Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте za4eti.ru

Математика Математика

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь".
Коврик "Пекарь", сделанный из силикона, поможет Вам готовить вкусную и красивую выпечку. Благодаря материалу коврика, выпечка не
202 руб
Раздел: Коврики силиконовые для выпечки
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка
Совок большой.
Длина 21,5 см. Расцветка в ассортименте, без возможности выбора.
21 руб
Раздел: Совки

Механические колебания в дифференциальных уравнениях Реферат Выполнил: студент гр. МХТ-02 Казаков Василий Васильевич Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова Магнитогорск 2003 Колебаниями  называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания. Гармонические колебания. Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса). Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна . Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха. Решение Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины. Пусть l означает удлинение пружины  в данный момент, а lст—статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда l=lст х, или l-lст=х. Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma,   где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести. По закону Гука сила натяжения пружины  пропорциональна её удлинению: Fупр=-сl, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины. Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= сlст. Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим  l-lст через х, получится уравнение в виде: или, обозначив с/m через k2,                                                   (1) Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: имеет мнимые корни , соответственно этому общее решение Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на , получим: Если положить    то                             (2) График гармонических колебаний имеет вид:   Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия. Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент  — фазой колебания. Значение фазы при =o т.e.  величина  , называется начальной фазой колебания. Величина  есть частота колебания. Период колебания   и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы.

Так как с = Р/lст = mg/lст, то для периода можно получить также формулу: Скорость движения груза получается дифференцированием решения по : Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные условия. Пусть, например, в начальный момент = 0 положение груза x=x0 и скорость u=u0. Тогда  , откуда ,         Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости (u0=0) амплитуда А=х0, а начальная фаза a=p/2 и, таким образом,   или     Затухающие колебания. Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают-ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения. Решение К силам, действующим на груз, прибавляется здесь сила сопротивления воздуха  (знак минус показывает, что сила R направлена противоположно скорости u). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox имеет вид или если положить , , то (3) Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:   имеет корни (4) Характер движения целиком определяется этими корнями. Возможны три различных случая. Рассмотрим сначала случай, когда . Это неравенство имеет место, когда сопротивление среды невелико. Если положить , то корни (4) имеют вид . Тогда общее решение можно записать в виде или, преобразовав, умножая и деля на , получим:   положим, что   , тогда (5) График зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет вид: Если заданы начальные условия:  при = 0, то можно определить А и a. Для этого находим и   подставляем  = 0  в  выражения   для и  получим систему уравнений Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого получим   откуда     или   а      Так как   то Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии-тельно, амплитуда колебания  зависит от времени и является монотонно убывающей функцией, причем  при . Период затухающих колебаний определяется по формуле Моменты времени, в которые груз получает максимальное отклонение от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным  или . Эта величина называется декрементом затухания и обычно обозначается буквой D. Натуральный логарифм декремента l D = - пТ/2 называется логарифмическим декрементом затухания. Частота колебаний в этом случае меньше, нежели в предыдущем (), но, как и там, не зависит от начального положения груза. Если сопротивление среды велико и , то, положив , получим корни (4) в виде  Так как , то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае имеет вид                                               (6) Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера.

Аналогичный характер будет иметь движение и в случае , когда общее решение имеет вид (7) Легко заметить,  что  в обоих  последних  случаях при  имеем . Если заданы начальные условия  и , то в случае, когда , имеем , а . Решая эту систему относительно  и , получим ,        и, следовательно   В случае же, когда , получаем ,  и следовательно, Вынужденные колебания без учета сопротивления среды. Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой. Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в ненагруженном состоянии равна . На груз действует периодическая возмущающая сила  где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды. Решение Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение Полагая, как и прежде,  и, кроме того,  перепишем уравнение в виде                                                (8) Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим уравнению (8), является (1). Поэтому ; остается найти х. Если предположить, что , то частное решение х, нужно искать в виде , где М и — коэффициенты, подлежащие определению. Итак, Производя вычисления, получаем       откуда М=0 и  Полученное таким образом частное решение (9) определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю-щей силой . Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную фазу) при k>p, либо отличаются на p, если k

