Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Кривые третьего и четвертого порядка

Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм.
Качественные Японские крючки с лопаткой. Крючки с поводками – готовы к ловле. Высшего качества, исключительно острые японские крючки,
58 руб
Раздел: Размер от №1 до №10
Фонарь желаний бумажный, оранжевый.
В комплекте: фонарик, горелка. Оформление упаковки - 100% полностью на русском языке. Форма купола "перевёрнутая груша" как у
87 руб
Раздел: Небесные фонарики
Ручка "Шприц", желтая.
Необычная ручка в виде шприца. Состоит из пластикового корпуса с нанесением мерной шкалы. Внутри находится жидкость желтого цвета,
31 руб
Раздел: Оригинальные ручки

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова Кафедра высшей математики КУРСОВАЯ РАБОТА на тему: «Кривые третьего и четвертого порядка» Выполнили: студенты группы С-12-00 Пинаев И.Н. Искаков Р.Р. Проверила: доцент кафедры высшей математики к.ф.-м.наук Самарина С.М. Чебоксары, 2002 Декартов лист 1. Особенности формы. Декартовым листом называется кривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид (1) Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа, которые можно получить, полагая y= x, присоединяя к этому равенству равенство (1) и решая полученную систему относительно х и у, в результате будем иметь: (2) откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой. Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид (3) Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симметрично, откуда следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у=х. Обычное исследование на особые точки приводит к заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откуда получим х = 0 и у = 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой у = х в точке Точки этой петли, в которых касательные параллельны координатным осям, имеют координаты (cм. рис. 1) Для окончательного заключения о форме кривой следует еще найти асимптоту приравняем нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х. Получим и b = - а. Таким образом, декартов лист имеет асимптоту у = — х — а; следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность. Рис. 1 2. Свойства. Согласно теореме Маклорена, если в трех точках алгебраической кривой 3-го порядка, лежащих на одной прямой, провести касательные к этой кривой, то точки их пересечения с кривой будут лежать также на прямой линии. Применительно к декартову листу эта теорема доказывается просто. Выведем с этой целью предварительно условие пребывания трех точек декартова листа, соответствующих значениям 1 , 2 и 3 параметра, на одной прямой. Если уравнение прямой имеет вид y=kx b, то значения параметра, соответствующие точкам пересечения этой прямой с кривой, должны удовлетворять системе корни которого и будут искомыми значениями 1 , 2 и 3 параметра, откуда следует, что (4) Это равенство и является условием пребывания трех точек M1( 1 ), M2( 2), М3 ( 3) декартова листа на одной прямой. Располагая этим условием, покажем справедливость теоремы Маклорена для декартово листа. Действительно, касательную в точке M1 ( 1) можно рассматривать как прямую, которая пересекает декартов лист в двух совпадающих между собой точках, для которых 2= 1, и в третьей точке, для которой соответствующее значение параметра обозначим через 1.

