Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Компактные операторы

Горшок торфяной для цветов.
Рекомендуются для выращивания крупной рассады различных овощных и цветочных, а также для укоренения саженцев декоративных, плодовых и
8 руб
Раздел: Горшки, ящики для рассады
Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки
Мыло металлическое "Ликвидатор".
Мыло для рук «Ликвидатор» уничтожает стойкие и трудно выводимые запахи за счёт особой реакции металла с вызывающими их элементами.
207 руб
Раздел: Ванная

Содержание Введение3 §1. Основные понятия и определения4 1.1. Линейные пространства4 1.2. Нормированные пространства5 1.3. Банаховы пространства6 1.4. Компактные множества8 1.5. Линейные операторы и линейные функционалы11 1.6. Сопряженные операторы12 §2. Компактные операторы13 2.1. Определение компактного оператора13 2.2. Свойства компактных операторов13 2.3. Примеры некомпактного и компактных операторов16 Литература20 Введение Изучение произвольных линейных операторов представляет собой весьма трудоемкую задачу, однако среди линейных операторов можно выделить классы операторов, которые могут быть рассмотрены более подробно. Данная работа рассматривает основные понятия, свойства, определения и теоремы, связанные с одним из классов линейных операторов – компактными операторами. Работа состоит из двух параграфов. Первый из них содержит предварительные сведения, необходимые для рассмотрения темы: понятия пространств, которые необходимы при изучении компактных операторов, понятия линейного оператора и линейного функционала, сопряженного оператора, компактного множества. Во втором параграфе рассмотрено определение компактного оператора, основные свойства этого класса операторов и примеры компактных и некомпактного оператора. §1. Основные понятия и определения. 1.1 Линейные пространства. Определение: Непустое множество элементов называется линейным, если оно удовлетворяет таким условиям: I. Для любых двух элементов определен единственный элемент , называемый суммой и обозначаемый , причем 1) ; 2) ; 3) в существует такой элемент 0, что для всех ; 4) для каждого существует такой элемент , что . II. Для любого числа и любого элемента определен элемент , причем 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; (, стр. 120). Примеры линейных пространств 1. Пространство действительных чисел является линейным пространством по операциям сложения и умножения. 2. – пространство, элементами которого являются последовательности чисел , удовлетворяющих условию с операциями , (, стр. 121). 1.2 Нормированные пространства Определение: Множество называется нормированным пространством, если: 1) – линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел. 2) Для каждого элемента определено вещественное число, называемое его нормой и обозначаемое , и выполнены условия: а) для любого ; б) для любого и любого ; в) , для любых (, стр. 138). Примеры нормированных пространств: 1. Пространство становится нормированным, если положить . 2. Пространство с элементами нормировано, при условии . 3. Пространство функций, непрерывных на отрезке , нормировано, если взять . (, стр. 139). 1.3 Банаховы пространства Определение: Расстоянием (метрикой) между двумя элементами и называется вещественное неотрицательное число, обозначаемое и подчиненное трем аксиомам: 1) ; 2) ; 3) ; Определение: Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если при . Справедливы утверждения: Если последовательность сходится к некоторому пределу, то она фундаментальна. Доказательство: Пусть , тогда , при Всякая фундаментальная последовательность ограничена. Определим расстояние в нормированном пространстве , полагая для любых .

