Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Иррациональные уравнения

Забавная пачка "5000 дублей".
Юмор – настоящее богатство! Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь
60 руб
Раздел: Прочее
Мыло металлическое "Ликвидатор".
Мыло для рук «Ликвидатор» уничтожает стойкие и трудно выводимые запахи за счёт особой реакции металла с вызывающими их элементами.
197 руб
Раздел: Ванная
Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм.
Качественные Японские крючки с лопаткой. Крючки с поводками – готовы к ловле. Высшего качества, исключительно острые японские крючки,
58 руб
Раздел: Размер от №1 до №10

Иррациональные уравнения ВВЕДЕНИЕ В школьном курсе алгебры рассматриваются различные виды уравнений – линейные, квадратные, биквадратные, кубические, рациональные, с параметрами, иррациональные и другие. Данная курсовая работа посвящена иррациональным уравнениям, методам их решения. Кроме того, в работе введены понятия уравнений следствий и равносильных уравнений, а также приведены примеры задач, математическими моделями которых служат иррациональные уравнения. В данной работе содержится небольшая историческая справка, посвященная введению иррациональных чисел. 1. ИЗ ИСТОРИИ Термин «рациональное» (число) происходит от латиноамериканского слова ra io – отношение, которое является переводом греческого слова “логос”в отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т.е. нерациональными (по-гречески “алогос”) правда, первоначально термины “рациональный” и “иррациональный”  относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми, Теодор Киренский же симметричными и ассимметричными. В V-VI вв. римские авторы Капелла и Кассиодор переводили эти термины на латынь словами ra io alis  и irra io alis. Термин «соизмеримый» (comme surabilis) ввел в первой половине VI в. другой римский автор- Боэций. Древнегреческие математики классической эпохи пользовались только  рациональными числами (вернее целыми, дробными и положительными). В своих «Началах» Евклид излагает учение об иррациональностях чисто геометрически. Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа. Греки называли иррациональную величину, например, корень из квадратного числа, «алогос» – невыразимое словами, а позже европейские переводчики с арабского на латынь перевели это слово латинским словом  surdus – глухой. В Европе термин surdus- глухой впервые появился в середине XII в. у Герарда Кремонского, известного переводчика математических прозведений с арабского на латынь, затем у итальянского математика Леонардо Фабоначчи и других европейских математиков, вплоть до XVIII в. Правда уже в XVI в. Отдельные ученые, в первую очередь итальянский математик Рафаэль Бомбелли и нидерландский математик Симон Стевин считали понятие иррационального числа равноправным с понятием рационального числа. Стевин писал: «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и  согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью.»    Еще до Бомбелли и Стевина многие ученые стран Среднего Востока в своих трудах употребляли иррациональные числа как полноправные объекты алгебры. Более того, комментируя «Начала» Евклида и исследуя общую теорию отношения Евдокса, Омар Хайям уже в начале XII в. теоретически расширяет понятие числа до положительного действительного числа.

В том же направлении много было сделано крупнейшим математиком XIII в. ат-Туси.    Математики и астрономы Ближнего и Среднего Востока вслед за астрономами древнего Вавилона и эллинистической эпохи широко пользовались шестидесятеричными дробями, арифметические действия с которыми они называли «арифметикой астрономов». По аналогии с шестидесятеричными дробями самаркандский ученый XV в.  ал-Каши в работе «Ключ арифметики» ввел десятичные дроби которыми он пользовался для повышения точности извлечения корней. Независимо от него по такому же пути шел открывший в 1585 г. десятичные дроби в Европе Симон Стевин, который в своих «приложениях к алгебре» (1594 г.) показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечно близкого приближения к действительному  числу. Таким образом, уже в XVI в. зародилась идея о том, что  естественным аппаратом  для введения и обоснования понятия иррационального числа являются десятичные дроби.  Появление  «Геометрии» Декарта облегчило понимание связи между измерением любых отрезков (и геометрических величин вообще) и необходимости расширения  понятия рационального числа.  На числовой оси иррациональные числа,  как и рациональные, изображаются точками. Это геометрическое толкование позволило лучше понять природу иррациональных чисел и способствовало их признанию.    В  современных учебных руководствах  основа определения иррационального числа  опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей. Однако обоснованием свойств действительных чисел и полная теория их была разработана лишь в XIX в. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Равносильные уравнения. Следствия уравнений. При решении уравнений выполняются  различные тождественные преобразования над выражениями, входящими в уравнение. При этом исходное уравнение изменяется другими, имеющими те же корни. Такие уравнения называются равносильными.    Определение: Уравнение f(x)=g(x) равносильно уравнению f1(x)=g1(x), если каждый корень первого уравнения является корнем второго и обратно, каждый корень второго уравнения является корнем первого, т.е. их решения совпадают.    Например, уравнения 3x-6=0; 2х–1=3 равносильны, т.к. каждое из уравнений имеет один корень х=2.    Любые два уравнения, имеющие пустое множество корней, считают равносильными.    Тот факт, что уравнения f(x)=g(x) и  f1(x)=g1(x) равносильны, обозначают так: f(x)=g(x)         f1(x)=g1(x) В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.    Теорема 1: Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному. Доказательство: Докажем, что уравнение   f(x) = g(x) q(x)           (1)                                                 равносильно уравнению                                             f(x) – q(x) = g(x)          (2) Пусть х=а – корень уравнения. Значит имеет место числовое равенство f(a)=g(a) q(a) . Но тогда по свойству действительных чисел будет выполняться и числовое равенство f(a)-q(a)=g(a) показывающее, что а – корень уравнения (2).

Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения (2) является  и корнем уравнения (1). Что и требовалось доказатью. Теорема 2: Если обе части  уравнения умножить или разделить на отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному. Доказательство: докажем, что уравнение  6х–3=0 равносильно уравнению 2х–1=0 решим уравнение 6х–3=0 и уравнение 2х–1=0                            6х=3                              2х=1                          х=0,5                          х=0,5 так как корни уравнений равны, то уравнения равносильны. Что и требовалось доказать. Рассмотрим уравнение ОДЗ этого уравнения {х ≠ 1, х  ≠ -3} Мы знаем, что дробь равна нулю в том случае, когда ее числитель равен нулю, т.е. х² х–2=0, а знаменатель не равен 0. Решая уравнение х² х–2=0, находим корни х1=1, х2 = –2 . Но число 1 не входит в ОДЗ данного уравнения и значит, исходное уравнение имеет один корень  х=-2.    В этом случае говорят, что уравнение х² х–2=0, есть следствие уравнения пусть даны два уравнения: f1 (x) = g1 (x)     (3) f2 (x) = g2 (x)     (4) Если каждый корень уравнения (3) является корнем уравнения (4), то уравнение (4) называют следствием уравнения (3). Этот факт записывают так: В том случае, когда уравнение (3) - есть также следствие уравнения (4), эти уравнения равносильны.    Два уравнения равносильны в том, и только в том случае, когда каждое из них является следствием другого.    В приведенном выше примере уравнение – следствие х² х–2=0, имеет два корня x1=1 и х2 =-2, а исходное уравнение имеет один корень х=-2. В этом случае корень х=1 называют посторонним для  исходного уравнения          В общем случае корни уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения, называют посторонними.    Итак, если при решении уравнения происходит переход к уравнению – следствию, то могли появиться посторонние корни. В этом случае все корни уравнения-следствия нужно проверить, подставляя их в исходное уравнение. В некоторых случаях выявление посторонних корней облегчается знанием ОДЗ исходного уравнения – корни, не принадлежащие ОДЗ, можно сразу отбросить. Так, в приведенном примере посторонний корень х=1 не входит в ОДЗ уравнения и потому отброшен. Иногда посторонние корни могут появиться и при тождественных преобразованиях, если они приводят к изменению ОДЗ уравнения. Например, после приведения подобных членов в левой части уравнения                                                ОДЗ которого {х ¹-2},                                получим уравнение следствие х²-4=0 имеющее два корня х1 = 2,  х2 = -2 корень х2 = -2 – посторонний, так как не входит в ОДЗ исходного уравнения. В тех случаях, когда в результате преобразований произошел переход от исходного уравнения к уравнению, не являющемуся его следствием, возможна потеря корней. Например, уравнение (х 1)(х 3)= х 1     (5) Имеет два корня. Действительно, перенося все члены уравнения в левую часть и вынося х 1 за скобки, получим (х 1)(х 2)=0, откуда находим х1=-1, х2=-2 . Если же обе части уравнения (5) разделить («сократить») на х 1, то получим уравнение х 3=1, имеющее один корень х=-2.