Условие (4) примет вид 12 1= -1. Для касательных в точках М2 и M3 получим аналогичные соотношения 22 2 = -1 и 32 3 = -1. Перемножая эти три равенства, будем иметь ( 1 2 3)2 1 2 3 = -1. откуда на основании (4) заключаем, что и 1 2 3 = -1, т. е. точки 1( 1), 2( 2) и 3( 3) лежат на одной прямой. Определяя площадь, ограниченную петлей декартова листа, получим: 3. Способ построения. Заметим предварительно, что если ось симметрии декартова листа принять за ось абсцисс, то уравнение его примет вид (5) Пусть теперь имеется окружность с радиусом r и центром в точке и прямая х= -h. Возьмем произвольную точку Q этой окружности и проведем прямую QA и прямую Q , перпендикулярную к оси абсцисс (рис. 2). Из точки пересечения R прямой QA с прямой х= -h проводим прямую RO до пересечения ее в точке Q1 с прямой Q . Таким образом, точке Q на окружности будет поставлена в соответствие точка Q1. Геометрическое место точек Q1 представляет собой декартов лист. Рис 2. Для доказательства заметим, что координаты точки Q можно записать в виде угол, составляемый радиусом круга, проведенным в точку Q, с положительным направлением оси абсцисс. В соответствии с этим уравнение прямой QA может быть записано в виде Полагая в этом уравнении х= -h, находим ординату точки R. Отсюда следует, что уравнение прямой RQ1 запишется в виде (6) В то же время уравнение прямой Q1 имеет вид (7) Исключая из уравнений (6) и (7) параметр w, находим уравнение геометрического места точек Q1 в виде Сопоставляя его с уравнением (5), заключаем, что найденное геометрическое место точек является декартовым листом. Преобразование точек окружности в точки декартова листа, осуществляемое при таком его построении, называется преобразованием Маклорена. 4. Историческая справка. Впервые в истории математики кривая, названная впоследствии декартовым листом, определяется в письме Декарта к Ферма в 1638 г. как кривая, для которой сумма объемов кубов, построенных на абсциссе и ординате каждой точки, равняется объему параллелепипеда, построенного на абсциссе, ординате и некоторой константе. Форма кривой устанавливается впервые Робервалем, который находит узловую точку кривой, однако в его представлении кривая состоит лишь из петли. Повторяя эту петлю в четырех квадрантах, он получает фигуру, напоминающую ему цветок с четырьмя лепестками. Поэтическое название кривой «лепесток жасмина», однако, не привилось. Полная форма кривой с наличием асимптоты была определена позднее (1692) Гюйгенсом и И. Бернулли. Название «декартов лист» прочно установилось только с начала 18 века. Циссоида Диоклеса1. Особенности формы. Среди многих способов образования циссоиды—кривой, открытой древними в поисках решения знаменитой задачи об удвоении куба, мы остановимся сначала на простейшем. Возьмем окружность (называемую производящей) с диаметром ОА=2а и касательную АВ к ней. Через точку О проведем луч ОВ и на нем отложим отрезок ОМ=ВС. Построенная таким образом точка М принадлежит циссоиде. Повернув луч 0В на некоторый угол и проделав указанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 3). Если точку О принять за полюс, то откуда получаем полярное уравнение циссоиды (1) Пользуясь формулами перехода от полярных координат к декартовым, найдем уравнение циссоиды в прямоугольной системе: (2) Параметрические уравнения циссоиды можно получить, полагая x= y, тогда, на основании уравнения (2), придем к системе Рис.

3 Уравнение (2) показывает, что циссоида является алгебраической кривой 3-го порядка, а из уравнений (3) следует, что она является рациональной кривой. Циссоида симметрична относительно оси абсцисс, имеет бесконечные ветви; касательная к производящей окружности, т. е. прямая х = 2а, служит для нее асимптотой; начало координат является точкой возврата 1-го рода. 2. Свойства. Кинематически циссоида может быть получена как траектория середины М катета ВС треугольника АВС, передвигающегося в плоскости чертежа так, что его вершина В скользит по оси ординат, а другой катет АС всегда проходит через неподвижную точку Е на оси абсцисс. (Рис. 4) Действительно, обозначив середину отрезка ОЕ через D, замечаем, что поскольку ВС=ЕО, ( ВСЕ=( ВЕО, откуда / ВЕО = / СВЕ, и, следовательно, ( BE— равнобедренный, а так как ЕD=ЕО/2=ВС/2=ВМ, то отрезок DM параллелен отрезку BE. Пусть, далее, точка К есть точка пересечения с продолжением отрезка DM прямой, проходящей через точку В параллельно оси абсцисс. Опишем окружность с центром в начале координат и радиусом, равным OD, и проведем к ней касательную во второй точке пересечения с прямой ЕО. Она пройдет, очевидно, через точку К. Обозначив точку пересечения прямой DMK с окружностью через F, заметим, что треугольники DOF и МВК равны между собой. Из равенства их следует, что DF=MK, а значит, и DM=FK. Последнее равенство и показывает, что геометрическое место точек М будет циссоидой. Другие способы образования циссоиды основаны на ее соотношениях с параболой. Покажем в первую очередь, что циссоида является подэрой параболы относительно ее вершины. – уравнение данной параболы. Уравнение касательной в произвольной точке М ((, () этой параболы можно записать в виде Рис. 4. начала координат на эту касательную, будет координаты точки пересечения его с касательной определятся по формулам (4) Исключая из этих равенств параметр (, мы получим уравнение выражающее циссоиду. Заметим далее, что координаты точки, симметричной началу координат относительно касательной к параболе у2 = 2рх, получатся, если правые части формул (4) удвоить, и, следовательно, определятся формулами Исключая из этих равенств параметр (, мы снова получим циссоиду с уравнением Отсюда следует, что циссоида является геометрическим местом точек, симметричных вершине параболы относительно ее касательных. Следует заметить, что геометрическое место точек, симметричных началу координат относительно касательной к параболе, можно рассматривать как траекторию вершины другой параболы, одинаковой с данной, которая катится по данной параболе. Таким образом, возникает новый способ кинематического образования циссоиды как траектории вершины параболы, которая без скольжения катится по другой такой же параболе. Остановимся на метрических свойствах циссоиды; при этом нам будет удобно пользоваться параметрическими уравнениями циссоиды в виде Площадь, ограниченная циссоидой и ее асимптотой, равняется утроенной площади производящего круга; действительно, Это соотношение получено было Гюйгенсом и независимо от него Ферма. Рис. 5. Определяя площадь криволинейного треугольника ОАМС (рис.5