Тогда означает, что . Это сходимость по норме. Фундаментальная последовательность в нормированном пространстве в соответствии с определением расстояния характеризуется условием , при Определение: Нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел. Определение: Полное нормированное пространство называется банаховым пространством. (, стр. 137) 1.4 Компактные множества Определение: Множество в метрическом пространстве называется компактным, если из всякой бесконечной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу . Определение: Множество , лежащее в некотором метрическом пространстве , называется предкомпактным, или относительно компактным (компактным относительно), если его замыкание в компактно. Определение: Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре с центром в точке , то есть существует такая постоянная , такая, что для любого выполняется неравенство В курсе теории метрических пространств доказывалось, что любое компактное множество является ограниченным. Докажем, что любое относительно компактное множество также является ограниченным. Теорема: Множество , лежащее в некотором метрическом пространстве , и относительно компактное, является ограниченным. Доказательство. Замыкание множества М является компактным, следовательно, ограниченным. Но , а подмножество ограниченного множества также ограничено. В конечномерном пространстве выполняется также обратное утверждение. Теорема: В конечномерном пространстве всякое ограниченное подмножество относительно компактно. Эта теорема следует из теоремы Больцано-Вейерштрасса для пространства : в этом пространстве всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. Можно доказать также более общую теорему. Теорема: В конечномерном нормированном пространстве всякое ограниченное подмножество относительно компактно. Доказательство: Пусть – ограниченное подмножество –мерного пространства , т. е. существует такая константа , что для всех . Каждому сопоставляем вектор , координаты которого равны соответствующим координатам в разложении элемента по некоторому фиксированному базису. Тогда справедливо следующее неравенство: (1), где – наименьшее значение на единичном шаре , . Возьмем любую последовательность . По неравенству (1) соответствующие этим элементам векторы образуют ограниченное множество, а в ограниченные множества относительно компактны, следовательно, из последовательности , можно выделить частичную , сходящуюся к некоторому пределу. Сходимость в есть сходимость по координатам, следовательно, и последовательность сходится по координатам. Но тогда эта последовательность сходится к некоторому пределу и по норме (в силу непрерывности суммы и произведения в нормированных пространствах). Тем самым относительная компактность доказана. Определение: Семейство функций называется равностепенно непрерывным, если для любого найдется такое , что , для любой функции , для любых , таких, что . Определение: Семейство функций , определенных на некотором отрезке, называется равномерно ограниченным, если существует такое число , что , для любого Теорема Арцела: Для того чтобы семейство непрерывных функций, определенных на отрезке , было предкомпактно в , необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Теорема: Образом компактного множества при непрерывном отображении является компактное множество. Докажем аналогичную теорему для относительно компактных множеств. Теорема: Образом относительно компактного множества при непрерывном отображении является относительно компактное множество. Доказательство. Пусть – непрерывное отображение, – относительно компактное множество. Рассмотрим последовательность точек из множества : , . Так как множество относительно компактно, то существует подпоследовательность . Так как отображение – непрерывное, то . Значит, для множества выполнено условие относительной компактности. Примеры компактных и некомпактных множеств В пространстве всякий отрезок будет компактен. (Так как пространство конечномерно, а данный отрезок является замкнутым и ограниченным множеством). В пространстве шар с центром в и радиусом , то есть множество точек , таких, что , является компактным. (Аналогично по доказанной теореме). В пространстве множество будет компактным, поскольку какую бы мы ни взяли бесконечную последовательность его элементов, из неё всегда можно будет выделить подпоследовательность, состоящую из одного элемента множества, которая, очевидно, будет сходящейся к этому элементу множества (определение). В пространстве рассмотрим множество элементов , , (у последовательности единица стоит на –м месте, а на остальных местах нули). Оно ограничено и замкнуто, но никакая подпоследовательность последовательности не фундаментальна и, значит, не сходится, поскольку при . Множество некомпактно. 1.5 Линейные операторы и линейные функционалы Пусть – линейные нормированные пространства. Определение: Линейным оператором, действующим из в , называется отображение , удовлетворяющее условию: для любых , . Будем говорить, что в (вещественной или комплексной линейной системе) определен функционал , если каждому элементу поставлено в соответствие некоторое вещественное (комплексное) число . Определение: Линейный оператор, действующий из Е в Е1, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное. Определение: Оператор А называется непрерывным в точке , если для любой последовательности выполняется условие . Определение: Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке пространства Е. Теорема: Для того, чтобы линейный оператор был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен. Доказательство. 1. Пусть оператор А неограничен. Тогда существует МЕ – ограниченное множество, такое, что множество АМЕ1 не ограничено. Следовательно, в Е1 найдется такая окрестность нуля V, что ни одно из множеств АМ не содержится в V. Но тогда существует такая последовательность х M , что ни один из элементов Ах не принадлежит V и получаем, что в Е, но не сходится к 0 в Е; это противоречит непрерывности оператора А. 2. Если оператор А не непрерывен в точке 0, то в Е1 существует такая последовательность , что Ах не стремится к 0. При этом последовательность ограничена, а последовательность не ограничена. Итак, если оператор А не непрерывен, то А и не ограничен.