Интересно, что амплитуда колебаний в общем случае отлична от 1 и зависит от значения у(0) — при у(0)=0 она равна 1 (в нашем случае синусоида начинается со значение у(0)=-1). Подобным осциллятором может быть LC-контур или механический маятник без потерь. Рис. 7.6. Решение дифференциального уравнения идеального осциллятора 7.2.4. Дополнительные примеры решения дифференциальных уравнений второго порядка Ниже представлено решение еще двух дифференциальных уравнений второго порядка в аналитическом виде (de2a): > restart: dsolve(diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)=sin(x),y(x)); у(x) = -½sin(x) + ½cos(x) + ex _C1 + _C2 > de:=m*diff(y(x),x$2)-k*diff(y(x),x); > yx0:=y(0)=0,y(1)=1; ух0:= у(0) = 0, у(1) = 1 > dsolve({de,yx0},y(x)); Ряд примеров на применение дифференциальных уравнений второго порядка при решении практических математических и физических задач вы найдете в главе 11. 7.2.5. Решение систем дифференциальных уравнений Функция dsolve позволяет также решать системы дифференциальных уравнений. Для этого она записывается в виде dsolve(ODE_sys, optional_1, optional_2,...) Здесь ODE_sys — список дифференциальных уравнений, образующих систему, остальные параметры опциональные и задаются по мере необходимости

1. Механические колебания в дифференциальных уравнениях

2. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

3. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

4. Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

5. Устойчивость систем дифференциальных уравнений

6. О преобразовании дифференциальных систем уравнений в случае сингулярных пучков матриц
7. Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине: Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере)
8. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

9. Дифференциальные уравнения

10. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

11. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

12. Шпоры по дифференциальным уравнениям

13. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки

14. Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией

15. Дифференциальные уравнения I и II порядка

16. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

Релаксант-капельки "Спираль большая Эврика".
Отлично смотрится на рабочем столе. Успокаивает и помогает восстановить моральное равновесие. Температурный режим эксплуатации: от 0 °C до
343 руб
Раздел: Антистрессы
Домкрат гидравлический, подкатной, 2 т, 130-315 мм.
Домкрат гидравлический подкатной MIRAX, используется при проведении ремонтно-строительных работ. Эта модель домкрата одна из самых
1865 руб
Раздел: Домкраты, подставки
Дождевик Bambola для колясок прогулок с ручкой перекидной, пвх.
Прозрачный чехол для коляски - защита от дождя и снега.Выполнен из ПВХ - прочный, не трескается, не мутнеет. Подходит для прогулочных
333 руб
Раздел: Дождевики, чехлы для колясок

17. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений

18. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона

19. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

20. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений

21. Использование дифференциальных уравнений, передаточных и частотных передаточных функций

22. Асимптотика решений дифференциальных уравнений
23. Дифференциальные уравнения
24. Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования

25. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

26. Матрицы. Дифференциальные уравнения

27. Решение дифференциальных уравнений

28. Решение систем дифференциальных уравнений

29. Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

30. Анализ дифференциальных уравнений

31. Применение технологии знаково-контекстного обучения во время изложения дифференциальных уравнений

32. Уравнение гармонических колебаний точки в пространстве

Декоративная наклейка-фоторамка, арт. PH-3/3 (CO).
Материал: пластик. Размер: 50x70 см.
490 руб
Раздел: Мультирамки
Кружка фарфоровая "FIFA 2018. Забивака" (белая полоса), 480 мл.
Объем: 480 мл. Материал: фарфор.
407 руб
Раздел: Кружки, посуда
Гель Calgon "3030723", для cмягчения воды и предотвращения образования накипи, 1500 мл.
Гель для смягчения воды и предотвращения образования накипи 2 в 1. Нормативный срок годности товара 24 месяца с момента изготовления.
442 руб
Раздел: Для посудомоечных машин

33. Великобритания (расширенный вариант реферата 9490)

34. Экономическая сказка-реферат "НДС - вражья морда" или просто "Сказка про НДС"

35. Несколько рефератов по культурологии

36. Реферат по научной монографии А.Н. Троицкого «Александр I и Наполеон» Москва, «Высшая школа»1994 г.

37. Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции

38. Краткие сведения о электронных таблицах. Решение уравнения
39. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
40. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

41. "Уравнения математической физики", читаемым авторов на факультете "Прикладная математика" в МАИ

42. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически

43. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

44. Решение уравнений в целых числах

45. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль

46. Квадратные уравнения

47. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом

48. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами

Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение", размер: 2/S (3-6 кг), 70 штук.
Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение" сделаны по японской технологии в сотрудничестве с японской корпорацией WATASHI
661 руб
Раздел: 0-5 кг
Машинка закаточная (улитка, полуавтомат) "Мещера-1".
Машинка идеальна для домашнего консервирования, она проста в использовании и надежна в работе. Конструкция машинки обеспечивает ее
419 руб
Раздел: Консервирование
Игра магнитная "Одевашки. Настя".
Это магнитная история про то, как одеть куклу Настю. Она простая, но при этом очень увлекательная и не вызовет сложности у ребенка старше
343 руб
Раздел: Бумажные куклы

49. Субъект преступления ("подновлённая" версия реферата 6762)