Но это было позже, а в тот вечер и в последующие дни все продолжалось как в сказке: появилась рецензия в "Вечерке", за ней вторая, третья, четвертая... В начале 30-х годов рецензенты еще действовали по старинке, они ходили на премьеры и старались дать материал в ближайший номер. Рецензии печатали все газеты и многие журналы, десять-двенадцать печатных отзывов даже на рядовой спектакль были в порядке вещей. Читать рецензии было очень интересно в особенности потому, что они отражали различные художественные вкусы и по-разному подходили к затронутым в спектакле проблемам. В то время я не придавал большого значения тому, в какой именно газете меня хвалят или ругают, для меня имели значение только аргументация и - в какой-то мере - имя критика. И уж во всяком случае, я был далек от мысли, что отрицательная рецензия может мне практически повредить, а положительная повлечь за собой какие-то реальные блага или преимущества. Помню, что я нисколько не расстроился, прочитав в "Известиях" разносную рецензию неведомого мне П.Баранчикова, и очень радовался скупым похвалам людей, которых я знал и чьим мнением дорожил

1. Метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования решения задачи Коши

2. Разработка программы на языке LISP для построения кривых Серпинского i-го порядка

3. Кривые и поверхности второго порядка

4. Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

5. Кривые второго порядка

6. Кривые и поверхности второго порядка
7. Великобритания (расширенный вариант реферата 9490)
8. Реферат о Пугачеве

9. Реферат перевода с английского языка из книги “A History of England” by Keith Feiling

10. Реферат по книге Фернана Броделя

11. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

12. Замечательные кривые

13. Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента

14. Реферат по технологии приготовления пищи "Венгерская кухня"

15. Несколько рефератов по Исламу

16. "Камю", "Сартр", "Шопенгауэр", "Ясперс", "Фромм" (Рефераты, доклады по философии)

Рюкзак молодёжный "Pixie Crew" с силиконовой панелью для картинок (зелёная клетка).
Повседневные вещи кажутся скучными и однотонными, а тебе хочется выглядеть стильно и быть не как все? "Pixie Crew" сделает твою
3170 руб
Раздел: Молодежные, подростковые
Точилка для кухонных ножей.
Точилка электрическая – это прибор, который сделает вашу жизнь проще. Острый угол заточки позволяет быстро и без усилий сделать острыми
725 руб
Раздел: Точилки для ножей
Табурет-подставка.
Простой, компактный и безопасный для вас и вашего ребенка табурет-подставка. Оригинальная форма в сочетании с рельефной поверхностью
306 руб
Раздел: Подставки под ноги

17. Реферат по информационным системам управления

18. Генезис капитализма в Мексике. Реферат по истории экономики

19. Крива IS. Сутнiсть, графiчна побудова. Фактори, що впливають на кут нахилу кривоi IS

20. Кривая Лаффера. Совокупный спрос

21. Реферат по книге Н. Цеда Дух самурая - дух Японии

22. Реферат по теме “Человек на войне”
23. Реферат по биографии Виктора Гюго
24. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

25. Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

26. Реферат - Социальная медицина (ЗДРАВООХРАНЕНИЕ КАК СОЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА)

27. Реферат - Физиология (строение и функции гемоглобина)

28. Реферат по менеджменту

29. Как написать хороший реферат?

