игровой надувной цилиндр GYMEX – очень полезная игрушка для физического развития малыша! Состоит он из трёх прозрачных надувных секций,
419 руб
Раздел: Батуты, надувные центры
Набор разделочных досок на подставке (4 штуки ).
Материал: пластик. Количество: 4 штуки. Каждая доска для определенных продуктов.
2090 руб
Раздел: Пластиковые
Стиральный порошок "INDEX", универсал, 4500 грамм.
Предназначение: для стирки изделий из хлопчатобумажных, льняных, синтетических тканей, а также тканей из смешанных волокон (кроме изделий
786 руб
Раздел: Стиральные порошки

81. Эвристические методы решения творческих задач

82. Кинезиология как Метод решения психологических проблем

83. Метод "Девиз" и его эмоциональная основа в системе занятий изобразительным искусством на факультете начальных классов

84. Решение задач транспортного типа методом потенциалов

85. Развитие физкультуры и спорта. Новые системы и методы физического воспитания.

86. Определение предмета и метода проектирования устойчивого развития в системе Природа-Общество-Человек
87. Построение системы методов управления инвестиционными рисками лизинговой компании
88. Зарплата в системе методов стимулирования труда(зарубежный опыт)

89. Системы учета "стандарт-кост" и нормативного метода - основа организации управленческого учета

90. Системы и методы калькулирования себестоимости. Расчет себестоимости на примере ячеек КРУ

91. Система приемов и методов достижения эффективности взаимоотношений «адресант – адресат» в современной радиожурналистике

92. Методы решения задач

93. Методы поиска технических решений

94. Модели и методы решения проблемы выбора в условиях неопределенности

95. Сбалансированная Система Показателей- как метод реализации стратегии

96. Криминология: методы и система

Набор "Дизайнер улиц".
Набор включает жидкий мел в удобных баллончиках трех цветов и трафареты для рисования. Жидким мелом легче, чем обычным, реализовать
382 руб
Раздел: Мел
Бумага для офисной техники, А4, 80 г/м2, 138% CIE, 500 листов в пачке.
Бумага для ксерокопий предназначена для размножения печатных материалов на копировальных аппаратах и лазерных принтерах, не рекомендуется
307 руб
Раздел: Формата А4 и меньше
Игрушка пластмассовая "Умный телефон".
Интерактивная развивающая игрушка выполнена в форме телефона. Умный телефон имеет несколько функций: 1. Обучение: называет буквы, цифры,
379 руб
Раздел: Мобильные

97. Основные методы исследования функционирования нервной системы беспозвоночных

98. Калькулирование себестоимости продукции по системе "Стандарт-костинг". Связь с традиционными методами учета затрат

99. Понятие, предмет, метод, система и задачи уголовного права


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.