Провисание шланга чревато самыми тяжелыми последствиями. Например, оно может произойти, когда принимающий топливо самолет из-за ошибки пилота подходит со слишком большой поступательной скоростью и "выталкивает" конус далеко вперед. При этом на шланге образуется волна, которая, возвращаясь, вызывает перемещение конуса с большой амплитудой и скоростью. Возникает эффект, подобный происходящему при щелчке кнутом. Работы на "Звезде" по программе "Сахалин" шли очень долго. Только в 1983 г., одновременно с принятием на вооружение Су-24М, агрегат УПАЗ-1А поступил в эксплуатацию. Его можно подвешивать под любой самолет этого типа. Су-24М оснащен выдвижным достаточно компактным топливоприемником (его головка также разработана на "Звезде"), установленным перед фонарем в плоскости симметрии самолета. Рядом расположены небольшие фары, благодаря которым при дозаправке ночью от Ил-78 оператор видит положение бомбардировщика и конус на шланге. Начиная со второй половины 80-х гг., на всех вновь разрабатываемых советских тактических самолетах, кроме легких истребителей МиГ-29 и Як-141, изначально предусматривалась возможность установки системы дозаправки в воздухе

1. Умеют ли дети любить себя?

2. Постановка задачи линейного программирования и двойственная задача линейного программирования.

3. Иллюзии восприятия, или всегда ли мы видим то, что видим

4. Согласны ли вы с А. С. Пушкиным в том, что “России определено было высшее назначение”?

5. За что можно любить Родину?

6. Мутации и новые гены. Можно ли утверждать, что они служат материалом макроэволюции?
7. Он должен знать, что его любят
8. Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

9. Есть ли жизнь на Марсе?

10. Что такое звезды

11. Что такое звезды?

12. Что такое звёзды

13. Что такое налог

14. Возникновение государства у франков. Салическая правда

15. Развитие общего понятия и системы преступлений от Русской Правды к Судебнику 1497 г. (Контрольная)

16. Русская Правда - кодекс древнерусского права

Карандаши цветные "Животные", 36 цветов.
Количество: 36 цветных карандашей. Карандаши для детского творчества дома и в школе. Яркие насыщенные цвета, мягко пишут, легко стираются ластиком.
345 руб
Раздел: Более 24 цветов
Фломастеры " Aqua Brush Duo", 24 цвета.
Двойной фломастер с эффектом рисунка кистью. Для художников/ дизайнеров/ любителей и профессионалов. Чернила на водной основе,
2638 руб
Раздел: 13-24 цвета
Емкость для напитков «Бочонок», с дозатором, складная, 3.5 л.
Идеальная для поездок большой компанией ёмкость для напитков вмещает в себя до 3,5 литров. Она легко складывается и не занимает много
546 руб
Раздел: Штучно

17. Русская Правда - кодекс древнерусского феодального права

18. Русская Правда

19. Может ли Интернет нанести вред демократии?

20. Может ли Интернет нанести вред демократии?

21. Есть ли особенности у женской речи?

22. "Освобожден народ, но счастлив ли народ ?" по поэме Некрасова "Кому на Руси жить хорошо"
23. Что стало бы с литературой, если бы не было музыки
24. Трактовка образа Обломова в статье Н. А. Добролюбова "Что такое Обломовщина?"