В чем плюсы предлагаемого подхода? Во-первых, старо-рациональное не менее "статично", сущностно ахронично, чем перечисленные миф, герметические учения или первобытный социум. Поэтому упоминавшееся достоинство играющей с "иррациональностью" культурологии, социологии: прерывание дурной бесконечности в поисках оснований современной изменчивой, открытой рациональности, а также преодоление антиметафизического духа, соответствующей "нищеты" позитивистских наук, в данном случае сохраняется. В математической сфере к примерам типологически древнего, "фундаменталистского" знания могут быть отнесены, скажем, счет и комбинаторика, арифметические и геометрические пропорции, теоремы пифагорейского цикла (о прямоугольном треугольнике, об иррациональности ряда радикалов, первоначально 2), свойства треугольников, многоугольников, многогранников, диофантовы уравнения и др. Во-вторых, мы не покидаем в данном случае пределов рациональности как таковой, избегаем ее эрозии под воздействием атакующей паранаучности или эмпатической художественной образности

1. Темы сочинений за курс средней школы 2002-2003 уч. года (11 класс)

2. Тема любви в творчестве А.И. Куприна: опыт изучения в старших классах

3. Использование библейских сюжетов в проектной деятельности учащихся старших классов средней школы (на примере немецкого языка)

4. Принцип межпредметных связей при решении химических задач. Разбор основных способов решения расчетных задач

5. Научно-педагогическое обоснование урока английского языка в 8“б” классе Лингвистической гимназии №3

6. Научно-педагогическое обоснование урока английского языка в 8“б” классе Лингвистической гимназии №3
7. Решение иррациональных уравнений
8. Проблемное обучение в преподавании темы физики 8 класса "Тепловые явления"

9. Урок-семінар у 8 класі з геометрії на тему "Перетин прямої і кола" /Укр./

10. Использование проектной работы на уроках английского языка в 7-8 классах в процессе формирования языковой компетенции

11. План-конспект урока-семинара по русскому языку в 11 классе на тему: "Лингвистический анализ текста"

12. Изучение исторических персоналий на уроках истории в 8 классе (на примере личностей Наполеона Бонапарта, Александра I и Кутузова)

13. Конспект урока алгебры в 7 "А" классе сш № 19 г. Астрахани

14. Методы обучения на уроках "Технологии" 8 классов

15. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы

16. Зачет как одна из форм контроля знаний учащихся по алгебре в 8 классе

Магнитная игра для путешествий "Умные утки", арт.SGT 270 RU.
Выстрой в дружные ряды все утиные семейства! В игре участвуют три семейства уток, в каждом есть мама-утка и несколько утят. В жёлтом
479 руб
Раздел: Игры на магнитах
Сиденье для ванны (снежно-белое).
Выдерживает нагрузку до 200 кг. Располагается практически на уровне ванны, а не вставляется внутрь, что особенно важно для удобства людей
604 руб
Раздел: Горки, приспособления для купания
Детская машинка "Вихрь", голубая.
Маленькие гонщики в возрасте от 1 до 3 лет будут в восторге от маневренной машинки "Вихрь". Легкая и невероятно простая в
1350 руб
Раздел: Каталки

17. Дидактические возможности отдельных методов обучения на уроках литературы в старших классах

18. Sportster Voice 28.8 Инсталляция & Проблемы и решения

19. Краткие сведения о электронных таблицах. Решение уравнения

20. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

21. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

22. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
23. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана
24. Решение уравнений в целых числах

25. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

26. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом

27. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами

28. Изучение темы "Акмеизм" в 11 классе

29. Методические основы уровневой дифференциации при обучении алгебре в классах с углубленным изучением математики

30. Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

31. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

32. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

Глобус физический, 210 мм.
На карту глобуса нанесены страны, границы, города, континенты, моря, океаны, глубины и другая полезная информация. Подставка глобуса
346 руб
Раздел: Глобусы
Подушка "Green Line. Бамбук", 50х70 см.
Удобные и практичные постельные принадлежности, изготовленные с применением ткани нового поколения из микрофиламентных нитей Ultratex и
656 руб
Раздел: Размер 50х70 см, 40х60 см
Пелёнка-кокон для мальчика "Карапуз" на липучке.
Пеленка-кокон для пеленания с удлиненными краями, оснащенными липучками. Дарит чувство комфорта и безопасности новорожденному малышу,
419 руб
Раздел: Пелёнки

33. Применение графиков в решении уравнений

34. Решение смешанной задачи для уравнения

35. Методы решения уравнений в странах древнего мира

36. План-конспект урока Математическое моделирование при решении экологических задач

37. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

38. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
39. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
40. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

41. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

42. Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

43. Решение одного класса игр на матроидах

44. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

45. Иррациональные уравнения и неравенства

46. О методике решения задач на относительность движения при изучении основ кинематики в 9 классе общеобразовательной школы

47. Волновое уравнение не имеет единственного решения

48. Осуществление межпредметных связей в процессе изучения темы физики 10 класса "Свойства твердых тел"