30. Сборник рефератов о конфликтах

31. Реферат кондитерское изделие

32. Реферат по статье Гадамера Неспособность к разговору

Френч-пресс, 600 мл.
Френч-пресс Rosenberg изготовлен из высококачественной нержавеющей стали и термостойкого стекла. Удобная ненагревающаяся ручка.
383 руб
Раздел: Френч-прессы
Корзина "Плетенка" с крышкой, 35х29х22,5 сантиметров, бежевая.
Материал: пластик. Ширина: 29 см. Длина: 35 см. Высота: 22,5 см.
340 руб
Раздел: Корзины для стеллажей
Чайник "Birds", 1050 мл.
Чайник. Размер: 21,5x12x17 см. Объем: 1050 мл. Материал: керамика.
389 руб
Раздел: Чайники заварочные

33. Маркетинг и кривые равновесия

34. Кривые Энгеля и их новая интерпретация

35. Особенности кривой совокупного спроса

36. Кривые спроса, предложения и доход

37. Налоги. Кривая Лаффера

38. Реферат о прочитаной на немецком языке литературы
39. Реферат для выпускных экзаменов
40. Реферат по ОБЖ, Тема: СПИД

41. Реферат о США

42. Реферат по делопроизводству с вопросами: Подготовка документов к архивному хранению, Правила оформления реквизитов №№16, 19, 20, 22, Контракты (договоры)

43. Flash. Кривые Безье

44. Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками

45. Потоки космических лучей в максимуме кривой поглощения в атмосфере и на границе атмосферы (1957–2007)

46. Эффект кривой опыта и процесс обучения

47. Простая замкнутая ломаная кривая

48. Кривий Ріг у роки Великої Вітчизняної війни

Сковорода-сотейник алюминиевая с антипригарным покрытием "Alpenkok" AK-1007/28N "Brown Marble", 28.
Диаметр: 28 см. Высота: 7,5 см. Толщина дна: 4 мм. Сковорода-сотейник из литого алюминия. Высококачественное внутреннее антипригарное
856 руб
Раздел: Сковороды с антипригарным покрытием
Машинка "Кабриолет. Шейх".
Игрушечный кабриолет «Шейх» представляет собой уменьшенную модель настоящего роскошного автомобиля. Машинка изготовлена из гладкого
567 руб
Раздел: Пластиковые машинки
Замок для коляски "Flipper".
Замок для колясок Flipper оснащен надежным механизмом, защищенным также специальной крышечкой от влаги, грязи и пыли. Замок Flipper
388 руб
Раздел: Прочие

49. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка

50. Плоские кривые

51. Кривые разгона объекта управления

52. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах

53. Простейшие кинетические уравнения. Кинетические кривые.

54. Инфляция и кривая Филлипса, инфляция в Казахстане
55. Кривая Филлипса и проблемы взаимосвязи инфляции и безработицы. Инфляция и безработица в рамках Российского законодательства
56. Определение количества выпускаемой продукции, прибыли, кривой производственных возможностей

57. Социальная политика государства, неравенство доходов, кривая Лоренца

58. Чад-типичная страна третьего мира

59. Нормы ГК, которые определяют особенности порядка заключения договоров по недвижимости

60. Третьи лица и установление фактов в особом производстве

61. Крушение Второй Империи и становление Третьей Республики во Франции

62. Третье отделение собственной его императорского величества канцелярии

63. Идеология Третьего Рейха

64. Конспект критических материалов. Русская литература 2-й четверти XIX века

Набор крепированной бумаги, 10 рулонов.
Крепированная бумага прекрасно подходит для воплощения творческих идей не только детей, но и взрослых. Насыщенный цвет бумаги сделает
359 руб
Раздел: Самоклеящаяся, флуоресцентная, перламутровая и прочие
Настольная семейная игра "Кошки-мышки. Сырная охота".
Четыре маленьких мышонка карабкаются на гигантский сыр и соскальзывают вниз через отверстия. Цель погони - заполучить 5 лакомых кусочков
685 руб
Раздел: Игры на ловкость
Качели детские подвесные (КД 150 ПЛ).
Качели подвесные очень удобны и просты в применении. Легкие дачные подвесные качели. Конструкция из пород дерева с низким содержанием
535 руб
Раздел: Качели