25. Идеальное общество, возможно ли оно (по роману Зацепина "Мы")

26. Опера - всё, что нужно знать о неё, прежде чем её посетить

27. Нужно ли было НАТО бомбить Югославию? История и последствия Косовского кризиса 1998-1999 гг.

28. Внутриполитическая пропаганда в СССР 1935-1939 годов: материалы газеты "Правда" в социально-психологическом аспекте проблемы

29. Рюрик: легенда и факты (А был ли Рерик?)

30. Русская Правда как источник социально-политического обустройства Древнерусского государства

31. Были ли в Германии плавающие танки накануне Второй Мировой Войны?

32. Русская Правда - кодекс древнерусского права

Брелок металлический Сочи-2014 "Талисманы" с тремя подвесками.
Брелок для ключей в виде официального талисмана Сочи-2014 у Вас в кармане!
413 руб
Раздел: Металлические брелоки
Робот-трансформер " Toyota Celica". Арт. 52040.
Фантастический робот-трансформер и одновременно модель автомобиля! Игрушка представляет собой устрашающего футуристического воина, который
719 руб
Раздел: Трансформеры
Кукольный театр "Репка".
Набор кукол-перчаток к инсценировке одной из русских народных сказок. Они не дадут Вашему ребенку скучать и станут его хорошими друзьями.
1480 руб
Раздел: Театр с куклами-перчатками

33. Что такое интернет?

34. Что является CDMA (Разделение Кодекса Многократный Доступ)?

35. Что такое мультимедийный компьютер?

36. Периферийное устройство ПЭВМ, Характеристика этапов подготовки и решения задач на ПЭВМ в любой системе программирования. Электронная почта, особенности применения

37. Разработка синтаксического распознавателя вычисляемого оператора перехода языка FORTRAN

38. Синтаксический распознаватель арифметического оператора условного перехода языка FORTRAN
39. Что такое информация
40. Исследования устойчивости и качества процессов управления линейных стационарных САУ

41. Критерии устойчивости линейных систем

42. Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)

43. Лабораторная работа №3 по "Основам теории систем" (Теория двойственности в задачах линейного программирования)

44. Что же такое математика ?

45. Математическая кунсткамера /кое-что из истории геометрии/

46. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

47. Контрольная работа по линейной алгебре

48. СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Фоторамка "Poster blue" (40х50 см).
Рамка настенная может располагаться как вертикально, так и горизонтально. Для фотографий размером: 40х50 см. Вставка: акрил. Багет: пластик.
421 руб
Раздел: Размер 40x50
Точилка механическая.
Настольная механическая точилка отличается высоким качеством работы и долговечностью механизма. Пластиковый корпус. Механизм крепления к
561 руб
Раздел: Точилки
Кружка "Рабочий день сокращает жизнь".
Качественные керамические кружки с оригинальным рисунком, выполненном в процессе производства (рисунок наносится до покрытия кружки
372 руб
Раздел: Кружки

49. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

50. Решение задачи линейного программирования

51. Операторы в вейвлетном базисе

52. Формула Алексея Юрьевича Виноградова для начала вычислений по методу прогонки Годунова для краевых условий любой сложности

53. Что такое дьявол с точки зрения биолога

54. Могут ли восстанавливаемые виды энергии полностью заменить фоссильные топлива?
55. Что такое НАТО?
56. Виды современного копировального оборудования. Что и как выбирать

57. Что закрепляется в моей памяти и почему ?

58. Надо ли менять свой характер

59. Соционика: можно ли прогнозировать отношения?

60. Что такое деятельность?