Увлекательная настольная игра "Фрукто 10", новая версия.
«Фрукто 10» Вам нужно быть самым быстрым, чтобы первым найти фруктовую десятку на двух карточках, громко ее объявить и забрать карточки
392 руб
Раздел: Карточные игры
Простыня на резинке "ЭГО", 90х200 см, салатовая.
Трикотажная простыня "ЭГО" на резинке выполнена из 100% хлопка высокого качества. Натуральный, экологически чистый материал
589 руб
Раздел: Простыни, пододеяльники
Форма разъемная Regent "Easy" круглая, 18x7 см.
Форма для выпечки разъемная из углеродистой стали с антипригарным покрытием. Удобная застежка. Поверхность устойчива к царапинам. Диаметр:
310 руб
Раздел: Формы и формочки для выпечки

49. Моделирование экологических проблем и способов их решений на уроках химии

50. План-разработка открытого урока по истории России в 11-м классе

51. Развлекательные и познавательные игры на уроках английского языка в младших классах

52. “Азбука права” для учащихся 6-8 классов

53. Формы и методы предъявления задач на уроках физике на материале изучения темы "Изменение агрегатных состояний вещества"

54. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки
55. Список + все темы по английскому языку для сдачи выпускного экзамена в 11 классе 2001 года
56. Темы по английскому за 9 класс

57. Решение системы нелинейных уравнений

58. Применение графиков в решении уравнений

59. Методы решения уравнений, содержащих параметр

60. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

61. Метод касательных решения нелинейных уравнений

62. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

63. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0

64. Фонетическая зарядка как средство формирования произносительных навыков у учащихся второго класса на уроках немецкого языка

Складная силиконовая вставка для горшка Potette Plus, голубая.
В дополнении к основной вставке для горшка Potette Plus производитель выпустил новую складную модель. Её главное отличие в значительном
924 руб
Раздел: Прочие
Чернильный картридж Parker для перьевой ручки. Темно-синий (5 штук).
Для использования в перьевых ручках Паркер. Чернила темно-синего цвета.
309 руб
Раздел: Стержни для ручек
Таз со стиральной доской.
Универсальный таз со встроенной рельефной поверхностью для ручной стирки. Таз изготовлен из высококачественного полипропилена,
451 руб
Раздел: Более 10 литров

65. Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений

66. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

67. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса

68. Разработка программного обеспечения для решения уравнений с одной переменной методом Ньютона (касательных)

69. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона

70. Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD
71. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
72. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

73. Решение системы линейных уравнений

74. Решение уравнений средствами Excel

75. Численное решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

76. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка

77. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений

78. Алгебра матриц. Системы линейных уравнений

79. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка

80. Графическое решение уравнений

Набор STABILO LeftRight для правшей.
В наборе: шариковая ручка, механический карандаш, грифели, ластик, точилка. STABILO LeftRight: • Созданы специально для обучения письму
482 руб
Раздел: Наборы канцелярские
Циркуль для класса, деревянный.
Циркуль классный изготовлен из твердолиственных пород древесины. Лакированная поверхность. Незаменимый помощник учителя геометрии,
966 руб
Раздел: Циркули, чертежные инструменты
Игра настольная "Шакал".
Стратегическая игра для 2-4 игроков, главная задача которой — найти клад на острове и доставить его на свой корабль. Секрет механики
1290 руб
Раздел: Классические игры

81. Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц

82. Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2

83. Использование измерений и решение задач на местности при изучении некоторых тем школьного курса геометрии

84. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

85. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

86. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений
87. Решение дифференциального уравнения первого порядка
88. Решение дифференциальных уравнений

89. Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами

90. Решение параболических уравнений

91. Решение систем дифференциальных уравнений

92. Решение уравнений в конечных разностях

93. Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

94. Методы решения алгебраических уравнений

95. Методы решения систем линейных уравнений

96. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

Пеленка Папитто фланелевая (3 штуки, 120x75 см).
Состав: фланель импортная (хлопок 100%). Размер: 120x75 см. Расцветка в ассортименте, без возможности выбора.
466 руб
Раздел: Пелёнки
Стиральный порошок "Аистенок", 4 кг.
Бесфосфатное экологическое средство для стирки одежды и белья детей и людей с очень чувствительной кожей. Специальные непылящие гранулы
446 руб
Раздел: Для стирки детских вещей
Напольный пазл "Машинки".
Способствует развитию сенсорных навыков, внимания. Материал: плотный картон. В наборе: 8 игровых фигур, 34 элемента пазла. Размер
641 руб
Раздел: Напольные пазлы

97. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

98. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

99. Активизация познавательной деятельности на уроках истории в 7-9 классах

100. Вивчення теми "Великобританія: видатні міста та особистості" на уроках англійської мови


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.