50. Психология труда (Обзорный реферат по психологии труда)

51. Дифференциальный усилитель

52. Несколько рефератов по Исламу

53. Волны в упругой среде. Волновое уравнение

54. Уравнения Максвелла. Граничные условия
55. Вывод уравнения Шредингера
56. Замечательное уравнение кинематики

57. "Камю", "Сартр", "Шопенгауэр", "Ясперс", "Фромм" (Рефераты, доклады по философии)

58. Реферат по информационным системам управления

59. Генезис капитализма в Мексике. Реферат по истории экономики

60. Реферат по книге Н. Цеда Дух самурая - дух Японии

61. Реферат по теме “Человек на войне”

62. Реферат по биографии Виктора Гюго

63. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

64. Метод касательных решения нелинейных уравнений

Набор детской посуды "Тачки. Дисней", 3 предмета.
Детский набор посуды "Тачки" сочетает в себе изысканный дизайн с максимальной функциональностью. Предметы набора выполнены из
447 руб
Раздел: Наборы для кормления
Доска магнитно-маркерная, А3, 342x484 мм.
Размер: 342x484 мм. Белое лаковое покрытие. Материал рамки: МДФ. Размер внутри рамки: 302х444 мм. Для формата А3. В комплекте: магниты и
405 руб
Раздел: Доски магнитно-маркерные
Средство дезинфицирующее "Аламинол 1", 1 литр, концентрат.
Средство дезинфицирующее. Объем: 1 литр. Концентрат.
481 руб
Раздел: Для сантехники

65. Применение графиков в решении уравнений

66. Виды тригонометрических уравнений

67. Рациональные уравнения и неравенства

68. Вычисление корней нелинейного уравнения

69. Методы решения уравнений в странах древнего мира

70. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области
71. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
72. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

73. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

74. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

75. Уравнения математической физики

76. Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики

77. Физика как источник теорем дифференциального исчисления

78. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули

79. Решение иррациональных уравнений

80. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Детское удерживающее устройство "Фэст", 15-25 кг (серо-голубой).
Детское удерживающее устройство "Фэст" — уникальная отечественная разработка. Компактное, надежное, очень простое в эксплуатации
482 руб
Раздел: Удерживающие устройства
Дырокол на 4 отверстия, малый, черный.
Практичный металлический дырокол на 4 отверстия. Пробивная способность - 10 листов. Ограничительная линейка. Цвет - черный. Расстояние
706 руб
Раздел: Дыроколы
Именная кружка с надписью "Любимый дедушка".
Предлагаем вашему вниманию готовое решения для подарка по любому поводу – именная кружка. Кружка изготовлена из керамики, в нежной
434 руб
Раздел: Кружки

81. Иррациональные уравнения и неравенства

82. Применение свойств функций для решения уравнений

83. Диагноз и дифференциальный диагноз приобретенных пороков сердца

84. Дифференциальная диагностика климактерия и болезней климактерического периода

85. Дифференциальный диагноз заболеваний суставов

86. Литература - Инфекционные болезни (Дифференциально-диагностические критерии)
87. Литература - Терапия (Дифференциальная диагностика выпота в плевральную
88. Литература - Терапия (Дифференциальный диагноз при кардиомегалиях)

89. Реферат - Социальная медицина (ЗДРАВООХРАНЕНИЕ КАК СОЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА)

90. Реферат - Физиология (строение и функции гемоглобина)

91. Сезонные колебания неспецифической активности и сопротивляемости осмотическим и механическим воздействиям лейкоцитов

92. Лекции - Терапия (Дифференциальный диагноз при шумах сердца)

93. Лекции - Инфекционные болезни (Дифференциально-диагностические критерии)

94. Реферат по менеджменту

95. Уравнения Курамото-Цузуки

96. Уравнение Дирака

Игра "Супер Твистер".
Игра "Твистер" известна по всему миру людям от мала до велика. У нее простые правила, которые будут понятны как взрослым, так и
378 руб
Раздел: Подвижные игры, твистеры
Доска магнитно-маркерная, 90x120 см.
Размер: 90х120 см. Для письма маркерами и крепления листов при помощи магнитов. Перед началом работы удалить защитную пленку. Возможность
2107 руб
Раздел: Доски магнитно-маркерные
Соковарка алюминиевая (6 литров).
Легкая, прочная и практичная посуда, изготовлена из пищевого алюминия, имеет высокую стойкость к коррозии, равномерно нагревается за
1494 руб
Раздел: Скороварки, пароварки, мантоварки

97. План урока алгебры. Тема: Значения тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений.

98. Как написать хороший реферат?

99. Сборник рефератов о конфликтах


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.