65. Третий президент США: Томас Джефферсон

66. Биография Петра Третьего

67. Развитие образования в Пермяцком крае в конце XIX – первой трети XX веков

68. Intel Pentium 4 3,06 ГГц с поддержкой технологии Hyper-Threading

69. Процессор Pentium 4

70. Процессор для ограниченного набора команд /1 (4)
71. Процессор для ограниченного набора команд /3 (4)
72. Процессор для ограниченного набора команд /часть 4 (7)

73. Учебник по PHP 4

74. Компьютерной программе Visio v.4.0

75. Использование численных методов для решения дифуpов (2-го порядка) (, демонстрация применения интерполяции в среде MATHCAD-а)

76. Поверхности второго порядка

77. Лекции по Методике математики в начальных классах (4-5 семестры)

78. Ампутация ушной раковины у собак 2- 4 месячного возраста, Amputatio auriculue

79. Рабочая программа по хирургическим болезням для студентов 3 - 4 курсов стоматологического факультета

80. Проектирование фундамента 4-хэтажного администратиного здания маслоперерабатывающего завода в пос. Ахтырский Абинского района

Магнит "Harry Potter HBP" Death Eater Masks.
Маска "пожирателей смерти". Пожиратели Смерти — группа тёмных волшебников последователей лорда Волан-де-Морта, сражающиеся в
773 руб
Раздел: Прочие
Ручка перьевая "Silver Prestige", синяя, 0,8 мм, корпус черный.
Перьевая ручка Silver Prestige. Цвет корпуса: черный. Материал корпуса: металл. Материал пера: иридий.
361 руб
Раздел: VIP-ручки
Набор мебели игровой "Малыш-2".
Замечательный набор детской мебели "Малыш-2" отлично подойдет для деток от 2 до 6 лет. Набор включает в себя столик и стульчик.
2025 руб
Раздел: Наборы детской мебели

81. Проект трехкорпусной выпарной установки для концентрирования Gн=4,2 кг/с цельного молока

82. Разработка и изготовление декоративной резной вазы с подставкой (1) (4))

83. Разработка и изготовление декоративной резной вазы с подставкой (3) (4))

84. Проект ТЭЦ на 4 турбиы К-800

85. Блок выравнивания порядков

86. Расчет частотных характеристик активного фильтра второго порядка на операционном усилителе
87. Два типа фазовых переходов и третье начало термодинамики
88. Шпаргалка по философии (Основные понятия. 4 страницы формата А4)

89. Получение синтетических красителей реакцией азосочетания на примере синтеза 3-окси-4-карбоксиазобензола

90. Проблемы совершенствования порядка установления, начисления и взимания процентов по кредитам в коммерческих банках /на материале АКБ Украина/

91. Бизнес-план организации производства прибора "Техно Дент 4" на предприятии "НЗ"

92. Финансовая отчетность и ее анализ на примере ЗАО «…» (4 курс)

93. Лабораторная работа по экономике N1. ЛЭТИ 4 курс

94. 1953 год - канун третьей мировой войны?

95. Истоки и вехи Третьей мировой войны (холодной)

96. Две Марии Александра Третьего

Термомозаика "В мире животных".
Ваш ребенок любит изучать животных, а еще — играть и придумывать что-то новое? С термомозаикой "В мире животных" все это можно
383 руб
Раздел: Термомозаика
Кувшин "Бистро", 1,8 л.
Кувшин прозрачный, с крышкой. Материал: стекло. Объем: 1,8 л.
314 руб
Раздел: Кувшины, графины
Набор детской посуды "Белоснежка", 3 предмета.
Набор посуды для детей включает в себя три предмета: суповую тарелку, обеденную тарелку и кружку. Набор упакован в красочную, подарочную
397 руб
Раздел: Наборы для кормления

97. Особенности культуры жизнеобеспечения немцев в условиях иноэтничного окружения (Верхнее Приобье, первая треть XX в.)

98. Москва — третий Рим: теория и практика

99. Формирование: преемственных научных школ в первые две трети XIX в.


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.