61. Расчет линейных цепей методом топологических графов

62. Определение линейных и угловых перемещений параметрическими измерительными преобразователями

63. Сжатие речевого сигнала на основе линейного предсказания

64. Расчет переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами

Фломастеры "Rainbow Kids", 30 цветов.
Цветные фломастеры. Треугольная зона обхвата. Безопасные для здоровья чернила. Смываемые. Вентилируемый колпачок. Цилиндрический пишущий
324 руб
Раздел: Более 24 цветов
Фоторамка "В тисках".
Размер: 16х18 см.
498 руб -13% 433 руб
Раздел: Прочие
Магическая кружка-мешалка, красная.
Оригинальная кружка с двойными металлическими стенками (нержавеющая сталь). Сохраняет напиток горячим в течение дольшего времени (в
554 руб
Раздел: Кружки

65. Что такое любовь?

66. Учитесь любить

67. Линейный ускоритель

68. Что такое лечебное голодание (Доклад)

69. Вся правда о курении

70. Что есть философия
71. Что такое свобода личности и в чем смысл жизни?
72. Фромм Э. "Искусство любить", главы 1,3

73. Что такое философия, ее предназначение, социальные функции и роль в жизни человека

74. Можно ли избежать столкновение цивилизаций?

75. Что значит быть счастливым?

76. Что такое организация

77. Риск в задачах линейного программирования

78. Играют ли деньги главенствующую роль в современной экономике России

79. Протекционизм и фритредерство: следует ли искать "золотую середину"?

80. 28 панфиловцев - а был ли подвиг?

Суперпоезд "Чаггер".
Яркий металлический паровозик Чаггер открывает 2 боковых отсека и демонстрирует реактивные двигатели! Паровозик оснащен легкой, но
799 руб
Раздел: Локомотивы, паровозы, вагоны
Набор пластиковых прямоугольных контейнеров "Webber" ВЕ-0251Р/5 (5 штук).
Контейнеры из высококачественного пищевого пластика. Защелкивающиеся крышки с силиконовым кольцом. Предназначены для хранения любых
462 руб
Раздел: Наборы
Щетка зубная Bradex ультразвуковая (голубой, серебристый).
Ультразвуковая электрическая щетка - последняя разработка в области стоматологии. Благодаря уникальной технологии, положенной в основу
540 руб
Раздел: Взрослые

81. Что же сбылось из предсказаний Нострадамуса

82. Правильно ли мы датируем Троицкий собор Ипатьевского монастыря?

83. Что такое "любовь к империи"

84. Готовился ли Сталин к войне с Германией

85. Социально-психологическое содержание газеты «Правда» в СССР

86. Столкновение цивилизаций и что оно может означать для России
87. От Хрущева до Горбачева: был ли неизбежен развал СССР
88. Русская правда

89. Что такое Россия?

90. Была ли связь между торжеством Франции в Крымской войне и ее разгромом под Седаном?

91. Было ли нападение Германии на СССР неожиданным

92. Готовился ли СССР к нападению на Германию?

93. Наступит ли конец эпохи огнестрельного оружия?

94. Что такое иммобилайзер

95. Возможен ли искусственный интеллект

96. Двенадцатая ночь, иди Что угодно (Twelfth Night; or, What You Hill)

Контейнер квадратный с ручками (15 л).
Материал: пластмасса. Длина: 320 мм. Ширина: 340 мм. Высота: 225 мм. Объем: 15 л. Цвет товара в ассортименте, без возможности выбора!
357 руб
Раздел: Штучно
Антистрессовая игрушка-подушка "Совы".
Изделие всегда сохраняет свой внешний вид и свойства наполнителя. Не выгорает на солнце, не впитывает воду, не линяет при стирке. Игрушка
392 руб
Раздел: Антистрессы
Кружка.
988 руб
Раздел: Кружки

97. Н.Г.Чернышевский: "Что делать?"

98. ПБОЮЛ или ООО. Что выгоднее?

99. Что такое книжная иллюстрация

100. Что выплавляют из "тонн словесной руды", или попытка реабилитации чатов


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.